【例1】 若 ,則 的值為 .
思路點(diǎn)撥 視 為整體,令 ,用換元法求出 即可.
【例2】 若方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
思路點(diǎn)撥 通過平方有理化,將無理方程根的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根個(gè)數(shù)的討論,但需注意注 的隱含制約.
注:轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中,我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化:實(shí)際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問題 ,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,常量與變量的轉(zhuǎn)化,一般與特殊的轉(zhuǎn)化等.
解下列方程:
(1) ;
(2) ;
(3) .
按照常規(guī)思路求解繁難,應(yīng)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,對于(1),利用倒數(shù)關(guān)系換元;對于(2),從 受到啟示;對于(3),設(shè) ,則可導(dǎo)出 、 的結(jié)果.
注:換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的,換元不拘泥于一元代換,可根據(jù)問題的特點(diǎn),進(jìn)行多元代換.
【例4】 若 關(guān)于 的方程 只有一個(gè)解(相等的解也算作一個(gè)),試求 的值與方程的解.
思路點(diǎn)撥 先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論,“只有一個(gè)解”內(nèi)涵豐富,在全面分析的基礎(chǔ)上求出 的值.
注:分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化,有可能產(chǎn)生增根,分式方程只有一個(gè) 解,可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解,也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個(gè)解,而其中一個(gè)是原方程的增根,故分式方程的解的討論,要運(yùn)用判別式、增根等知識全面分析.
【例5】 已知關(guān)于 的方程 有兩個(gè)根相等,求 的值.
思路點(diǎn)撥 通過換元可得到兩個(gè)關(guān)于 的含參數(shù) 的一元二次方程,利用判別式求出 的值.
注:運(yùn)用根的判別式延 伸到分式方程、高次方程根的情況的探討,是近年中考、競賽中一類新題型,盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ),但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求.
學(xué)歷訓(xùn)練
1.若關(guān)于 的方程 有增根,則 的值為 ;若關(guān)于 的方程 曾=一1的解為正數(shù),則 的取值范圍是 .
2.解方程 得 .
3.已知方程 有一個(gè)根是2,則 = .
4.方程 的全體實(shí)數(shù)根的積為( )
A.60 B.一60 C.10 D.一10
5.解關(guān)于 的方程 不會產(chǎn)生增根,則是的值是( )
A.2 B.1 C.不為2或一2 D.無法確定
6.已知實(shí)數(shù) 滿足 ,那么 的值為( )
A.1或一2 B.一1或2 C.1 D.一2
7.(1)如表,方程1、方程2、方程3、……,是按照一定規(guī)律排列的一列方程,解方程1,并將它的解填在表中的空格處;
(2)若方程 ( )的解是 =6, =10,求 、 的值.該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個(gè)方程?如果是,它是第幾個(gè)方程?
(3)請寫出這列方程中的第 個(gè)方程和它的解,并驗(yàn)證所寫出的解適合第 個(gè)方程.
序號方 程方程的解
1 = =
2 =4 =6
3 =5 =8
…………
8.解下列方程 :
(1 ) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
9.已知關(guān)于 的方程 ,其中 為實(shí)數(shù),當(dāng)m為何值時(shí),方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根?求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根.
10.方程 的解是 .
11.解方程 得 .
12.方程 的解是 .
13.若關(guān)于 的方程 恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
14.解下列方程:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
15.當(dāng) 取何值時(shí),方程 有負(fù)數(shù)解?
16.已知 ,求 的值.
17.已知:如圖,四邊形ABCD為菱形,AF⊥上AD交BD于E點(diǎn),交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AD2= DE×DB;
(2)過點(diǎn)E作EG⊥AE交AB于點(diǎn)G,若線段BE、DE(BE
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