第二章 推理與證明綜合檢測(cè)
時(shí)間120分鐘,滿分150分。
一、(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.銳角三角形的面積等于底乘高的一半;
直角三角形的面積等于底乘高的一半;
鈍角三角形的面積等于底乘高的一半;
所以,凡是三角形的面積都等于底乘高的一半.
以上推理運(yùn)用的推理規(guī)則是( )
A.三段論推理
B.假言推理
C.關(guān)系推理
D.完全歸納推理
[答案] D
[解析] 所有三角形按角分,只有銳角三角形、Rt三角形和鈍角三角形三種情形,上述推理窮盡了所有的可能情形,故為完全歸納推理.
2.?dāng)?shù)列1,3,6,10,15,…的遞推公式可能是( )
A.a1=1,an+1=an+n(n∈N*)
B.a1=1,an=an-1+n(n∈N*,n≥2)
C.a1=1,an+1=an+(n-1)(n∈N*)
D.a1=1,an=an-1+(n-1)(n∈N*,n≥2)
[答案] B
[解析] 記數(shù)列為{an},由已知觀察規(guī)律:a2比a1多2,a3比a2多3,a4比a3多4,…,可知當(dāng)n≥2時(shí),an比an-1多n,可得遞推關(guān)系a1=1,an-an-1=n(n≥2,n∈N*).
3.有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”,結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,因?yàn)? )
A.大前提錯(cuò)誤
B.小前提錯(cuò)誤
C.推理形式錯(cuò)誤
D.不是以上錯(cuò)誤
[答案] C
[解析] 大小前提都正確,其推理形式錯(cuò)誤.故應(yīng)選C.
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)時(shí),驗(yàn)證n=1,左邊應(yīng)取的項(xiàng)是( )
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
[答案] D
[解析] 當(dāng)n=1時(shí),左=1+2+…+(1+3)=1+2+…+4,故應(yīng)選D.
5.在R上定義運(yùn)算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,則( )
A.-1<a<1
B.0<a<2
C.-12<a<32
D.-32<a<12
[答案] C
[解析] 類比題目所給運(yùn)算的形式,得到不等式(x-a)?(x+a)<1的簡(jiǎn)化形式,再求其恒成立時(shí)a的取值范圍.
(x-a)?(x+a)<1?(x-a)(1-x-a)<1
即x2-x-a2+a+1>0
不等式恒成立的充要條件是
Δ=1-4(-a2+a+1)<0
即4a2-4a-3<0
解得-126.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,則( )
A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13
B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13+14
C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13
D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13+14
[答案] D
[解析] 項(xiàng)數(shù)為n2-(n-1)=n2-n+1,故應(yīng)選D.
7.已知a+b+c=0,則ab+bc+ca的值( )
A.大于0
B.小于0
C.不小于0
D.不大于0
[答案] D
[解析] 解法1:∵a+b+c=0,
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,
∴ab+ac+bc=-a2+b2+c22≤0.
解法2:令c=0,若b=0,則ab+bc+ac=0,否則a、b異號(hào),∴ab+bc+ac=ab<0,排除A、B、C,選D.
8.已知c>1,a=c+1-c,b=c-c-1,則正確的結(jié)論是( )
A.a(chǎn)>b
B.a(chǎn)<b
C.a(chǎn)=b
D.a(chǎn)、b大小不定
[答案] B
[解析] a=c+1-c=1c+1+c,
b=c-c-1=1c+c-1,
因?yàn)閏+1>c>0,c>c-1>0,
所以c+1+c>c+c-1>0,所以a
A.f(k)+π2
B.f(k)+π
C.f(k)+32π
D.f(k)+2π
[答案] B
[解析] 由凸k邊形到凸(k+1)邊形,增加了一個(gè)三角形,故f(k+1)=f(k)+π.
10.若sinAa=cosBb=cosCc,則△ABC是( )
A.等邊三角形
B.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵sinAa=cosBb=cosCc,由正弦定理得,
sinAa=sinBb=sinCc,∴sinBb=cosBb=cosCc=sinCc,
∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
11.若a>0,b>0,則p=(ab)a+b2與q=ab?ba的大小關(guān)系是( )
A.p≥q
B.p≤q
C.p>q
D.p<q
[答案] A
若a>b,則ab>1,a-b>0,∴pq>1;
若0<a<b,則0<ab<1,a-b<0,∴pq>1;
若a=b,則pq=1,
∴p≥q.
