一、教學(xué)目標:
1.知識與技能:
通過對多個實際問題的分析,讓學(xué)生感受二次函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界有效模型的意義;通過觀察和分析,學(xué)生歸納出二次函數(shù)的概念并能夠根據(jù)函數(shù)特征識別二次函數(shù).
2.數(shù)學(xué)思考:
學(xué)生能對具體情境中的數(shù)學(xué)信息作出合理的解釋,能用二次函數(shù)來描述和刻畫現(xiàn)實事物間的函數(shù)關(guān)系.
3.解決問題:
體驗數(shù)學(xué)與日常生活密切相關(guān),讓學(xué)生認識到許多問題可以用數(shù)學(xué)方法解決,體驗實際問題“數(shù)學(xué)化”的過程.
4.情感與態(tài)度:
通過觀察、歸納、猜想、驗證等教學(xué)活動,給學(xué)生創(chuàng)造成功機會,使他們愛學(xué)、樂學(xué)、學(xué)會,同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,積極合作精神以及公平競爭的意識.
二、教學(xué)重點、難點:
教學(xué)重點:認識二次函數(shù),經(jīng)歷探索函數(shù)關(guān)系、歸納二次函數(shù)概念的過程.
教學(xué)難點:根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,歸納出二次函數(shù)的概念.
三、教學(xué)方法和教學(xué)手段:
在確定二次函數(shù)的概念和尋求生活實例中的二次函數(shù)關(guān)系式的過程中,引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括,以小組討論的形式,進行合作探究.
在教學(xué)手段方面,選擇了多媒體課件輔助教學(xué)的方式.
四、教學(xué)過程:
師生活動設(shè)計意圖
1、問題感知,情境切入.
教師展示實際問題:
“第18屆世界杯足球賽”是今年夏天最“熱”的一個話題,綠蔭場上運動員揮汗如雨,綠蔭場外教練員運籌帷幄.足球運動是一項對運動員狀態(tài)(包括體能、速度和技術(shù)意識)要求很高的項目,一般情況下,足球運動員的狀態(tài)會隨著時間的變化而變化:比賽開始后,球員慢慢進入狀態(tài),中間有一段時間球員保持較為理想的狀態(tài),隨后球員的狀態(tài)慢慢下降.經(jīng)實驗分析可知:球員的狀態(tài)綜合指數(shù)y隨時間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系:
(1)比賽開始后第10分鐘時與比賽開始后第50分鐘時比較,什么時間球員的狀態(tài)更好?
(2)比賽開始后多少分鐘時,球員的狀態(tài)最好,這樣的最好狀態(tài)能持續(xù)多少分鐘?
通過學(xué)生之間的討論,很容易得出第(1)問的答案:比賽開始后第10分鐘時,y = 140;比賽開始后第50分鐘時,y = 220;所以,比賽開始后第50分鐘時球員的狀態(tài)更好.
當學(xué)生開始進行第(2)問的解答時,遇到了不同的困難:
(1)不知道如何討論當50 t 90時,y的變化范圍?
(2)通過模仿一次函數(shù)的性質(zhì),學(xué)生求出了函數(shù)y = 中,y的變化范圍是 .卻無法說出這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是什么?
所有的困難都指向一個焦點問題:
y = 是個什么樣的函數(shù)?它具有什么樣的獨特性質(zhì)?
因此,學(xué)生產(chǎn)生了研究函數(shù)y = 的興趣,教師趁勢提出今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容.
以“世界杯足球賽”這樣貼近學(xué)生生活實際的問題為背景,力求更好地激發(fā)學(xué)生的求知欲,使之成為主動、積極的探索者,并在解決實際問題的過程中體驗成功的快樂,同時為新課的引出和學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).
這是一道結(jié)合實際的自編題,其中的數(shù)據(jù)來源于自己做的社會調(diào)查.足球運動是一項集體運動項目,對運動員的配合意識要求很高,所以運動員上場后30分鐘左右才進入最佳狀態(tài),中場休息后狀態(tài)仍能保持到最佳,50分鐘后由于體能的下降影響了狀態(tài)的發(fā)揮.
2、講解新課,提煉知識.
(1)對比、分析
教師舉出生活中的其它實例,感受二次函數(shù)的意義,進一步深化對二次函數(shù)概念的認識.
① 如圖,正方形中圓的半徑是4cm,陰影部分的面積Q(cm2)和正方形的邊長a(cm)的函數(shù)關(guān)系式是____________________.
② 某種藥品現(xiàn)價每盒26元,兩年內(nèi)每年的降價率都為p,那么,兩年后這種藥品每盒的價格M(元)和年降價率p的函數(shù)關(guān)系式是____________________.
答案:M = 26(1- p)2
(2)類比、遷移
教師順勢提問:對y = 、Q = a2 - 16 、M = 26(1- p)2這三個函數(shù)你能用一個一般形式來表示嗎?
