2013年高二數(shù)學(xué)下冊(cè)期中檢測(cè)試卷(滬教版帶答案)

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高二第二學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷
一、題:(每小題3分,共36分)
1、空間不相交的兩條直線的位置關(guān)系可以為 。
2、若復(fù)數(shù) 滿足: ( 為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù) 。
3、動(dòng)點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與它到直線 的距離相等,則點(diǎn) 的軌跡方程為 。
4、已知: ,則 = 。
5、在正方體 中,直線 與平面 的位置關(guān)系是 。(填:平行、垂直、斜交、線在面內(nèi))
6、雙曲線 ( 為常數(shù))的焦點(diǎn)為 ,則其漸近線方程為 。
7、已知復(fù)數(shù) ,若 為純虛數(shù),則 。
8、如圖:平面 外一點(diǎn)P在 內(nèi)的射影為O, , 為平面 內(nèi)兩點(diǎn), 與平面 成300角,且 ,則 平面 所成的正弦值為 。
9、已知點(diǎn) ,拋物線 的焦點(diǎn)為F,若點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng),則 取最小值時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為 。
10、以下命題中,正確的是 。
① 為空間兩個(gè)不重合的平面,若平面 內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面 的距離相等,則 ;②有三個(gè)角為直角的空間四邊形為矩形;③若空間三個(gè)平面可以把空間分成 個(gè)部分,則 的取值可為4,6,7,8;④兩兩相交的四條直線最多可以確定6個(gè)平面。
11、已知拋物線 ,過(guò)拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為 的直線交拋物線于 兩點(diǎn), 的面積為 ,則 。
12、已知正方體 中,點(diǎn)Q在平面 內(nèi),且 BCQ是正三角形,點(diǎn)P在側(cè)面 內(nèi)運(yùn)動(dòng),并且滿足PQ=P ,則點(diǎn)P的軌跡為 。(可根據(jù)題意在圖中取點(diǎn)、添線,并說(shuō)明)
二、:(每小題3分,共18分)
13、已知空間一條直線 和一個(gè)平面 ,若兩個(gè)點(diǎn)A,B 滿足:“ 且 ”,則下面說(shuō)法正確的是 ( )
A、直線 在平面 內(nèi); B、直線 上只有兩點(diǎn)在平面 內(nèi);
C、平面 不一定經(jīng)過(guò)直線 ; D、直線 與平面 可能平行。
14、過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 , 兩點(diǎn),如果 ,那么 的值為( )
A、2; B、3; C、4; D、5。
15、已知 表示兩個(gè)不同的平面,直線 在平面 內(nèi),則“ ”是“ ”的 ( )
A、充分不必要條件 ;B、必要不充分條件;C、充要條件;D、既不充分也不必要條件。
16、雙曲線 =1的左焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn),如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( )
A、± B、± C、± D、±
17、在下列四個(gè)正方體中,能得出AB⊥CD的是( )。
18、給出下列命題:①若 是兩個(gè)虛數(shù),則 也為虛數(shù);②若 為虛數(shù),則 ;
③ 為復(fù)數(shù),若 ,則 為純虛數(shù);④若復(fù)數(shù) 滿足: ,則 的取值范圍是 。其中,錯(cuò)誤的命題有( )個(gè)。
A、1; B、2; C、3; D、4。
三、解答題:(本大題共5題,46分)
19、簡(jiǎn)答題:(本題12分,每題6分)
(1)已知關(guān)于 的實(shí)系數(shù)一元二次方程 有兩個(gè)虛根 , ,若實(shí)數(shù) 滿足等式: ,請(qǐng)?jiān)趶?fù)數(shù)范圍將二次三項(xiàng)式 分解因式。
(2)如圖:已知直線 為異面直線, ,試用反證法證明:直線 與 為異面直線。
20、(本題8分,第1題3分,第2題5分)
已知雙曲線 , 為該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)。
(1)求 ;