12.設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列{xn}滿足x0=5,且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2014=( )
x12345
f(x)41352
A.1
B.2
C.4
D.5
[答案] C
[解析] x1=f(x0)=f(5)=2,
x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列,所以x2014=x3=4,故應(yīng)選C.
二、題(本大題共4個(gè)小題,每小題4分,共16分.將正確答案填在題中橫線上)
13.半徑為r的圓的面積S(r)=πr2,周長(zhǎng)C(r)=2πr,若將r看作(0,+∞)上的變量,則(πr2)′=2πr.①
①式可用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù).對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,+∞)上的變量,請(qǐng)你寫出類似于①式的式子:______________________________,你所寫的式子可用語(yǔ)言敘述為_(kāi)_________________________.
[答案] 43πR3′=4πR2;球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù).
14.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>n2時(shí),f(2k+1)-f(2k)=________.
[答案] 12k+1+12k+2+…+12k+1
[解析] f(2k+1)=1+12+13+…+12k+1
f(2k)=1+12+13+…+12k
f(2k+1)-f(2k)=12k+1+12k+2+…+12k+1.
15.觀察①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=34;
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=34.兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可提出一個(gè)猜想的等式為_(kāi)_______________.
[答案] sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=34
[解析] 觀察40°-10°=30°,36°-6°=30°,
由此猜想:
sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=34.
可以證明此結(jié)論是正確的,證明如下:
sin2α+cos2(30°+α)+sinα?cos(30°+α)
=1-cos2α2+1+cos(60°+2α)2+12[sin(30°+2α)-sin30°]=1+12[cos(60°+2α)-cos2α]+12sin(30°+2α)-12
=1+12[-2sin(30°+2α)sin30°]+12sin(30°+2α)-12
=34-12sin(30°+2α)+12sin(30°+2α)=34.
16.設(shè)P是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對(duì)任意a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、ab∈P(除數(shù)b≠0),則稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域;數(shù)集F={a+b2a,b∈Q}也是數(shù)域.有下列命題:
①整數(shù)集是數(shù)域;
②若有理數(shù)集Q?M,則數(shù)集M必為數(shù)域;
③數(shù)域必為無(wú)限集;
④存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域.
其中正確命題的序號(hào)是________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
[答案]、邰
[解析] 考查理解、分析等學(xué)習(xí)能力.
①整數(shù)a=2,b=4,ab不是整數(shù);
②如將有理數(shù)集Q,添上元素2,得到數(shù)集M,則取a=3,b=2,a+b?M;
③由數(shù)域P的定義知,若a∈P,b∈P(P中至少含有兩個(gè)元素),則有a+b∈P,從而a+2b,a+3b,…,a+nb∈P,∴P中必含有無(wú)窮多個(gè)元素,∴③對(duì).
④設(shè)x是一個(gè)非完全平方正整數(shù)(x>1),a,b∈Q,則由數(shù)域定義知,F(xiàn)={a+bxa、b∈Q}必是數(shù)域,這樣的數(shù)域F有無(wú)窮多個(gè).
三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本題滿分12分)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.
求證:a2+b2+c2≥13.
[證明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
即a2+b2+c2≥13.
18.(本題滿分12分)證明下列等式,并從中歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論.
2cosπ4=2,
2cosπ8=2+2,
2cosπ16=2+2+2,
……
[證明] 2cosπ4=2?22=2
2cosπ8=21+cosπ42=2?1+222
=2+2
2cosπ16=21+cosπ82
=21+122+22=2+2+2
…
19.(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an?an-1=2?an-1-1.
(1)求a2、a3、a4;
(2)求證:數(shù)列1an-1是等差數(shù)列,并寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式.
[解析] (1)由an?an-1=2?an-1-1得
an=2-1an-1,
代入a1=3,n依次取值2,3,4,得
a2=2-13=53,a3=2-35=75,a4=2-57=97.
