高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的幾何意義綜合測(cè)試題(附答案)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
選修2-2 1.1 第3課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
一、
1.如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0,那么(  )
A.f′(x0)>0      B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切線x+2y-3=0的斜率k=-12,即f′(x0)=-12<0.故應(yīng)選B.
2.曲線y=12x2-2在點(diǎn)1,-32處切線的傾斜角為(  )
A.1 B.π4
C.54π D.-π4
[答案] B
[解析] ∵y′=limΔx→0 [12(x+Δx)2-2]-(12x2-2)Δx
=limΔx→0 (x+12Δx)=x
∴切線的斜率k=y(tǒng)′x=1=1.
∴切線的傾斜角為π4,故應(yīng)選B.
3.在曲線y=x2上切線的傾斜角為π4的點(diǎn)是(  )
A.(0,0) B.(2,4)
C.14,116 D.12,14
[答案] D
[解析] 易求y′=2x,設(shè)在點(diǎn)P(x0,x20)處切線的傾斜角為π4,則2x0=1,∴x0=12,∴P12,14.
4.曲線y=x3-3x2+1在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為(  )
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
[答案] B
[解析] y′=3x2-6x,∴y′x=1=-3.
由點(diǎn)斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.
5.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足limx→0 f(1)-f(1-2x)2x=-1,則過曲線y=f(x)上點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為(  )
A.2    B.-1    
C.1    D.-2
[答案] B
[解析] limx→0 f(1)-f(1-2x)2x=limx→0 f(1-2x)-f(1)-2x
=-1,即y′x=1=-1,
則y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為-1,故選B.
6.設(shè)f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(  )
A.不存在 B.與x軸平行或重合
C.與x軸垂直 D.與x軸斜交
[答案] B
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知B正確,故應(yīng)選B.
7.已知曲線y=f(x)在x=5處的切線方程是y=-x+8,則f(5)及f′(5)分別為(  )
A.3,3 B.3,-1
C.-1,3 D.-1,-1
[答案] B
[解析] 由題意易得:f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故應(yīng)選B.
8.曲線f(x)=x3+x-2在P點(diǎn)處的切線平行于直線y=4x-1,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(  )
A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x3+x-2,設(shè)xP=x0,
∴Δy=3x20?Δx+3x0?(Δx)2+(Δx)3+Δx,
∴ΔyΔx=3x20+1+3x0(Δx)+(Δx)2,
∴f′(x0)=3x20+1,又k=4,
∴3x20+1=4,x20=1.∴x0=±1,
故P(1,0)或(-1,-4),故應(yīng)選A.
9.設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3-3x+23上的任意一點(diǎn),P點(diǎn)處的切線傾斜角為α,則α的取值范圍為(  )
A.0,π2∪23π,π B.0,π2∪56π,π
C.23π,π D.π2,56π
[答案] A
[解析] 設(shè)P(x0,y0),
∵f′(x)=limΔx→0 (x+Δx)3-3(x+Δx)+23-x3+3x-23Δx
=3x2-3,∴切線的斜率k=3x20-3,
∴tanα=3x20-3≥-3.
∴α∈0,π2∪23π,π.故應(yīng)選A.
10.(2010?福州高二期末)設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0,π4],則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為(  )
A.[-1,-12] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[12,1]
[答案] A
[解析] 考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
∵y′=2x+2,且切線傾斜角θ∈[0,π4],
∴切線的斜率k滿足0≤k≤1,即0≤2x+2≤1,
∴-1≤x≤-12.
二、題
11.已知函數(shù)f(x)=x2+3,則f(x)在(2,f(2))處的切線方程為________.
[答案] 4x-y-1=0
[解析] ∵f(x)=x2+3,x0=2
∴f(2)=7,Δy=f(2+Δx)-f(2)=4?Δx+(Δx)2
∴ΔyΔx=4+Δx.∴l(xiāng)imΔx→0 ΔyΔx=4.即f′(2)=4.
又切線過(2,7)點(diǎn),所以f(x)在(2,f(2))處的切線方程為y-7=4(x-2)
即4x-y-1=0.
