①② ①③ ②③ ①②③
2．下列命題正確的是（ ）
若 與 共線， 與 共線，則 與 共線；
向量 共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若 ，則存在唯一的實數 使得 ；
3．如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點。若 ， ， ，則下列向量中與 相等的向量是（ ）
4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
5．（1）已知兩個非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（ �。�
A. ： = ： B.a1?b1=a2?b2=a3?b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實數k，使 =k
（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 =6， ⊥ ，則x+y的值是（ �。�
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
（3）下列各組向量共面的是（ ）
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
例6．已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設 = ， = ，（1）求 和 的夾角 ；（2）若向量k + 與k －2 互相垂直，求k的值.
7．（1）設向量 與 的夾角為 ， ， ，
則 �。�
8．（1）已知a、b、c為正數，且a+b+c=1，求證： + + ≤4 。
（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點1（1，-2，1）移到點2(3，1，2)，求物體合力做的功。
9．如圖,直三棱柱 中, 求證:
10.過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E．若 ， ， ，則 的值為（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
13.已知a＝（ ， ），b＝（ ， ），a與b之間有關系式ka+b= a-kb，其中k＞0．
（1）用k表示a、b；
（2）求a?b的最小值，并求此時，a與b的夾角 的大小．
由已知 ．
14.. 已知 , , , 。
（1）求 ；
（2）設∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ， ，求sinx
1．有以下命題：①如果向量 與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么 的關系是不共線；② 為空間四點，且向量 不構成空間的一個基底，那么點 一定共面；③已知向量 是空間的一個基底，則向量 ，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（ ）
①② ①③ ②③ ①②③
解析：對于①“如果向量 與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么 的關系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。
點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系
2．下列命題正確的是（ ）
若 與 共線， 與 共線，則 與 共線；
向量 共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若 ，則存在唯一的實數 使得 ；
解析：A中向量 為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證 不為零向量
答案C。
點評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧
題型2：空間向量的基本運算
3．如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點。若 ， ， ，則下列向量中與 相等的向量是（ ）
解析：顯然 ；
答案為A。
點評：類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力
4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解： ∥ ,,且 即
又 不共面,
點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。
題型3：空間向量的坐標
5．（1）已知兩個非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（ ）
A. ： = ： B.a1?b1=a2?b2=a3?b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實數k，使 =k
（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 =6， ⊥ ，則x+y的值是（ �。�
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
（3）下列各組向量共面的是（ �。�
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：（1）D；點撥：由共線向量定線易知；
（2）A 點撥：由題知 或 ；
（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得
點評：空間向量的坐標運算除了數量積外就是考察共線、垂直時參數的取值情況
6．已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設 = ， = ，（1）求 和 的夾角 ；（2）若向量k + 與k －2 互相垂直，求k的值.
思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)， = ， = ，
∴ =(1，1，0)， =（－1，0，2）.
(1)cos = = － ，
∴ 和 的夾角為－ 。
(2)∵k + =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k －2 =（k+2，k，－4），且(k + )⊥（k －2 ），
∴（k－1，k，2）?（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
則k=－ 或k=2。
點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（ + ）(k －2 )=k2 2－k ? －2 2=2k2+k－10=0，解得k=－ ，或k=2。
題型4：數量積
7．（1）設向量 與 的夾角為 ， ， ，
則 �。�
.解：設向量 與 的夾角為 且 ∴ ，則 = .
（2）設空間兩個不同的單位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)與向量 =(1，1，1)的夾角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求< ， >的大小(其中0＜< ， >＜π 。
解析
（2）解：(1)∵ = =1，∴x +y =1，∴x =y =1.
又∵ 與 的夾角為 ，∴ ? = cos = = .
又∵ ? =x1+y1，∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=( )2－1= .∴x1y1= 。
(2)cos< ， >= =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .∴x1，y1是方程x2－ x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ，∴ 或
∴cos< ， >= ? + ? = + = .
∵0≤< ， >≤π，∴< ， >= 。
評述：本題考查向量數量積的運算法則
題型5：空間向量的應用
8．（1）已知a、b、c為正數，且a+b+c=1，求證： + + ≤4 。
（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點1（1，-2，1）移到點2(3，1，2)，求物體合力做的功。
解析：（1）設 =( ， ， )， =(1，1，1)，
則 =4， = .
∵ ? ≤ ? ，
∴ ? = + + ≤ ? =4 .
當 = = 時，即a=b=c= 時，取“=”號。
（2）解：W=F?s=(F1+F2+F3)? =14。
點評：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，則由 ? ≤ ? ，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查 ? ≥ ? 的應用，解題時要先根據題設條件構造向量 ， ，然后結合數量積性質進行運算。空間向量的數量積對應做功問題
9．如圖,直三棱柱 中, 求證:
證明：
同理
又
設 為 中點,則
又
點評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關系問題，要用到空間多邊形法則，向量的運算，數量積以及平行,相等和垂直的條件
10.過△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點D、E．若 ， ， ，則 的值為（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
解析：取△ABC為正三角形易得 ＝3．選B．
評析：本題考查向量的有關知識，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學生靈活處理問題的能力．
11.如圖，設P、Q為△ABC內的兩點，且 ，
＝ ＋ ，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為
A． B． C． D．
如下圖，設 ， ，則 ．
由平行四邊形法則，知NP∥AB，所以 ＝ ，
同理可得 ．故 ，選B．
3. 是平面內不共線兩向量，已知 ，若 三點共線，則 的值是
A．2B． C． D．
A ，又A、B、D三點共線，則 .即 ，∴ ，故選 .
【總結點評】本題主要考查共線向量的定義和平面向量基本定理的運用. 要求我們熟記公式，掌握常見變形技巧與方法.
12、已知平面向量 =( ，?1)， = ( )．
（1）求 ；
（2）設 ， （其中 ），若 ，試求函數關系式 并解不等式 ．（1） ；
（2）由 得， ，
所以 ；
變形得： ，解得 ．
13.已知a＝（ ， ），b＝（ ， ），a與b之間有關系式ka+b= a-kb，其中k＞0．
（1）用k表示a、b；
�。�2）求a?b的最小值，并求此時，a與b的夾角 的大�。�
由已知 ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ k＞0， ∴ ．
此時 ∴ ． ∴ ＝60°．
14.. 已知 , , , 。
（1）求 ；
（2）設∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ， ，求sinx
解：（1）由已知
∴
∵ ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,
又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49，……4分
所以 ……6分
（2）在△ABC中， ∴ ……8分
而 如果 ，
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