蚌埠二中2011—2012學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)試題（科）
（試卷分值：150分 考試時(shí)間：120分鐘 ）
命題人:耿曉燕

注意事項(xiàng)：
第Ⅰ卷所有選擇題的答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置、第Ⅱ卷的答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，否則不予計(jì)分。
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
1. 平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是：“PA+PB是定值”，命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以A．B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要條件B．甲是乙成立的必要不充分條件
C． 甲是乙成立的充要條件 D．甲是乙成立的非充分非必要條件
2.下面說法正確的是（ ）
A.實(shí)數(shù) 是 成立的充要條件
B. 設(shè)p、q為簡(jiǎn)單命題，若“ ”為假命題，則“ ”也為假命題。
C. 命題“若 則 ”的逆否命題為真命題.
D. 給定命題p、q，若 是假命題，則“p或q”為真命題.
3． 雙曲線 的焦距是（ ）
A．4B． C．8D．與 有關(guān)
4．命題“兩條對(duì)角線不垂直的四邊形不是菱形”的逆否命題是(　　)
A．若四邊形不是菱形，則它的兩條對(duì)角線不垂直
B．若四邊形的兩條對(duì)角線垂直，則它是菱形
C．若四邊形的兩條對(duì)角線垂直，則它不是菱形
D．若四邊形是菱形，則它的兩條對(duì)角線垂直
5．在同一坐標(biāo)系中，方程 的曲線大致是（ ）

6. 拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A.（1，0） B.（－1，0） C.（0，1） D.（0，－1）
7．已知F1、F2是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過點(diǎn)F1的弦，且PQ的傾斜角為 ，那么PF2＋QF2－PQ的值為（ ）
A.16 B.12 C.8 D. 隨 大小變化
8. 與直線 平行的拋物線 的切線方程是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知兩點(diǎn) ,N ,給出下列曲線方程：① ；② ；
③ ；④ 。在曲線上存在點(diǎn)P滿足 的所有曲線方程是( )
A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D.②③④
10. 雙曲線 的兩焦點(diǎn)為 ， 在雙曲線上且滿足 ，則 的面積為（ ）．
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，滿分25分)
11.命題“ 使得 ”的否定是 .
12.已知函數(shù) ，則 .
13.已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的離心率為 .
14．如圖是 的導(dǎo)數(shù)的圖像，則正確的判斷是
（1） 在 上是增函數(shù)
（2） 是 的極小值點(diǎn)
（3） 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)
（4） 是 的極小值點(diǎn)
以上正確的序號(hào)為 .
15．在曲線 的切線中斜率最小的切線方程是____________________.
三、解答題（本大題6小題，滿分75分）ww
16．(12分) 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)，并于雙曲線的實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的交點(diǎn)為 ，求拋物線的方程和雙曲線的方程。
17．（12分）命題p：關(guān)于 的不等式 的解集為 ；
命題q：函數(shù) 為增函數(shù)．
分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù) 的取值范圍．
（1）p、q至少有一個(gè)是真命題；（2）p∨q是真命題且p∧q是假命題．
18．（12分）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若 在區(qū)間 上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。
19．（13分）已知?jiǎng)狱c(diǎn) 與平面上兩定點(diǎn) 連線的斜率的積為定值 ．
（1）試求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程 ；
（2）設(shè)直線 與曲線 交于．N兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求直線 的方程．
20．（13分）已知函數(shù) 的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù) 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
（1）求 、 的值及函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) 在（-1，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
21．（13分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過（2， ） ，N( ,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且 ？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由。

蚌埠二中2011-2012學(xué)年度高二第二學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)（科）參考答案

一選擇題
1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.A 8. D 9.A 10. B
二填空題
11． ， 使得 12. 13. 53 14. （2）（3）
15 .
三解答題
16. 解：由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)在x軸，又由于過點(diǎn) ，所以可設(shè)其方程為 ∴ =2 所以所求的拋物線方程為
所以所求雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），所以c=1，所以，設(shè)所求的雙曲線方程為 而點(diǎn) 在雙曲線上，所以 解得 所以所求的雙曲線方程為 .
17.解：p命題為真時(shí)，∆= <0,即a> ,或a<-1．①
q命題為真時(shí)，2 -a>1，即a>1或a<- ．②
（1）p、q至少有一個(gè)是真命題，即上面兩個(gè)范圍的并集為a<- 或a> ．
故p、q至少有一個(gè)為真命題時(shí)a的取值范圍是 ．
（2）p∨q是真命題且p∧q是假命題，有兩種情況：p真q假時(shí)， <a≤1；p假q真時(shí)，-1≤a<- ．
故p∨q是真命題且p∧q是假命題時(shí)，a的取值范圍為 ．
18. 解：（1）因?yàn)?，令 ，解得 或 ，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）因?yàn)?，且在 上 ，
所以 為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，而
，所以
所以 和 分別是 在區(qū)間 上的最大值和最小值
于是 ，所以 ，
所以 ，即函數(shù)在區(qū)間 上的最小值為
19. 解：（1）設(shè)點(diǎn) ，則依題意有 ，
整理得 ，由于 ，
所以求得的曲線C的方程為 ．
（2）由 ，消去 得 ，
解得x1=0, x2= 分別為，N的橫坐標(biāo)）
由
得 ，所以直線 的方程 或 ．
20.解：（1）由函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)（－1，－6），得-n=-3,
由f(x)=x3+x2+nx-2，得f′（x）=3x2+2x+n,
則g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2+6)x+n;
而g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－ ＝0，所以=-3,代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）.
（2）解： 由 在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2-6x對(duì)x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2 -6x<9,∴只需a≥9.∴a≥9.
21. 解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過（2， ） ，N( ,1)兩點(diǎn),
所以 解得 所以 橢圓E的方程為
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且 ,設(shè)該圓的切線方程為 解方程組 得 ,即 ,
則△= ,即
, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因?yàn)橹本� 為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為 , , ,所求的圓為 ,此時(shí)圓的切線 都滿足 或 ,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn)為 或 滿足 ,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓 ，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且 .

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