九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽圓與圓輔導(dǎo)教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題求解】
【例1】 如圖,⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A,⊙Ol經(jīng)過圓心O2,作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點(diǎn)D,EF 為過點(diǎn)A的公切線,若O2D= ,那么∠BAF= 度.
(重慶市中考題)
思路點(diǎn)撥 直徑、公切線、O2的特殊位置等,隱含豐富的信息,而連O2Ol必過A點(diǎn),先求出∠D O2A的度數(shù).
注:(1)兩圓相切或相交時(shí),公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線,它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通.同時(shí),又是生成圓冪定理的重要因素.
(2)涉及兩圓位置關(guān)系的計(jì)算題,常作半徑、連心線,結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形,將分散的條件集中,通過解直角三角形求解.
【例2】 如圖,⊙Ol與⊙O2外切于點(diǎn)A,兩圓的一條外公切線與⊙ O1相切于點(diǎn)B,若AB與兩圓的另一條外公切線平行,則⊙Ol 與⊙O2的半徑之比為( )
A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.2:3
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥 添加輔助線,要探求兩半徑之間的關(guān)系,必須求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的 度數(shù),為此需尋求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關(guān)系.
【例3】 如圖,已知⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),P是⊙Ol上一點(diǎn),PB的延長(zhǎng)線交⊙O2于點(diǎn)C,PA交⊙O2于點(diǎn)D,CD的延 長(zhǎng)線交⊙Ol于點(diǎn)N.
(1)過點(diǎn)A作AE∥CN交⊙Oll于點(diǎn)E,求證:PA=PE;
(2)連結(jié)PN,若PB=4,BC=2,求PN的長(zhǎng).
(重慶市中考題)
思路點(diǎn)撥 (1)連AB,充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角,證明∠PAE=∠PEA;(2)PB?PC=PD?PA,探尋PN、PD、PA對(duì)應(yīng)三角形的聯(lián)系.

【例4】 如圖,兩個(gè)同心圓的圓心是O,AB是大圓的直徑,大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D,連結(jié)OD并延長(zhǎng)交大圓于點(diǎn)E,連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F,已知AC= ,大、小兩圓半徑差為2.
(1)求大圓半徑長(zhǎng);
(2)求線段BF的長(zhǎng);
(3)求證:EC與過B、F、C三點(diǎn)的圓相切.
(宜賓市中考題)
思路點(diǎn)撥 (1)設(shè)大圓半徑為R,則小圓半徑為R-2,建立R的方程;(2)證明△EBC∽△ECF;(3)過B、F、C三點(diǎn)的圓的圓心O′,必在BF上,連O?C,證明∠O′CE=90°.

注:本例以同心圓為背景,綜合了垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識(shí).作出圓中基本輔助線、運(yùn)用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵.

【例5】 如圖,AOB是半徑為1的單位圓的四分之一,半圓O1的圓心O1在OA上,并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)A,半圓O2的圓心O2在OB上,并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)B,半圓O1與半圓O2相切,設(shè)兩半圓的半徑之和為 ,面積之和為 .
(1)試建立以 為自變量的函數(shù) 的解析式;
(2)求函數(shù) 的最小值.
(太原市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 設(shè)兩圓半徑分別為R、r,對(duì)于(1), ,通過變形把R2+r2用“ =R+r”的代數(shù)式表示,作出基本輔助線;對(duì)于(2),因 =R+r,故是在約束條件下求 的最小值,解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍.
注:如圖,半徑分別為r、R的⊙Ol 、⊙O2外切于C,AB,CM分別為兩圓的公切線,OlO2與AB交于P點(diǎn),則:
(1)AB=2 ;
(2) ∠A CB=∠Ol M O2=90°;
(3)PC2=PA?PB;
(4)sinP= ;
(5)設(shè)C到AB的距離為d,則 .

學(xué)力訓(xùn)練
1.已知:⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點(diǎn),且⊙Ol經(jīng)過點(diǎn)O2,若∠AOlB=90°,則∠A O2B的度數(shù)是 .
2.矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分別以A、C為圓心的兩圓相切,點(diǎn)D在圓C內(nèi),點(diǎn)B在圓C外,那么圓A的半徑r的取值范圍 .
(2003年上海市中考題)
3.如圖;⊙Ol 、⊙O2相交于點(diǎn)A、B,現(xiàn)給出4個(gè)命題:
(1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點(diǎn)C,AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點(diǎn)D,則AB2=BC?BD;
(2)連結(jié)AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,則OlO2=25cm;
(3)若CA是⊙Ol的直徑,DA是⊙O2 的一條非直徑的弦,且點(diǎn)D、B不重合,則C、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上,
(4)若過點(diǎn)A作⊙Ol的切線交⊙O2于點(diǎn)D,直線DB交⊙O l于點(diǎn)C,直線CA 交⊙O2于點(diǎn)E,連結(jié)DE,則DE2=DB?DC,則正確命題的序號(hào)是 (寫出所有正確命題的序號(hào)) .
(廈門市中考題)
4.如圖,半圓O的直徑AB=4,與半圓O內(nèi)切的動(dòng)圓Ol與AB切于點(diǎn)M,設(shè)⊙Ol的半徑為 ,AM的長(zhǎng)為 ,則 與 的函數(shù)關(guān)系是 ,自變量 的取值范圍是 .
(昆明市中考題)