教師參與到學(xué)生的分組討論中去,合作交流,注意及時抓住學(xué)生智慧火花的閃現(xiàn)進行引導(dǎo).教師鼓勵學(xué)生用不同字母表示,只要把握概念的實質(zhì)即可,必要時可提示學(xué)生,類比一次函數(shù)的知識.
(3)二次函數(shù)的認識
一般地,我們把形如y = ax2 + bx + c(a≠0)(說明:括號內(nèi)的條件,在第(4)步之后再補寫)的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中a、b分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù),c是常數(shù)項.
(4)加深理解
二次函數(shù)的定義給出后,教師引導(dǎo)學(xué)生分別討論“a、b、c的取值范圍”.學(xué)生就問題自由發(fā)言,教師充分引導(dǎo)學(xué)生發(fā)表自己的看法,只要合理,都應(yīng)肯定.最后師生達到共識:
① a不能為0,因為當a=0時,右邊不再是x的二次式;
② b、c都能為0,因為當b=0 、c=0或b、c都為0時,右邊仍是x的二次式.
教師對所得出的常量范圍,進行概念補寫.
通過兩個實例的分析,讓學(xué)生通過自己列解析式,來思考所列解析式的結(jié)構(gòu)特征,為概括二次函數(shù)的定義打下基礎(chǔ).
引導(dǎo)學(xué)生側(cè)重從解析式的特征思考,透過“引用不同字母” 的表層現(xiàn)象,看到解析式的“結(jié)構(gòu)一致”的本質(zhì).敞開思想,廣泛議論,實現(xiàn)對二次函數(shù)本質(zhì)的認識.
充分肯定學(xué)生的探究結(jié)果,使其樹立“我也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的信心.
教師的提問意在引起學(xué)生的思維沖突,使之產(chǎn)生探究的欲望.
遵循學(xué)生認知發(fā)展及知識系統(tǒng)的形成過程,由一般到特殊逐步為概念的理解鋪平道路.
3、分層實踐,能力升級.
[快速搶答]
下面各函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?
(1)① y = 2x2 ② y = - x2 + 3
③ y = (x≠0) ④ y = 15x -1
⑤ y = (x + 1)2 +2 ⑥ y = 3x2-2x-5
⑦ y = -x(x2 + 4) ⑧ y =
答:①、②、⑤、⑥是二次函數(shù)
(2)請寫出這些二次函數(shù)中a、b、c的值.
abc
① y = 2x2200
② y = - x2 + 3
-
03
⑤ y = (x + 1)2 +2
= x2 + 2x + 3123
⑥ y = 3x2-2x-53-2-5
特別強調(diào):只有把解析式⑤整理成一般形式,才能正確判斷解析式中的a、b、c.
1.[輕松完成]:矩形的周長為20cm,它的面積S(cm2)和它的一邊長a(cm)的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的?并求出此函數(shù)的定義域.
答案:S = a(10-a) = -a2 + 10a,
其中函數(shù)的定義域為:0< a < 10.
2.[物理中的數(shù)學(xué)]:鋼球從斜面頂端由靜止(運動開始時的速度V0=0)開始沿斜面滾下,速度每秒增加1.5m/s
(1)寫出即時速度Vt與時間t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)寫出平均速度 與時間t的函數(shù)
關(guān)系式;(提示:本題中,平均速度 )
(3)寫出滾動的距離S(單位:米)與滾動的時間t(單位:秒)之間的關(guān)系式.(提示:本題中,距離S = 平均速度 時間t)
(4)請判斷以上三個函數(shù)的類型,如果是二次函數(shù),寫出解析式中的a、b、c.
答案:
(1)Vt = 1.5t;
(2) = = ;
(3)S = t = ;
(4)函數(shù)Vt = 1.5t和 = 是一次函數(shù),函數(shù)S = 是二次函數(shù),解析式中的a = ,b = 0,c = 0.
3.[請你幫個忙]:某果園有100棵橘子樹,每一棵樹平均結(jié)600個橘子.現(xiàn)準備多種一些橘子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹與樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個橘子.那么,如何表示增種的橘子樹的數(shù)量x(棵)與橘子總產(chǎn)量y(個)之間的函數(shù)關(guān)系式呢?判斷這個函數(shù)的類型,如果是二次函數(shù),寫出解析式中的a、b、c.
答案:
解析式中的a = - 5,b = 100,c = 60000.
4.你出題大家做如圖,正方形ABCD的邊長是5,E是AB上的一個動點,G是AD的延長線上一點,且BE = DG,GF∥AB,EF∥AD,_____________________________________________?
請同學(xué)們以小組為單位嘗試編一道實際函數(shù)問題,列出的函數(shù)關(guān)系是可以是二次函數(shù),也可以是一次函數(shù).
估計學(xué)生可能想到:
① 矩形AEGF的面積y與 BE的長x
之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示?
答案:
② 矩形AEMD的面積y與 BE的
長x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示?
答案:
③ 矩形BEMC的面積y與 BE的長x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示?
