教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1.了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系.
2.了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系.
(二) 能力訓(xùn)練要求
1.經(jīng)歷探索兩個(gè)圓之間位置關(guān)系的過程,訓(xùn)練學(xué)生的探索能力.
2.通過平移實(shí)驗(yàn)直觀地探索圓和圓的位置關(guān)系,發(fā)展學(xué)生的識(shí)圖能力和動(dòng)手操作能力.
(三)情感與價(jià)值觀要求
1.通過探索圓和圓的位置關(guān)系,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.
2.經(jīng)歷探究圖形的位置關(guān)系,豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí),發(fā)展形象思維.
教學(xué)重點(diǎn)
探索圓與圓之間的幾種位置關(guān)系,了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系.
教學(xué)難點(diǎn)
探索兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系,以及外切、內(nèi)切時(shí)兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過程.
教學(xué)方法
教師講解與學(xué)生合作交流探索法
教具準(zhǔn)備
投 影片三張
第一張:(記作§3. 6A)
第二張:(記作§3.6B)
第三張:(記作§3.6C)
教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
[師]我們已經(jīng)研究過點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,分別為點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種;還探究了直線和圓的位置關(guān)系,分別為相離、相切、相交.它們的位置關(guān)系都有三種.今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是圓和圓的位置關(guān)系,那么結(jié)果是不是也是三種呢?沒有調(diào)查就沒有發(fā)言權(quán).下面我們就來進(jìn)行有關(guān)探討.
Ⅱ.新課講解
一、想一想
[師]大家思考一下,在現(xiàn)實(shí)生活中你見過兩個(gè)圓的哪些位置關(guān)系呢?
[生]如自行車的兩個(gè)車輪間的位置關(guān) 系;車輪輪胎的兩個(gè)邊界圓間的位置關(guān)系;用一只手拿住大小兩個(gè)圓環(huán)時(shí)兩個(gè)圓環(huán)間的位置關(guān)系等.
[師]很好,現(xiàn)實(shí)生活中我們見過的有關(guān)兩個(gè)圓的位置很多.下面我們就來討論這些位置關(guān)系分別是什么.
二、探索圓和圓的位置關(guān)系
在一張透明紙上作一個(gè)⊙O.再在另一張透明紙上作一個(gè)與⊙O1半徑不等的⊙O2.把兩張透明紙疊在一起,固定⊙O1,平移⊙O2,⊙O1與⊙O2有幾種位置關(guān)系?
[師]請(qǐng)大家先自己動(dòng)手操作,出不同的位置關(guān)系,然后互相交流.
[生]我出共有五種位置關(guān)系,如下圖:
[師]大家的歸納、總結(jié)能力很強(qiáng),能說出五種位置關(guān)系中各自有什么特點(diǎn)嗎?從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的內(nèi)部還是外 部來考慮.
[生]如圖:(1)外離:兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn),并且每一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部;
(2)外切:兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn),除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部;
(3)相交:兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),一 個(gè)圓上的點(diǎn)有的在另一個(gè)圓的外部,有的在另一個(gè)圓的內(nèi)部;
(4)內(nèi)切:兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn),除公共點(diǎn)外,⊙O2上的點(diǎn)在⊙O1的內(nèi)部;
(5)內(nèi)含:兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn),⊙O2上的點(diǎn)都在⊙O1的內(nèi)部.
[師]總結(jié)得很出色,如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮,上面的五種位置關(guān)系中有相同類型嗎?
[生]外離和內(nèi)含都沒有公共點(diǎn);外切和內(nèi)切都有一個(gè)公共點(diǎn);相交有兩個(gè)公共點(diǎn).
[師]因此只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮,可分為相離、相切、相交三種.
經(jīng)過大家的討論我們可知:
投影片(§24.3A)
(1)如果從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部還是內(nèi)部來考慮,兩個(gè)圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.
(2)如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮分三種:相離、相切、相交,并且相離 ,相切
三、例題講解
投影片(§24.3B)
兩個(gè)同樣大小的肥皂 泡黏在一起,其剖面如圖所示(點(diǎn)O,O'是圓心),分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直 線,TP、NP分別為兩圓的切線,求∠TPN的大。
分析:因?yàn)閮蓚(gè)圓大小相同,所以 半徑OP=O'P=OO',又TP、NP分別為兩圓的切 線,所以PT⊥OP,PN⊥O'P,即∠OPT=∠O'PN=90°,所以∠TPN等于36 0°減去∠OPT+∠O'PN+∠OPO'即可.
解 :∵OP=OO'=PO',
∴△PO'O是一個(gè)等邊三角形.
∴∠OPO'=60°.
又∵TP與NP分別為兩圓的切線,
∴∠TPO =∠NPO'=90°.
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°.