(2)證明:由an?an-1=2?an-1-1變形,得
(an-1)?(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),
即1an-1-1an-1-1=1,
所以{1an-1}是等差數(shù)列.
由1a1-1=12,所以1an-1=12+n-1,
變形得an-1=22n-1,
所以an=2n+12n-1為數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式.
20.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax+x-2x+1(a>1).
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)根.
[解析] (1)證法1:任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1
又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴f(x2)-f(x1)=x2-2x2+1-x1-2x1+1
=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)(x1+1)(x2+1)
=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)>0,
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2-2x2+1-x1-2x1+1>0,
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
證法2:f′(x)=axlna+x+1-(x-2)(x+1)2=axlna+3(x+1)2
∵a>1,∴l(xiāng)na>0,∴axlna+3(x+1)2>0,
f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,
即f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
(2)解法1:設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0
則ax0=-x0-2x0+1,且0
解法2:設(shè)x0<0(x0≠-1)
①若-1
∴f(x0)>0.
綜上,x<0(x≠-1)時(shí),f(x)<-1或f(x)>0,即方程f(x)=0無(wú)負(fù)根.
21.(本題滿分12分)我們知道,在△ABC中,若c2=a2+b2,則△ABC是直角三角形.現(xiàn)在請(qǐng)你研究:若cn=an+bn(n>2),問(wèn)△ABC為何種三角形?為什么?
[解析] 銳角三角形 ∵cn=an+bn (n>2),∴c>a, c>b,
由c是△ABC的最大邊,所以要證△ABC是銳角三角形,只需證角C為銳角,即證cosC>0.
∵cosC=a2+b2-c22ab,
∴要證cosC>0,只要證a2+b2>c2,①
注意到條件:an+bn=cn,
于是將①等價(jià)變形為:(a2+b2)cn-2>cn.②
∵c>a,c>b,n>2,∴cn-2>an-2,cn-2>bn-2,
即cn-2-an-2>0,cn-2-bn-2>0,
從而(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-an-bn
=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0,
這說(shuō)明②式成立,從而①式也成立.
故cosC>0,C是銳角,△ABC為銳角三角形.
22.(本題滿分14分)(2010?安徽理,20)設(shè)數(shù)列a1,a2,…an,…中的每一項(xiàng)都不為0.
證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何n∈N+,都有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=na1an+1.
[分析] 本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí),考查推理論證、運(yùn)算求解能力.
解題思路是利用裂項(xiàng)求和法證必要性,再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性.
[證明] 先證必要性.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.若d=0,則所述等式顯然成立.
若d≠0,則
1a1a2+1a2a3+…+1anan+1
=1da2-a1a1a2+a3-a2a2a3+…+an+1-ananan+1
=1d1a1-1a2+1a2-1a3+…+1an-1an+1
=1d1a1-1an+1=1dan+1-a1a1an+1
=na1an+1.
再證充分性.
證法1:(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切n∈N+都成立.首先,在等式1a1a2+1a2a3=2a1a3
兩端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,記公差為d,則a2=a1+d.
假設(shè)ak=a1+(k-1)d,當(dāng)n=k+1時(shí),觀察如下兩個(gè)等式
1a1a2+1a2a3+…+1ak-1ak=k-1a1ak,①
1a1a2+1a2a3+…+1ak-1ak+1akak+1=ka1ak+1②
將①代入②,得
k-1a1ak+1akak+1=ka1ak+1,
在該式兩端同乘a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak.
將ak=a1+(k-1)d代入其中,整理后,得ak+1=a1+kd.
由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)一切n∈N,都有an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差為d的等差數(shù)列.
證法2:(直接證法)依題意有
1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=na1an+1,①
1a1a2+1a2a3+…+1anan+1+1an+1an+2=n+1a1an+1.②
②-①得
1an+1an+2=n+1a1an+2-na1an+1,
在上式兩端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2.③
同理可得a1=nan-(n-1)an+1(n≥2)④
③-④得2nan+1=n(an+2+an)
即an+2-an+1=an+1-an,
由證法1知a3-a2=a2-a1,故上式對(duì)任意n∈N*均成立.所以{an}是等差數(shù)列.
本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/61013.html
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