答案:
④ 矩形DMFG的面積y與 BE的長x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示?
答案:
⑤ 其它類型:六邊形ABCMFG的周長y與 BE的長x之間的函數(shù)關(guān)系;矩形AEGF的周長y與 BE的長x之間的函數(shù)關(guān)系;……
這是一道概念辨析題,目的是讓學(xué)生正確識別二次函數(shù),同時認識二次函數(shù)解析式中a、b、c的意義.
通過求函數(shù)的定義域,讓學(xué)生實際問題中的二次函數(shù)的特點。
通過這道題的安排,讓學(xué)生到了二次函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。同時,學(xué)生在列解析式的過程中,從對比的角度全面了解判定二次函數(shù)的方法,進一步了解不同函數(shù)的差異,從而對函數(shù)的本質(zhì)有更深入了解。
這道實際問題的解決,培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和歸納能力,更重要的是讓學(xué)生體驗了實際問題“數(shù)學(xué)化”的過程.
興趣是學(xué)習(xí)的動力源泉,學(xué)生在參與編題的過程中,培養(yǎng)了與人合作的精神和創(chuàng)新意識,通過學(xué)生多層次、多角度地解決問題的方式,使原本枯燥的數(shù)學(xué)課堂逐漸被開放、熱烈,富于創(chuàng)造性的課堂氣氛所代替,成為激發(fā)學(xué)生潛力的最佳土壤.
4、展示交流,新知.
(1)學(xué)生自己,并在班上交流
本節(jié)課――
我學(xué)會了……
使我感觸最深的……
我感到最困難的是……
我最值得學(xué)習(xí)的同學(xué)是……
(2)結(jié)合學(xué)生所述,教師給予指導(dǎo):
① 正確理解“二次函數(shù)”定義,關(guān)注和定義有關(guān)的注意問題.
② 生活中處處有數(shù)學(xué)的影子,只要留心觀察身邊的事物,開動腦筋,就能用數(shù)學(xué)知識解決許多的生活實際問題.
課堂小結(jié)以教師提問、學(xué)生自由討論的形式進行,借此促進師生心靈的交流,學(xué)生對自己清醒的認識和總結(jié),必然促進其自主學(xué)習(xí),獲得可持續(xù)發(fā)展的動力.
5、布置作業(yè)、鞏固知識.
(1)閱讀教材相應(yīng)內(nèi)容,完成課后習(xí)題第45--46頁第1、2題.
(2)實踐題:
推測植物的生長與溫度的關(guān)系
科幻小說《實驗室的故事》中,有這樣一個情節(jié):科學(xué)家把一種珍奇植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一定時間后,測試出這種植物的增長情況(如下表)
溫度t/℃-7-5-3-11357
植物高度
增長量L/mm12541494941251
由這些數(shù)據(jù),科學(xué)家推測出植物的增加量L與溫度t的函數(shù)關(guān)系,并由它推測出最適合這種植物增長的溫度.
你能想出科學(xué)家是怎樣推測的嗎?請在直角坐標系里畫出這個函數(shù)的大致圖象,根據(jù)圖象寫出你的分析.
必做題促進知識的鞏固,實踐題供學(xué)有余力的學(xué)生完成,進一步培養(yǎng)發(fā)散思維及社會實踐能力.
設(shè)置貼近學(xué)生生活的實際問題情境,并要求學(xué)生嘗試畫出二次函數(shù)的圖象來解決實際問題,激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望,為以后的教學(xué)埋下伏筆.
五、教案設(shè)計說明:
1.注意聯(lián)系實際,滲透用教學(xué)的意識,力求呈現(xiàn)“問題情景――建立數(shù)學(xué)模型――解釋、應(yīng)用與拓展”的過程,讓“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”.教學(xué)中以實際問題主線貫穿整個教學(xué),強調(diào)具體問題的分析、抽象,滲透數(shù)學(xué)建模思想.注重問題的實際意義,選用貼近學(xué)生生活和具有時代氣息的例題、習(xí)題,激發(fā)學(xué)生的興趣,使學(xué)生體會二次函數(shù)在現(xiàn)實世界中的作用.
2.給學(xué)生提供探索和交流的空間,數(shù)學(xué)活動力求避免單純的依賴模仿與記憶,而是一個生動活潑、主動和富有個性的過程.圍繞本節(jié)課所學(xué)知識,設(shè)置有現(xiàn)實意義的、具有挑戰(zhàn)性的開放型問題,激發(fā)學(xué)生積極思考,引導(dǎo)學(xué)生自主探索與合作交流,既能在探索中獲取知識,又能不斷豐富數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗,學(xué)會探索,學(xué)會學(xué)習(xí),提高解決問題的能力,發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力.
3.談化概念的形式記憶,關(guān)注概念的實際背景與形成過程,采用直觀導(dǎo)入、動手操作的方法,借助直觀形象,讓學(xué)生能夠理解概念,并初步學(xué)會應(yīng)用.
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/74245.html
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