福建師大附中2015—2015學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)文試題（滿分：150分，時(shí)間：120分鐘）說明：試卷分第I卷和第II卷兩部分，請(qǐng)將答案填寫在答卷上，考試結(jié)束后只交答案卷.第I卷 共60分一、選擇題：（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（ *** ） A．B．C． D．2.已知，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（ *** ）A.橢圓 B. 線段 C.兩條射線 D. 雙曲線3. 下列有關(guān)命題的說法正確的是（ *** ） A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B．“”是“”的必要不充分條件．C．命題“使得”的否定是：“ 均有”．D．命題“若，則”的逆否命題為真命題4. 設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，該雙曲線的一條漸近線方程是， 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則等于（ *** ）A．2 B．18 C．2或18 D．165．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ *** ）A.-2-1 C. -16. 設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且，則的面積是（ *** ）A.1 B. C.2 D. 7.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且 軸，焦距，則橢圓的離心率是（ *** ）A. B.－1 C.－1 D.－8.的（ *** ）A B．必要不充分條件 C．充要條件 D．都不對(duì)9. 已知拋物線與直線相交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo) 是(1，2)。如果拋物線的焦點(diǎn)為F，那么等于（ *** ）A． 5 B．6 C． D．710. 已知橢圓，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上總存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ *** ）A. B. C. D. 11. 已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù) 的圖象如右圖所示,則該函數(shù)的圖象是（ *** ）12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,若點(diǎn)坐標(biāo)為,,且則的最小值是（ *** ） A． B． C． D．第Ⅱ卷共90分二、填空題：（每小題4分，共16分）13． *** ； *** 14. 點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離和的最小值是 *** .15. 已知?jiǎng)t的最小值是 *** .16.若拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線是,則經(jīng)過點(diǎn)、（4，4）且與相切的圓共有 *** 個(gè).三、解答題：（本大題共6小題，共74分）17．（本題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足。（1）求通項(xiàng)；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.18. （本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別是，已知,(1)若，求;(2)若成等比數(shù)列，請(qǐng)判斷的形狀.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。 （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo). 20. （本題滿分12分）已知分別為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，一條直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn), 且的周長(zhǎng)為8。⑴求實(shí)數(shù)的值； ⑵若的傾斜角為，求的值。21. （本小題共12分）一個(gè)截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬AB＝4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時(shí)只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土．（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧AB的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求當(dāng)截面梯形的下底（較長(zhǎng)的底邊）長(zhǎng)為多少米時(shí)，才能使挖出的土最少？???????22. （本題滿分14分） 如圖，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)為 S□ = 2S□.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線過(1,1),且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程． (Ⅲ)設(shè)為過原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)的直線，,是否存在上述直線使以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案一、選擇題：1－12：BBDCD ACADA BB 二、填空題： 13、, 14、 15、3 16、2三、解答題： 20. 解：由橢圓的定義，得，， ………2分又，所以的周長(zhǎng)． ……………4分又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，所以， 則． ……………5分⑵ 由⑴得，橢圓， ， ………………………7分因?yàn)橹本�的傾斜角為，所以直線斜率為，故直線的方程為． ……………………8分由消去，得， ……………9分（法一：）法二：設(shè)，解得，，……10分所以則 …………12分21. 【解析】（Ⅰ）如圖：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系……1分則 ……2分設(shè)拋物線的方程為將點(diǎn)代入得 ……3分所以拋物線弧AB方程為（） ……4分（Ⅱ）解法一：設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于 則過的切線的斜率為 ，所以切線的方程為：，即，令，得，令，得， 所以梯形面積 ……10分當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，成立此時(shí)下底邊長(zhǎng)為 答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于米時(shí)，挖出的土最少． ……12分?解法二：設(shè)等腰梯形上底（較短的邊）長(zhǎng)為米，則一腰過點(diǎn)，可設(shè)此腰所在直線方程為， 聯(lián)立，得， 令，得，或（舍）， 故此腰所在直線方程為， 令，得， 故等腰梯形的面積： ……10分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有 此時(shí)，下底邊長(zhǎng) 答：當(dāng)梯形的下底邊長(zhǎng)等于米時(shí)，挖出的土最少． ……12分22、解：（Ⅰ）依題意有…………1分又由S□ = 2S□.有，…………2分解得，…… 3分，故橢圓C的方程為.………4分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，， 則，，兩式相減得：． ∵是的中點(diǎn)，∴ 可得直線的斜率為，7分 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將x=1代入橢圓方程并解得，，這時(shí)的中點(diǎn)為，∴x=1不符合題設(shè)要求．…………8分 綜上，直線的方程為 …………9分 （Ⅲ）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，假設(shè)滿足題設(shè)的直線存在，（i）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，由與垂直相交于點(diǎn)且得，即，…………10分 又∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB, ∴.將代入橢圓方程，得，由求根公式可得， ④. ⑤，將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得，⑥將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾.即此時(shí)直線不存在. …………12分（ii）當(dāng)垂直于軸時(shí)，滿足的直線的方程為或， 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 1 1 每天發(fā)布最有價(jià)值的DCBAAB（圖1）AB（圖2）AB（1）福建省師大附中2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文試題
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