(2) 為雙曲線上一點(diǎn),且 ( 為虛數(shù)單位),求 的大小。
21、(本題8分,第1題3分,第2題5分)
設(shè)橢圓 兩個(gè)焦點(diǎn)為 ,經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) 垂直于 軸的直線交橢圓于點(diǎn) 。
(1)求橢圓方程;
(2)若直線 的斜率為2,與橢圓相交于 兩點(diǎn),求弦AB的中點(diǎn)軌跡。
22、(本題10分,第1題4分,第2題6分)
已知正方體 的棱長(zhǎng)均為1, 為棱 的中點(diǎn), 為棱 的中點(diǎn)。
(1)在圖中,作出直線 與平面 的交點(diǎn),保留作圖痕跡,勿用鉛筆;
(2)求異面直線 與 所成角的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示)。
23、已知拋物線 , 為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)N為拋物線的準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)。某同學(xué)在探究“經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系”中,發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)問(wèn)題:
(1)通過(guò)研究過(guò)N點(diǎn)斜率為2的直線 ,他發(fā)現(xiàn)直線 上存在這樣的點(diǎn)P:可以找到一條過(guò)P點(diǎn)的直線與拋物線相交于 兩點(diǎn),滿足 為BP的中點(diǎn),他稱(chēng)這樣的P點(diǎn)為“ 點(diǎn)”,請(qǐng)你進(jìn)一步探索:是否上述直線 上所有的點(diǎn)都是“ 點(diǎn)”?說(shuō)明理由。
(2)該同學(xué)又發(fā)現(xiàn):經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的直線 與拋物線相交于C、D兩點(diǎn),直線 與 的斜率之和是定值。請(qǐng)你求出該定值,并進(jìn)一步探索:在 軸上是否存在這樣的定點(diǎn)M,對(duì)過(guò)點(diǎn)N的任意直線 ,如果 與拋物線相交于C、D兩點(diǎn),均能使得 為定值。若存在,找出滿足條件的點(diǎn)M;若不存在,則說(shuō)明理由。
請(qǐng)就以上兩個(gè)探索問(wèn)題,選擇一個(gè)進(jìn)行解答,滿分8分,都答只算第(1)題得分。
考試答案
一、題:
1、異面、平行;2、 ;3、 ;4、 ;5、垂直;6、 ;7、 ;
8、 ;9、 ;10、③④;11、 ;12、取 中點(diǎn)R,P的軌跡即為線段RC。
二、:
13、A;14、D;15、A;16、A;17、A;18、C
三、解答題:
19、(1)由 ………3分
故: 兩根為
所以: ………6分
(2)證明:假設(shè)直線 與 共面,設(shè)該平面為 !2分
可知直線 與 在平面 上,所以 ……………4分
即 即直線 為共面直線,與已知 為異面直線矛盾。
故原假設(shè)不成立,則直線 與 為異面直線!6分
20、解:(1) ………3分
(2) ………4分
。。。。。。。。。。6分
………8分
21、解:(1) ,將 代入,得 。。。。3分
(2)設(shè) , 中點(diǎn)
。。。。。。。。。。6分
將 代入得:AB中點(diǎn)軌跡為 8分
22、(1)延長(zhǎng)DB與 交于點(diǎn)P,P即為所求點(diǎn)。(圖略)……………4分
(2)過(guò)N點(diǎn)作 交AB于點(diǎn)E,連結(jié)CN,CE。
可知 即為異面直線AM、CN所成角。。。。。。。6分。
,可求得
。。。。。。。9分
則 ……………………10分
23、(1)結(jié)論:上述直線 上所有的點(diǎn)都是“ 點(diǎn)”………2分
由題意得:直線 ……………3分
設(shè) ,由A為BP中點(diǎn),可知
由A、B兩點(diǎn)在拋物線上,則:
化簡(jiǎn)得關(guān)于 的方程: (*)…………5分
其判別式 恒成立,可知對(duì)方程(*)恒有解。即對(duì)直線 上所有的點(diǎn)P,存在過(guò)P點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),使得A為BP中點(diǎn)。…………8分
(2)設(shè)直線 的斜率為 ,直線 ,直線 與拋物線的交點(diǎn) ,
…………2分
斜率和為定值0……………4分
如存在滿足條件的點(diǎn)M ,使得 為定值


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