一、
1．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)?(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′x＝1＝4.
2．若對任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則f(x)＝( )
A．x4 B．x4－2
C．4x3－5 D．x4＋2
[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.
3．設函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項和是( )
A.nn＋1 B.n＋2n＋1
C.nn－1 D.n＋1n
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的導數(shù)為f′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項和為：
Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故選A.
4．二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，則函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由題意可設f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，故2a>0，b>0，則f(x)＝ax＋b2a2－b24a，
頂點－b2a，－b24a在第三象限，故選C.
5．函數(shù)y＝(2＋x3)2的導數(shù)為( )
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)?3x
[答案] A
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
∴y′＝6x5＋12x2.
6．(2010?江西文，4)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案] B
[解析] 本題考查函數(shù)知識，求導運算及整體代換的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2
要善于觀察，故選B.
7．設函數(shù)f(x)＝(1－2x3)10，則f′(1)＝( )
A．0 B．－1
C．－60 D．60
[答案] D
[解析] ∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9?(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.
8．函數(shù)y＝sin2x－cos2x的導數(shù)是( )
A．22cos2x－π4 B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋π4
[答案] A
[解析] y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.
9．(2010?高二濰坊檢測)已知曲線y＝x24－3lnx的一條切線的斜率為12，則切點的橫坐標為( )
A．3 B．2
C．1 D.12
[答案] A
[解析] 由f′(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．設函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為( )
A．－15 B．0
C.15 D．5
[答案] B
[解析] 由題設可知f(x＋5)＝f(x)
∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)
即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故f′(5)＝f′(0)＝0.故應選B.
二、題
11．若f(x)＝x，φ(x)＝1＋sin2x，則f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.
[答案] 2sinx＋π4，1＋sin2x
[解析] f[φ(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.
φ[f(x)]＝1＋sin2x.
12．設函數(shù)f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________.
[答案] π6
[解析] f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
＝2sin3x＋φ＋5π6.
若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f′(0)＝0，
即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.
13．函數(shù)y＝(1＋2x2)8的導數(shù)為________．
[答案] 32x(1＋2x2)7
[解析] 令u＝1＋2x2，則y＝u8，
∴y′x＝y(tǒng)′u?u′x＝8u7?4x＝8(1＋2x2)7?4x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函數(shù)y＝x1＋x2的導數(shù)為________．
[答案] (1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析] y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答題
15．求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)y＝xsin2x； (2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1； (4)y＝x＋cosxx＋sinx.
[解析] (1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x?2sinx?(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝1x＋1＋x2?(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .
(3)y′＝(ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .
(4)y′＝(x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)y＝cos2(x2－x)； (2)y＝cosx?sin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)； (4)y＝log2x－1x＋1.
[解析] (1)y′＝[cos2(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y′＝(cosx?sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x?1x2＋x－1logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y′＝x＋1x－1x－1x＋1′log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．設f(x)＝2sinx1＋x2，如果f′(x)＝2(1＋x2)2?g(x)，求g(x)．
[解析] ∵f′(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx?2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2x?sinx]，
又f′(x)＝2(1＋x2)2?g(x)．
∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函數(shù)的導數(shù)：(其中f(x)是可導函數(shù))
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
[解析] (1)解法1：設y＝f(u)，u＝1x，則y′x＝y(tǒng)′u?u′x＝f′(u)?－1x2＝－1x2f′1x.
解法2：y′＝f1x′＝f′1x?1x′＝－1x2f′1x.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/77627.html
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