昆明三中-學年度高二年級上學期期中試題
數(shù) 學（理）
（共100分, 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷
一、選擇題（每小題3分，共36分. 每小題只有一項是符合題目要求）

1．拋物線y2＝4x，經過點P(3，)，則點P到拋物線焦點的距離等于(　　)
A.94 B．4 C.134 D．3

2．雙曲線x2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則等于(　　)
A．－14　　　 B．－4　　　 C．4　　　 D.14

3．命題：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，則a＝b＝0”的逆否命題是(　　)
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠0

4.“>n>0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的 (　　)
A．充分而不必要條件 B． 充要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件

5．已知點P是拋物線y2＝4x上一點，設點P到此拋物線準線的距離為d1，到直線
x＋2y＋10＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是 (　　)
A．5　　　　B．4　　　　C.1155　　　　D.115

6．設a∈R，則a＞1是1a＜1的 (　　)
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

7. 已知橢圓x25＋y2＝1的離心率e＝105，則的值為 (　　)
A3 B．3或253 C.15 D.15或5153

8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　)
A．1 B.15 C. 75 D. 35

9. 若雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的14，求該雙曲線的離心率是 (　　)
A.5 B.62 C．233 D. 2

10．從拋物線y2＝4x上一點P引其準線的垂線，垂足為，設拋物線的焦點為F，且PF＝5，則△PF的面積為(　　)
A．56 B.2534 C．20 D．10

11．在平面直角坐標系中，若不等式組x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0，(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為(　　)
A．－5 B．1 C．2 D．3

12．已知橢圓 與雙曲線 共焦點，則橢圓 的離心率 的取值范圍為
昆明三中-學年度高二年級上學期期中試題
數(shù) 學（理）
第Ⅱ卷
題號一二三總分
1718192021
得分
二、填空題：（本大題共4小題，每小題3分，共12分.）
13．命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ；
14．設實數(shù) 滿足 ，則 的最大值是 ；
15．經過橢圓x22＋y2＝1的右焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A、B兩點．設O為坐標原點，則OA→•OB→=

16．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，則我們知道1AF＋1BF為定值，請寫出關于橢圓的類似的結論： _____________________________________ ___________；當橢圓方程為x24＋y23＝1時，1AF＋1BF＝___________.

三、解答題：（本大題共5小題，共52分）
17．(本小題滿分10分)
設命題p：4x－3≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

18. （本小題滿分10分）
（1）求與橢圓 共焦點的拋物線的標準方程.

(2)已知兩圓 ， ，動圓 與兩圓一個內切，一個外切，求動圓圓心 的軌跡方程．

19．（本小題滿分10分）
如圖，已知點P在正方體 的對角線 上， .
（1）求DP與CC1所成角的大��；
（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小.

20．（本小題滿分10分）
如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2， ，且側面PAB是正三角形，平面 平面ABCD.
（1）求證： ；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E—BD—A的大小為 ，若存在，試求 的值，若不存在，請說明理由.

21．（本小題滿分12分）
已知圓C的方程為 ，過點（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓 的右頂點和上頂點.
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線 與橢圓T相交于P，Q兩不同點，直線 方程為 ，O為坐標原點，求 面積的最大值.

昆明三中-學年度高二年級上學期期中試題
數(shù) 學（理）答案
一、選擇題：BADBC ABCCD DA
二、填空題：
13. 存在x∈R，x3－x2＋1＞0 14. 15. －13
16. 過橢圓的焦點F的動直線交橢圓于A、B兩點，則1AF＋1BF為定值　43

三、解答題：
17.解析：解4x－3≤1得12≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由題設條件得q是p的必要不充分條件，即p⇒q，q p.
∴[12，1] [a，a＋1]．
∴a≤12且a＋1≥1，得0≤a≤12.

18.（1） 或

（2）

19. 解：如圖，以 為原點， 為單位長建立空間直角坐標系 ．
則 ， ．連結 ， ．
在平面 中，延長 交 于 ．設 ，
由已知 ，由
可得 ．解得 ，所以 ．
（Ⅰ）因為 ，
所以 ．即 與 所成的角為 ．
（Ⅱ）平面 的一個法向量是 ．
因為 ，
所以 ．
可得 與平面 所成的角為 ．

20．解析：
取AB中點H，則由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H為原點，建立空間直角坐標系H－ （如圖）．則
（I）證明：∵ ,
∴ ，
∴ ，即PD⊥AC． ………．．6分
（II） 假設在棱PA上存在一點E，不妨設 =λ ，
則點E的坐標為 ， ………．．8分
∴
設 是平面EBD的法向量，則
，
不妨取 ，則得到平面EBD的一個法向量 ．
又面ABD的法向量可以是 =（0,0, ），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
則
可解得 ，即 =
故在棱 上存在點 ，當 時，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．

21．解析：
（Ⅰ）由題意：一條切線方程為： ，設另一條切線方程為：
則： ，解得： ，此時切線方程為：
切線方程與圓方程聯(lián)立得： ，則直線 的方程為
令 ，解得 ，∴ ；令 ,得 ,∴
故所求橢圓方程為
（Ⅱ）聯(lián)立 整理得 ，
令 ， ，則 ， ，
，即：
原點到直線 的距離為 ，
，
=
當且僅當 時取等號，則 面積的最大值為1．

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