5.如圖,施工工地的水平地面上,有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起,則其最高點(diǎn)到地面的距離是( )
A.2 B. C. D.
6.如圖,已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)Ol在⊙O2上,過A作⊙Oll的切線AC交B Ol的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交⊙O2于點(diǎn)C,BP交⊙Ol于點(diǎn)D,若PD=1,PA= ,則AC的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
(武漢市中考題)

7.如圖,⊙Ol和⊙O2外切于A,PA是內(nèi)公切線,BC是外公切線,B、C是切點(diǎn)①PB=AB;②∠PBA=∠PAB;③△PAB∽△OlAB;④PB?PC=OlA?O2A.
上述結(jié)論,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(郴州市中考題)
8.兩圓的半徑分別是和r (R>r),圓心距為d,若關(guān)于 的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則兩圓的位置關(guān)系是( )
A.一定內(nèi)切 B.一定外切 C.相交 D.內(nèi)切或外切
(連云港市中考題)

9.如圖,⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線交⊙Ol于點(diǎn)D,交⊙O2于點(diǎn)E,DA與⊙O2相切,切點(diǎn)為C.
(1)求證:PC平分∠APD;
(2)求證:PD?PA=PC2+AC?DC;
(3)若PE=3,PA=6,求PC的長(zhǎng).

10.如圖,已知⊙Ol和⊙O2外切于A,BC是⊙Ol和⊙O2的公切線,切點(diǎn)為B、C,連結(jié)BA并延長(zhǎng)交⊙Ol于D,過D點(diǎn)作CB的平行線交⊙O2于E、F,求證:(1)CD是⊙Ol的直徑;(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(四川省中考題)

11.如圖,已知A是⊙Ol、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)M是 OlO2的中點(diǎn),過點(diǎn)A的直線B C垂直于MA,分別交⊙Ol、⊙O2于B、C.
(1)求證:AB=AC;
(2)若Ol A切⊙O2于點(diǎn)A,弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2,求證:dl+d2=O1O2;
(3)在(2)的條件下,若dld2=1,設(shè)⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r,求證:R2+r2= R2r2.
(山西省中考題)

12.已知半徑分別為1和2的兩個(gè)圓外切于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離為 .
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

13.如圖,7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r,則捆扎這7根筷子一周的繩子的長(zhǎng)度為 .
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
14.如圖,⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P,⊙O2的弦AB經(jīng)過⊙Ol的圓心Ol,交⊙Ol于C、D,若AC:CD:DB=3:4:2,則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為( )
A.2:7 B.2:5 C.2:3 D. 1:3
15.如圖,⊙Ol與⊙O2相交,P是⊙Ol上的一點(diǎn),過P點(diǎn)作兩圓的切線,則切線的條數(shù)可能是( )
A .1,2 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4
(安徽省中考題)

16.如圖,相等兩圓交于A、B兩點(diǎn),過B任作一直線交兩圓于M、N,過M、N各引所在圓的切線相交于C,則四邊形AMCN有下面關(guān)系成立( )
A.有內(nèi)切圓無外接圓 B有外接圓無內(nèi)切圓
C.既有內(nèi)切圓,也有外接圓 D.以上情況都不對(duì)
(太原市競(jìng)賽題)
17.已知:如圖,⊙O與相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在⊙O上,⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A,CP及其延長(zhǎng)線交⊙P P于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延長(zhǎng)線于F.
(1)求證:BC是⊙P的切線;
(2)若CD=2,CB= ,求EF的長(zhǎng);
(3)若k=PE:CE,是否存在實(shí)數(shù)k,使△PBD恰好是等邊三角形?若存在,求出是的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(青島市中考題)

18.如圖,⊙A和⊙B是外離兩圓,⊙A的半徑長(zhǎng)為2,⊙B的半徑長(zhǎng)為1,AB=4,P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn),PC切⊙A于點(diǎn)C,PD切⊙B于點(diǎn)D.
(1)若PC=PD,求PB的長(zhǎng);
(2)試問線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使PC2+PD2=4?,如果存在,問這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)?并求出PB的值;如果不存在,說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處,使PC⊥PD時(shí),就有△APC∽△PBD.
請(qǐng)問:除上述情況外,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處(說明PB的長(zhǎng)為多少,或PC、PD具有 何種關(guān)系)時(shí),這兩個(gè)三角形仍相似;并判斷此時(shí)直線CP與OB的位置關(guān)系,證明你的結(jié)論. (浙江省嘉興市中考題)
19.如圖,D、E是△ABC邊BC上的兩點(diǎn),F(xiàn)是 BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠DAE=∠CAF.
(1)判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若△ABD的外接圓半徑是△AEC的外接圓半徑的2倍, BC=6,AB=4,求BE的長(zhǎng).
(全國(guó)初中 數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

20.問題:要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面和一個(gè)圓錐的底面.

操作:方案一:在圖甲中,設(shè)計(jì)一個(gè)使圓錐底面最大,半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求,畫示意圖) .
方案二;在圖乙中,設(shè)計(jì)一個(gè)使圓柱兩個(gè)底面最大,半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求:畫示意圖); ,
探究:(1)求方案一中圓錐底面的半徑;
(2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑;
(3)設(shè)方案二中半圓圓心為O,圓柱兩個(gè)底面的圓心為O1、O2,圓錐底面的圓心為O3,試判斷以O(shè)1、O2、O3、O為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形,并加以證明.
(大連市中考題)

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