12.若函數(shù)f(x)=x-1x,則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為________.
[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)
[解析] 由f(x)=x-1x=0得x=±1,即與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(-1,0).
∵f′(x)=limΔx→0 (x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx
=limΔx→0 1+1x(x+Δx)=1+1x2.
∴切線的斜率k=1+11=2.
∴切線的方程為y=2(x-1)或y=2(x+1).
13.曲線C在點(diǎn)P(x0,y0)處有切線l,則直線l與曲線C的公共點(diǎn)有________個(gè).
[答案] 至少一
[解析] 由切線的定義,直線l與曲線在P(x0,y0)處相切,但也可能與曲線其他部分有公共點(diǎn),故雖然相切,但直線與曲線公共點(diǎn)至少一個(gè).
14.曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中,斜率最小的切線方程為________.
[答案] 3x-y-11=0
[解析] 設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),則過P(x0,y0)的切線斜率為 ,它是x0的函數(shù),求出其最小值.
設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),過點(diǎn)P的切線斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.當(dāng)x0=-1時(shí)k有最小值3,此時(shí)P的坐標(biāo)為(-1,-14),其切線方程為3x-y-11=0.
三、解答題
15.求曲線y=1x-x上一點(diǎn)P4,-74處的切線方程.
[解析] ∴y′=limΔx→0 1x+Δx-1x-(x+Δx-x)Δx
=limΔx→0 -Δxx(x+Δx)-Δxx+Δx+xΔx
=limΔx→0 -1x(x+Δx)-1x+Δx+x=-1x2-12x .
∴y′x=4=-116-14=-516,
∴曲線在點(diǎn)P4,-74處的切線方程為:
y+74=-516(x-4).
即5x+16y+8=0.
16.已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點(diǎn)P(1,-2),過點(diǎn)P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點(diǎn)異于點(diǎn)P的直線方程y=g(x).
[解析] (1)y′=limΔx→0 (x+Δx)3-3(x+Δx)-3x3+3xΔx=3x2-3.
則過點(diǎn)P且以P(1,-2)為切點(diǎn)的直線的斜率
k1=f′(1)=0,
∴所求直線方程為y=-2.
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x30-3x0),
則直線l的斜率k2=f′(x0)=3x20-3,
∴直線l的方程為y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)
又直線l過點(diǎn)P(1,-2),
∴-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0),
∴x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1),
解得x0=1(舍去)或x0=-12.
故所求直線斜率k=3x20-3=-94,
于是:y-(-2)=-94(x-1),即y=-94x+14.
17.求證:函數(shù)y=x+1x圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率小于1.
[解析] y′=limΔx→0 f(x+Δx)-f(x)Δx
=limΔx→0 x+Δx+1x+Δx-x+1xΔx
=limΔx→0 x?Δx(x+Δx)-Δx(x+Δx)?x?Δx
=limΔx→0 (x+Δx)x-1(x+Δx)x
=x2-1x2=1-1x2<1,
∴y=x+1x圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率小于1.
18.已知直線l1為曲線y=x2+x-2在點(diǎn)(1,0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線,且l1⊥l2.
(1)求直線l2的方程;
(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積.
[解析] (1)y′x=1
=limΔx→0 (1+Δx)2+(1+Δx)-2-(12+1-2)Δx=3,
所以l1的方程為:y=3(x-1),即y=3x-3.
設(shè)l2過曲線y=x2+x-2上的點(diǎn)B(b,b2+b-2),
y′x=b=limΔx→0 (b+Δx)2+(b+Δx)-2-(b2+b-2)Δx
=2b+1,所以l2的方程為:y-(b2+b-2)=(2b+1)?(x-b),即y=(2b+1)x-b2-2.
因?yàn)閘1⊥l2,所以3×(2b+1)=-1,所以b=-23,所以l2的方程為:y=-13x-229.
(2)由y=3x-3,y=-13x-229,得x=16,y=-52,
即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為16,-52.
又l1,l2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),-223,0.


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