四、想一想
如圖(1),⊙O1與⊙O2外切,這個(gè)圖是 軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,它的對(duì)稱軸是什么?切點(diǎn)與對(duì)稱軸有什么位置關(guān)系?如果⊙O1與⊙O2內(nèi)切呢?〔如圖(2 )〕
[師]我們知道圓是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是任一直徑所在的直線,兩個(gè)圓是否也組成一 個(gè)軸對(duì)稱圖形呢?這就要看切點(diǎn)T是否在連接兩個(gè)圓心的直線上,下面我們用反證法來證明.反證法的步驟有三 步:第一步是假設(shè)結(jié)論不成立;第二步是根據(jù)假設(shè)推出和已知條件或定理相矛盾的結(jié)論;第三步是證明假設(shè)錯(cuò)誤,則原來的結(jié)論成立.
證明:假設(shè)切點(diǎn)T不在O1O2上.
因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形,所以T關(guān)于O1O2的對(duì)稱點(diǎn)T'也是兩圓的公共點(diǎn),這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾,因此假設(shè)不成立.
則T在O1O2上.
由此可知圖(1)是軸對(duì)稱圖形,對(duì) 稱軸是兩圓的連心線,切點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是切點(diǎn)在對(duì)稱軸上.
在圖(2)中應(yīng)有同樣的結(jié)論.
通過上面的討論,我們可以得出結(jié)論:兩圓相內(nèi)切或外切時(shí),兩圓的連心線一定經(jīng)過切點(diǎn),圖(1)和圖(2)都是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是它們的連心 線.
五、議一議
投影片(§24.3C)
設(shè)兩圓的半徑分別為R和r.
(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓圓心之間的距離(簡(jiǎn)稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關(guān)系?反之當(dāng)d與R和r滿足這一關(guān)系時(shí),這兩個(gè)圓一定外切嗎?
(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)(R>r),圓心距d與R和r具有怎樣的關(guān)系?反之,當(dāng)d與R和r滿足這一關(guān)系時(shí),這兩個(gè)圓一定內(nèi)切嗎?
[師]如圖,請(qǐng)大家互相交流.
[生]在圖(1)中,兩圓相外切,切點(diǎn)是A.因?yàn)榍悬c(diǎn)A在連心線 O1O2上,所以O(shè)1O2=O1A+O2A=R+r,即d=R+r;反之,當(dāng)d=R+r時(shí),說明圓心距等于兩圓半徑之和,O1、A、O2在一條直線上,所以⊙O1與⊙O2只有一個(gè)交點(diǎn)A,即⊙O1與⊙O2外切.
在圖(2)中,⊙O1與⊙O2相內(nèi)切,切點(diǎn)是 B.因?yàn)榍悬c(diǎn)B在連心線O1O2上,所以 O1O2=O1B-O2B,即d=R-r;反之,當(dāng)d=R-r時(shí),圓心距等于兩半徑之差,即O1O2=O1B-O2B,說明O1、O2、B在一條直線上,B既在⊙O1上,又在⊙O2上,所以⊙O1與⊙O2內(nèi)切.
[師]由此可知,當(dāng)兩圓相外切時(shí),有d=R+r,反過來,當(dāng)d=R+r時(shí),兩圓相外切,即兩圓相外切 d=R+r.
當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí),有d=R-r,反過來,當(dāng)d=R-r時(shí),兩圓相內(nèi) 切,即兩圓相內(nèi)切 d=R-r.
Ⅲ.課堂練習(xí)
隨堂練習(xí)
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容:
1.探索圓和圓的五種位置關(guān)系;
2.討論在兩圓外切或內(nèi)切情況下,圖形的軸對(duì)稱性及對(duì)稱軸,以及切點(diǎn)和對(duì)稱軸的位置關(guān)系;
3. 探討在兩圓外切或內(nèi)切時(shí),圓心距d與R和r之間的關(guān)系.
Ⅴ.課后作業(yè) 習(xí)題24.3
Ⅵ.活動(dòng)與探究
已知圖中各圓兩兩相切,⊙O的半徑為2R,⊙O1、⊙O2的半徑為R,求⊙O3的半徑.
分析:根據(jù)兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和,如果設(shè)⊙O 3的半徑為r,則O1O3=O2O3=R+r,連接OO3就有OO3⊥O1O2,所以O(shè)O2O3構(gòu)成了直角三角形,利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r.
解:連接O2O3、OO3,
∴∠O2OO3=90°,OO3=2R-r,
O2O3=R+r,OO2=R.
∴(R+r)2=(2R-r)2+R2.
∴r= R.
板書設(shè)計(jì)
§24.3 圓和圓的位置關(guān)系
一、1.想一想
2.探索圓和圓的位置關(guān)系
3.例題講解
4.想一想
5.議一議
二、課堂練習(xí)
三、課時(shí)小結(jié)
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