高二數(shù)學(xué)理試題
試卷總分：150分 考試時(shí)間：120分鐘
本試卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘。
第 Ⅰ 卷(選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)
1．下列命題中: ① 若A α, B α, 則AB α;② 若A α, A β, 則α、β一定相交于一條直線，設(shè)為m,且A m； ③經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 ④ 若a ?b, c?b, 則a//c. 正確命題的個(gè)數(shù)（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2． 某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取1個(gè)容量為100戶的樣本，記作①；某學(xué)校高一年級(jí)有12名女排運(yùn)動(dòng)員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作②。那么完成上述2項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（ ）
A ①用隨機(jī)抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法 B ①用系統(tǒng)抽樣法，②用分層抽樣法
C ①用分層抽樣法，②用隨機(jī)抽樣法 D ①用分層抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法
3．如果平面?外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面?的距離都是a，則直線AB和平面?的位置關(guān)系一定是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. AB?? D. 平行或相交
4．如圖，在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC
ξ123
P0.20.5m
5．隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則ξ的數(shù)學(xué)期望為（ ）
A 2.0 B 2.1 C 2.2 D 隨m的變化而變化
6．如圖，正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，
① 與 平行；② 與 是異面直線；③ 與 成60°的角；④ 與 垂直。
其中正確的序號(hào)是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③④
7．如右圖為一個(gè)幾何體的三視圖，其中
俯視圖為正三角形， ， ，
則該幾何體的表面積為( )
A . B.
C. D. 32
8．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成
一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種
9．右面的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，要求輸出這三個(gè)數(shù)
中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)
中的（ ）
A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c
10．在正四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)P在底面上的射影為O，E為PC的
中點(diǎn)，則直線AP與OE的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交 C．異面 D．都有可能
11．一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為 ，則球的半徑
是（ �。�
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
12．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不重合的直線a，b，則下列四個(gè)命題中為正確的
命題是( )
A．若a∥b，b α，則a∥αB．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，則a⊥β
C．若a α，b α，a∥β，b∥β，則α∥βD．若α∥β，a α，a β，a∥α，則a∥β
第 Ⅱ 卷 (非選擇題，共90分)
二、題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中橫線上)
13．四封信投入3個(gè)不同的信箱，其不同的投信方法有 種;（用數(shù)字作答）
14．下列各數(shù) 、 、 中最小的數(shù)是 ;
15．正方體 中，對(duì)角線 與 所成角分別為α、β、 ，則 ；
16．若 的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù) 等于 ．（用數(shù)字作答）
三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
17. （本小題滿分10分）對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽 門功課，得到的觀測(cè)值如下：
問(wèn)：甲、乙誰(shuí)的平均成績(jī)最好？誰(shuí)的各門功課發(fā)展較平衡？
18．（本小題滿分12分）在銳角 中 ，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的最大值。
19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱 中， ，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)。
（1）求證： //平面 ；
（2）求證：平面 ⊥平面 ；
（3）若 ，求二面角 的大小。
20. （本小題滿分12分）已知數(shù)列 滿足 是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列。
（1）求 ；
（2）如果 , ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 。
21. （本小題滿分12分）從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：
（1）能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？
（2）上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？
（3）在（1）中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？
22．（本小題滿分12分）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體 中， 、 分別為 、 的中點(diǎn)．
（1）求證： //平面 ；
（2）求證： ；
（3）求三棱錐 的體積．
參考答案
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
題號(hào)123456789 101112
答案B C D D B C C B A A C D
二、題：（本大題共4小題，每題5分，共計(jì)20分）
13、 81 ； 14、 ；
15、 1 ； 16、 7 。
三、解答題。（本大題共6小題，共計(jì)70分）
17、（本小題滿分10分）
解：
∵
∴ 甲的平均成績(jī)較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡
18、（本小題滿分12分）
解：（1）
即 …………4分
又 為銳角三角形， …………6分
（2）由（1）知
…………9分
的最大值為6�！�12分
19、（本小題滿分12分）
解：（1）連接AC1交A1C于E，連接DE，∵AA1C1C為矩形，則E為AC1的中點(diǎn)。
又CD 平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B
（3） 二面角的平面角為 。
20、（本小題滿分12分）
解：（1）由 ，當(dāng)n≥2時(shí)， ，
∴
①當(dāng)a=1時(shí)， ;
②當(dāng)a≠1時(shí)， ，
∴
（2）
…………………………………………………………①
則 ………………………………………②
①-②，得
21、（本小題滿分12分）
解：（1）分步完成：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有 種情況；
第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，可有 種情況；
第三步3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有 種情況，
所以符合題意的七位數(shù)有 個(gè)．
（2）上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有個(gè)．
（3）上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空檔，共有 個(gè).
22、（本小題滿分12分）
解：（1）證明：連結(jié) ，在△ 中， 、 分別為 ， 的中點(diǎn)，則 ∥
又 平面 ， 平面 ∴ ∥平面 ………
（2）證明
∵ ，
∴ 平面
又 平面 ，∴ ，又 ∥ ，
∴ …………
（3）解：∵ ，∴ ⊥平面 ，即 ⊥平面 ，且
，
，
∴ ，即
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