一、
1.如圖所示,陰影部分的面積為( )
A.abf(x)dx B.abg(x)dx
C.ab[f(x)-g(x)]dx D.ab[g(x)-f(x)]dx
[答案] C
[解析] 由題圖易知,當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)>g(x),所以陰影部分的面積為ab[f(x)-g(x)]dx.
2.如圖所示,陰影部分的面積是( )
A.23 B.2-3
C.323 D.353
[答案] C
[解析] S=1-3(3-x2-2x)dx
即F(x)=3x-13x3-x2,
則F(1)=3-1-13=53,
F(-3)=-9-9+9=-9.
∴S=F(1)-F(-3)=53+9=323.故應(yīng)選C.
3.由曲線y=x2-1、直線x=0、x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是( )
A.02(x2-1)dx
B.02(x2-1)dx
C.02x2-1dx
D.01(x2-1)dx+12(x2-1)dx
[答案] C
[解析] y=x2-1將x軸下方陰影反折到x軸上方,其定積分為正,故應(yīng)選C.
4.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),則曲線f(x)與直線x=a,x=b,y=0圍成圖形的面積為( )
A.abf(x)dx B.a(chǎn)bf(x)dx
C.abf(x)dx D.以上都不對
[答案] C
[解析] 當(dāng)f(x)在[a,b]上滿足f(x)<0時,abf(x)dx<0,排除A;當(dāng)陰影有在x軸上方也有在x軸下方時,abf(x)dx是兩面積之差,排除B;無論什么情況C對,故應(yīng)選C.
5.曲線y=1-1681x2與x軸所圍圖形的面積是( )
A.4 B.3
C.2 D.52
[答案] B
[解析] 曲線與x軸的交點(diǎn)為-94,0,94,0
故應(yīng)選B.
6.一物體以速度v=(3t2+2t)m/s做直線運(yùn)動,則它在t
=0s到t=3s時間段內(nèi)的位移是
( )
A.31m B.36m
C.38m D.40m
[答案] B
[解析] S=03(3t2+2t)dt=(t3+t2)30=33+32=36(m),故應(yīng)選B.
7.(2010?山東理,7)由曲線y=x2,y=x3圍成的封閉圖形面積為( )
A.112 B.14
C.13 D.712
[答案] A
[解析] 由y=x2y=x3得交點(diǎn)為(0,0),(1,1).
∴S=01(x2-x3)dx=13x3-14x410=112.
8.一物體在力F(x)=4x-1(單位:N)的作用下,沿著與力F相同的方向,從x=1運(yùn)動到x=3處(單位:m),則力F(x)所做的功為( )
A.8J B.10J
C.12J D.14J
[答案] D
[解析] 由變力做功公式有:W=13(4x-1)dx=(2x2-x)31=14(J),故應(yīng)選D.
9.若某產(chǎn)品一天內(nèi)的產(chǎn)量(單位:百件)是時間t的函數(shù),若已知產(chǎn)量的變化率為a=36t,那么從3小時到6小時期間內(nèi)的產(chǎn)量為( )
A.12 B.3-322
C.6+32 D.6-32
[答案] D
[解析] 3636tdt=66t63=6-32,故應(yīng)選D.
10.過原點(diǎn)的直線l與拋物線y=x2-2ax(a>0)所圍成的圖形面積為92a3,則直線l的方程為( )
A.y=±ax B.y=ax
C.y=-ax D.y=-5ax
[答案] B
[解析] 設(shè)直線l的方程為y=kx,
由y=kxy=x2-2ax得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(2a+k,2ak+k2)
圖形面積S=∫2a+k0[kx-(x2-2ax)]dx
=k+2a2x2-x332a+k0
=(k+2a)32-(2a+k)33=(2a+k)36=92a3
∴k=a,∴l(xiāng)的方程為y=ax,故應(yīng)選B.
二、題
11.由曲線y2=2x,y=x-4所圍圖形的面積是________.
[答案] 18
[解析] 如圖,為了確定圖形的范圍,先求出這兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo),解方程組y2=2xy=x-4得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),(8,4).
