九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔助圓輔導(dǎo)教學(xué)案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題求解】
【例1】如圖,直線AB和AC與⊙O分別相切于B、C,P為圓上一點(diǎn),P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm,那么P到BC的距離為 .
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
思路點(diǎn)撥 連DF,EF,尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系,證明△PDF∽△PFE,而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓,突破角是解題的關(guān)鍵.

注:圓具有豐富的性質(zhì):
(1)圓的對(duì)稱性;
(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化;
(3)與圓相關(guān)的角;
(4)圓中比例線段.
適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓,就為圓的豐富性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造了條件,由于圖形的復(fù)雜性,有時(shí)在圖中并不需畫出圓,可謂“圖中無圓,心中有圓”.
【例2】 如圖,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC與PB交于點(diǎn)P,且PB=4,PD=3,則AD?DC 等于( )
A.6 B.7 C.12 D.16
(“TI”杯全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 作出以P點(diǎn)為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的圓,為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了 條件.

注:到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.
【例3】 如圖,在△ABC中,AB=AC,任意延長(zhǎng)CA到P,再延長(zhǎng)AB到Q,使AP=BQ,求證:△ABC的外心O與A,P,Q四點(diǎn)共圓.
思路 點(diǎn)撥 先作出△ABC的外心O,連PO、OQ,將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等.

【例4】 如圖, P是⊙O外一點(diǎn),PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割線,AD⊥PO于D.求證: .

思路點(diǎn)撥 因所證比例線段不是對(duì)應(yīng)邊,故不能通過判定△PBD與△PCD相似證明.PA2=PD?PO=PB?PC,B、C、O、D共圓,這樣連OB,就得多對(duì)相似三角形,以此達(dá)到證明的目的.

注:四點(diǎn)共圓既是一類問題,又是 平面幾何中一個(gè)重要的證明方法,它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位,這是因?yàn),某四點(diǎn)共圓,不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移,而且可直接運(yùn).用圓的性質(zhì)為解題服務(wù).
【例5】如圖,在△ABC中,高BE、CF相交于H,且∠BHC=135°,G為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且GB=GC,∠BGC=3∠A,連結(jié)HG,求證:HG平分∠BHF.

思路點(diǎn)撥 經(jīng)計(jì)算可得∠A=45°,△ABE,△BFH皆為等腰直角三角形 ,只需證∠GHB=∠GHF=22.5°.
由∠BGC=3∠A= 135°=∠GHC, 得B、G、H、C四點(diǎn)共圓,運(yùn)用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點(diǎn)證明.

注:許多直線形問題借助輔助圓,常能降低問題的難度,使問題獲得簡(jiǎn)解、巧解或新解.

學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2,P為正方形內(nèi)一點(diǎn),且∠OPB=45°,PA:PB=5:14,則PB的長(zhǎng)為 .
(北京市競(jìng)賽題)
2.如圖,在△ABC中,AB=AC=2,BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)Pl、P2,…P100,記 (i=1,2,…100),則 = .
3.設(shè)△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF,且其垂心H不與任一頂點(diǎn)重合,則由點(diǎn)A、B、C、D、E、F、H中某四點(diǎn)可以確定的圓共有( )
A.3 個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
(2000年太原市競(jìng)賽題)

4.如圖,已知OA=OB=OC,且∠AOB= ∠BOC,則∠ACB是∠BAC的( )
A. 倍 B.是 倍 C. D.
5.如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=998,CD=1001,AD=199 9,點(diǎn)P在線段AD上,滿足條件的∠BPC=90°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 1 D.不小于3的整數(shù)
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

6.如圖,AD、BE是銳角三角形的兩條高,S△ABC= 18,S△DEC=2,則COSC等于( )
A.3 B. C. D.
7.如圖;已知H是△ABC三條高的交點(diǎn),連結(jié)DF,DE,EF,求證:H是△DEF的內(nèi)心.
8.如圖,已知△ABC中,AH 是高,AT是角平分線,且TD⊥AB,TE⊥AC.
求證:(1)∠AHD=∠AHE;(2) (陜西省競(jìng)賽題)



9.如圖,已知在凸四邊形ABCDE中,∠BAE=3 ,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE= .求證:∠BAC=∠CAD=∠DAK,
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
10.如圖,P是⊙O外一點(diǎn),PA和PB是⊙O的切線,A,B為切點(diǎn),P O與AB交于點(diǎn)M,過M任作⊙O的弦CD.求證:∠CPO=∠DPO.

11.如圖,已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),PS、PT是⊙O的兩條切線,過點(diǎn)P作⊙O的割線PAB,交⊙O A、B兩點(diǎn),與ST交于點(diǎn)C.求證:
(國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)

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