從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解；
從判別式手，運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設△= )，通過窮舉，逼近求解；
從韋達定理入手，從根與系數(shù)的關系式中消去參數(shù)，得到關于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；
從變更主元入人，當方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主元求解．
注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關．
【例題求解】
【例1】若關于 的方程 的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有 個．
思路點撥 用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確．
注： 系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設條件，看是否要分類討論．
【例2】 已知 、 為質(zhì)數(shù)且是方程 的根，那么 的值是( )
A． B． C． D．
思路點撥 由韋達定理 、 的關系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出 、 、 的值．
【例3】 試確定一切有理數(shù) ，使得關于 的方程 有根且只有整數(shù)根．
思路點撥 由于方 程的類型未確定，所以應分類 討論．當 時，由根與系數(shù)關系得到關于r的兩個等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根．
【例4】當 為整數(shù)時，關于 的方程 是否有有理根?如果有，求出 的值；如果沒有，請說明理由．
思路點撥 整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)．
設△= ( 為整數(shù))解不定方程，討論 的存在性．
注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△= 為完全平方數(shù)是方程的 根為有理數(shù)的充要條件．
【例5】 若關于 的方程 至少有一個整數(shù)根，求非負整數(shù) 的值．
思路點撥 因根的表示式復雜，從韋達定理得出的 的兩個關系式中消去 也較困難，又因 的次數(shù)低于 的次數(shù)，故可將原方程變形為關于 的一次方程．
學歷訓練
1．已知關于 的方程 的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù) 有 ．
2．已知方程 有兩個質(zhì)數(shù)解，則m＝ ．
3．給出四個命題：①整系數(shù)方程 (a≠0)中，若△為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程 (a≠0)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù) ；③無理數(shù)系數(shù)方程 (a≠0)的根只能是無理數(shù)；④若 、 、 均 為奇數(shù)，則方程 沒有有理數(shù)根，其中真命題是 ．
4．已知關于 的一元二次方程 ( 為整數(shù))的兩個實數(shù)根是 、 ，則 = ．
5．設rn為整數(shù)，且4< m<40，方程 有兩個整數(shù)根，求m的值及方程的根．(山西省競賽題)
6．已知方程 (a≠0)至少有一個整數(shù)根，求 的值．
7．求使關于 的方程 的根都是整數(shù)的 值．
8．當 為正 整數(shù)時，關于 的方程 的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程．
9．設關于 的二次方程 的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實數(shù) 的值．
10．試求所有這樣的正整數(shù) ，使得方程 至少有一個整數(shù)解．
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