【例題求解】
【例1】如圖，直線AB和AC與⊙O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為 ．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
思路點撥 連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關系，證明△PDF∽△PFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關鍵．

注：圓具有豐富的性質：
(1)圓的對稱性；
(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉化；
(3)與圓相關的角；
(4)圓中比例線段．
適當發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復雜性，有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”．
【例2】 如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則AD?DC 等于( )
A．6 B．7 C．12 D．16
(“TI”杯全國初中數(shù)學競賽題)
思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應用創(chuàng)設了 條件．

注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法．
【例3】 如圖，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點共圓．
思路 點撥 先作出△ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉化為證明角相等．

【例4】 如圖， P是⊙O外一點，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，AD⊥PO于D．求證： ．

思路點撥 因所證比例線段不是對應邊，故不能通過判定△PBD與△PCD相似證明．PA2=PD?PO=PB?PC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到證明的目的．

注：四點共圓既是一類問題，又是 平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉移，而且可直接運．用圓的性質為解題服務．
【例5】如圖，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G為△ABC內(nèi)的一點，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，連結HG，求證：HG平分∠BHF．

思路點撥 經(jīng)計算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆為等腰直角三角形 ，只需證∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A= 135°=∠GHC， 得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉化靈活的特點證明．

注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解．

學力訓練
1．如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，則PB的長為 ．
(北京市競賽題)
2．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點Pl、P2，…P100，記 （i=1，2，…100），則 = ．
3．設△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( )
A．3 個 B．4個 C．5個 D．6個
(2000年太原市競賽題)

4．如圖，已知OA=OB=OC，且∠AOB= ∠BOC，則∠ACB是∠BAC的( )
A． 倍 B．是 倍 C． D．
5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=199 9，點P在線段AD上，滿足條件的∠BPC=90°的點P的個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 1 D．不小于3的整數(shù)
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)

6．如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，S△ABC= 18，S△DEC=2，則COSC等于( )
A．3 B． C． D．
7．如圖；已知H是△ABC三條高的交點，連結DF，DE，EF，求證：H是△DEF的內(nèi)心．
8．如圖，已知△ABC中，AH 是高，AT是角平分線，且TD⊥AB，TE⊥AC．
求證：(1)∠AHD=∠AHE；(2) (陜西省競賽題)



9．如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，∠BAE=3 ，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE= ．求證：∠BAC=∠CAD=∠DAK，
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
10．如圖，P是⊙O外一點，PA和PB是⊙O的切線，A，B為切點，P O與AB交于點M，過M任作⊙O的弦CD．求證：∠CPO=∠DPO．

11．如圖，已知點P是⊙O外一點，PS、PT是⊙O的兩條切線，過點P作⊙O的割線PAB，交⊙O A、B兩點，與ST交于點C．求證：
(國家理科實驗班招生試題)

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