因此所求圖形的面積S=4-2(y+4-y22)dy
取F(y)=12y2+4y-y36,則F′(y)=y(tǒng)+4-y22,從而S=F(4)-F(-2)=18.
12.一物體沿直線以v=1+tm/s的速度運(yùn)動,該物體運(yùn)動開始后10s內(nèi)所經(jīng)過的路程是________.
13.由兩條曲線y=x2,y=14x2與直線y=1圍成平面區(qū)域的面積是________.
[答案] 43
[解析] 如圖,y=1與y=x2交點(diǎn)A(1,1),y=1與y=x24交點(diǎn)B(2,1),由對稱性可知面積S=2(01x2dx+12dx-0214x2dx)=43.
14.一變速運(yùn)動物體的運(yùn)動速度v(t)=2t (0≤t≤1)at (1≤t≤2)bt (2≤t≤e)
則該物體在0≤t≤e時間段內(nèi)運(yùn)動的路程為(速度單位:m/s,時間單位:s)______________________.
[答案] 9-8ln2+2ln2
[解析] ∵0≤t≤1時,v(t)=2t,∴v(1)=2;
又1≤t≤2時,v(t)=at,
∴v(1)=a=2,v(2)=a2=22=4;
又2≤t≤e時,v(t)=bt,
∴v(2)=b2=4,∴b=8.
∴路程為S=012tdt+122tdt+2e8tdt=9-8ln2+2ln2 .
三、解答題
15.計(jì)算曲線y=x2-2x+3與直線y=x+3所圍圖形的面積.
[解析] 由y=x+3y=x2-2x+3解得x=0及x=3.
從而所求圖形的面積
S=03(x+3)dx-03(x2-2x+3)dx
=03[(x+3)-(x2-2x+3)]dx
=03(-x2+3x)dx
=-13x3+32x230=92.
16.設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個相等的實(shí)根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)若直線x=-t(0<t<1)把y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.
[解析] (1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b,
又已知f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2,
∴f(x)=x2+2x+c.
又方程f(x)=0有兩個相等實(shí)根.
∴判別式Δ=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依題意有-1-t(x2+2x+1)dx=0-t(x2+2x+1)dx,
∴13x3+x2+x-t-1=13x3+x2+x0-t
即-13t3+t2-t+13=13t3-t2+t.
∴2t3-6t2+6t-1=0,
∴2(t-1)3=-1,∴t=1-132 .
17.A、B兩站相距7.2km,一輛電車從A站開往B站,電車開出ts后到達(dá)途中C點(diǎn),這一段速度為1.2t(m/s),到C點(diǎn)的速度達(dá)24m/s,從C點(diǎn)到B站前的D點(diǎn)以等速行駛,從D點(diǎn)開始剎車,經(jīng)ts后,速度為(24-1.2t)m/s,在B點(diǎn)恰好停車,試求:
(1)A、C間的距離;
(2)B、D間的距離;
(3)電車從A站到B站所需的時間.
[解析] (1)設(shè)A到C經(jīng)過t1s,
由1.2t=24得t1=20(s),
所以AC=∫2001.2tdt=0.6t2200=240(m).
(2)設(shè)從D→B經(jīng)過t2s,
由24-1.2t2=0得t2=20(s),
所以DB=∫200(24-1.2t)dt=240(m).
(3)CD=7200-2×240=6720(m).
從C到D的時間為t3=672024=280(s).
于是所求時間為20+280+20=320(s).
18.在曲線y=x2(x≥0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為112,試求:
(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)過切點(diǎn)A的切線方程.
[解析] 如圖所示,設(shè)切點(diǎn)A(x0,y0),由y′=2x,過A點(diǎn)的切線方程為y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x20.
令y=0得x=x02,即Cx02,0.
設(shè)由曲線和過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S,
S=S曲邊△AOB-S△ABC.
S曲邊△AOB=∫x00x2dx=13x30,
S△ABC=12BC?AB
=12x0-x02?x20=14x30,
即S=13x30-14x30=112x30=112.
所以x0=1,從而切點(diǎn)A(1,1),切線方程為y=2x-1.
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/65364.html
相關(guān)閱讀:高二數(shù)學(xué)必修三章單元測試題