實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
26.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)(1)
目標(biāo):
1.使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)y=ax2的關(guān)系式。
2. 使學(xué)生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式。
3.讓學(xué)生體驗(yàn)二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,提高學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)。
重點(diǎn)難點(diǎn):
重點(diǎn):已知二次函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),分別求二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+bx+c的關(guān)系式是的重點(diǎn)。
難點(diǎn):已知圖象上三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的關(guān)系式是教學(xué)的難點(diǎn)。
教學(xué)過(guò)程:
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境
如圖,某建筑的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m,拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎樣畫(huà)出模板的輪廓線呢?
分析:為了畫(huà)出符合要求的模板,通常要先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,再寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)這個(gè)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算,放樣畫(huà)圖。
如圖所示,以AB的垂直平分線為y軸,以過(guò)點(diǎn)O的y軸的垂線為x軸,建立直角坐標(biāo)系。這時(shí),屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸,開(kāi)口向下,所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為: y=ax2 (a<0) (1)
因?yàn)閥軸垂直平分AB,并交AB于點(diǎn)C,所以CB=AB2 =2(cm),又CO=0.8m,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-0.8)。
因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上,將它的坐標(biāo)代人(1),得 -0.8=a×22 所以a=-0.2
因此,所求函數(shù)關(guān)系式是y=-0.2x2。
請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系式,畫(huà)出模板的輪廓線。
二、引申拓展
問(wèn)題1:能不能以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,過(guò)點(diǎn)A的x軸的垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系?
讓學(xué)生了解建立直角坐標(biāo)系的方法不是唯一的,以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,過(guò)點(diǎn)A的x軸的垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系也是可行的。
問(wèn)題2,若以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,過(guò)點(diǎn)A的x軸的垂直為y軸,建立直角坐標(biāo)系,你能求出其函數(shù)關(guān)系式嗎?
分析:按此方法建立直角坐標(biāo)系,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),OC所在直線為拋物線的對(duì)稱軸,所以有AC=CB,AC=2m,O點(diǎn)坐標(biāo)為(2;0.8)。即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知拋物線過(guò)(0,0)、(4,0);(2,0.8)三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。
二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c,求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式,跟以前學(xué)過(guò)求一次函數(shù)的關(guān)系式一樣,關(guān)鍵是確定o、6、c,已知三點(diǎn)在拋物線上,所以它的坐標(biāo)必須適合所求的函數(shù)關(guān)系式;可列出三個(gè)方程,解此方程組,求出三個(gè)待定系數(shù)。
解:設(shè)所求的二次函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c。
因?yàn)镺C所在直線為拋物線的對(duì)稱軸,所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC=0.8m,
所以O(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0.8),A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)。
由已知,函數(shù)的圖象過(guò)(0,0),可得c=0,又由于其圖象過(guò)(2,0.8)、(4,0),可得到4a+2b=0.816+4b=0 解這個(gè)方程組,得a=-15b=45 所以,所求的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-15x2+45x。
問(wèn)題3:根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系式,畫(huà)出模板的輪廓線,其圖象是否與前面所畫(huà)圖象相同?
問(wèn)題4:比較兩種建立直角坐標(biāo)系的方式,你認(rèn)為哪種建立直角坐標(biāo)系方式能使解決問(wèn)題來(lái)得更簡(jiǎn)便?為什么?
(第一種建立直角坐標(biāo)系能使解決問(wèn)題來(lái)得更簡(jiǎn)便,這是因?yàn)樗O(shè)函數(shù)關(guān)系式待定系數(shù)少,所求出的函數(shù)關(guān)系式簡(jiǎn)單,相應(yīng)地作圖象也容易)
請(qǐng)同學(xué)們閱瀆P18例7。
三、課堂練習(xí): P18練習(xí)1.(1)、(3)2。
四、綜合運(yùn)用
例1.如圖所示,求二次函數(shù)的關(guān)系式。
分析:觀察圖象可知,A點(diǎn)坐標(biāo)是(8,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)。從圖中可知對(duì)稱軸是直線x=3,由于拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形,所以此拋物線在x軸上的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,0),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知三點(diǎn)求函數(shù)關(guān)系式。
解:觀察圖象可知,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(8,0)、(0,4),對(duì)稱軸是直線x=3。因?yàn)閷?duì)稱軸是直線x=3,所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)。
設(shè)所求二次函數(shù)為y=ax2+bx+c,由已知,這個(gè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4),可以得到c=4,又由于其圖象過(guò)(8,0)、(-2,0)兩點(diǎn),可以得到64a+8b=-44a-2b=-4 解這個(gè)方程組,得a=-14b=32
所以,所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y=-14x2+32x+4
練習(xí): 一條拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)與(12,0),最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3,求這條拋物線的解析式。
五、小結(jié): 二次函數(shù)的關(guān)系式有幾種形式,函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=ax2+bx+c就是其中一種常見(jiàn)的形式。二次函數(shù)關(guān)系式的確定,關(guān)鍵在于求出三個(gè)待定系數(shù)a、b、c,由于已知三點(diǎn)坐標(biāo)必須適合所求的函數(shù)關(guān)系式,故可列出三個(gè)方程,求出三個(gè)待定系數(shù)。
六、作業(yè)
1.P19習(xí)題 26.2 4.(1)、(3)、5。
2.選用課時(shí)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì),
每一課時(shí)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)
1. 二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(2,4),求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式。
2.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。
3.如果拋物線y=ax2+Bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,12),(0,5)和(2,-3),;求a+b+c的值。
4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;


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