垂直于弦的直徑

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級 來源: 高中學習網(wǎng)
作課類別課題24.1.2 垂直于弦的直徑課型新授
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標知識
技能1.通過觀察實驗,使學生理解圓的對稱性.
2.掌握垂徑定理及其推論,理解其證明,并會用它解決有關(guān)的證明與計算問題.
過程
方法1.利用操作幾何的方法,理解圓是軸對稱圖形,過圓心的直線都是它的對稱軸.
2.經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過程,進一步和理解研究幾何圖形的各種方法.
情感
態(tài)度激發(fā)學生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的興趣和欲望.
教學重點垂徑定理及其運用.
教學難點發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理
教學過程設(shè)計
教學程序及教學內(nèi)容師生行為設(shè)計意圖
一、導語:直徑是圓中特殊的弦,研究直徑是研究圓的重要突破口,這節(jié)課我們就從對直徑的研究開始來研究圓的性質(zhì).
二、探究新知
(一)圓的對稱性
沿著圓的任意一條直徑所在直線對折,重復做幾次,看看你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?
得到:把圓沿著它的任意一條直徑所在直線對折,直徑兩旁的兩個半圓就會重合在一起,因此,圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.
(二)、垂徑定理
完成課本思考
分析:1.如何說明圖24.1-7是軸對稱圖形?
2.你能用不同方法說明圖中的線段相等,弧相等嗎?
?垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條。
即:直徑CD垂直于弦AB則CD平分弦AB,并且平分弦AB所對的兩條。
推理驗證:可以連結(jié)OA、OB,證其與AE、BE構(gòu)成的兩個全等三角形,進一步得到不同的等量關(guān)系.
分析:垂徑定理是由哪幾個已知條件得到哪幾條結(jié)論?
即一條直線若滿足過圓心、垂直于弦、則可以推出平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧,平分弦所對的劣弧.
?垂徑定理推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條。
思考:1.這條推論是由哪幾個已知條件得到哪幾條結(jié)論?
2.為什么要求“弦不是直徑”?否則會出現(xiàn)什么情況?
?垂徑定理的進一步推廣
思考:類似推論的結(jié)論還有嗎?若有,有幾個?分別用語言敘述出來.
歸納:只要已知一條直線滿足“垂直于弦、過圓心、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧,平分弦所對的劣弧.”中的兩個條件,就可以得到另外三個結(jié)論.
(三)、垂徑定理、推論的應用
完成課本趙州橋問題
分析:1.根據(jù)橋的實物圖畫出的幾何圖形應是怎樣的?
2.結(jié)合所畫圖形思考:圓的半徑r、弦心距d、弦長a,弓形高h有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
3.在圓中解決有關(guān)弦的問題時,常常需要作垂直于弦的直徑,作為輔助線,這樣就可以把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來,得到圓的半徑r、弦心距d、弦長a的一半之間的關(guān)系式:
三、課堂訓練
完成課本88頁練習
補充:
1.如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧,點O是圓心,其中CD=600m,E為圓O上一點,OE⊥CD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.
2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形,如圖所示,正常水位下水面寬AB=60m,水面到拱頂距離CD=18m,當洪水泛濫時,水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施?請說明理由.(當水面距拱頂3米以內(nèi)時需要采取緊急措施)

四、小結(jié)歸納
1. 垂徑定理和推論及它們的應用
2. 垂徑定理和勾股定理相結(jié)合,將圓的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.
3.圓中常作輔助線:半徑、過圓心的弦的垂線段
五、作業(yè)設(shè)計
作業(yè):課本94頁 1,95頁 9,12
補充:已知:在半徑為5?的⊙O中,兩條平行弦AB,CD分別長8?,6?.求兩條平行弦間的距離.教師從直徑引出課題,引起學生思考

學生用紙剪一個圓,按教師要求操作,觀察,思考,交流,嘗試發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

學生觀察圖形,結(jié)合圓的對稱性和相關(guān)知識進行思考,嘗試得出垂徑定理,并從不同角度加以解釋.再進行嚴格的幾何證明.

師生分析,進一步理解定理,析出定理的題設(shè)和結(jié)論.
教師引導學生類比定理獨立用類似的方法進行探究,得到推論

學生根據(jù)問題進行思考,更好的理解定理和推論,并弄明白它們的區(qū)別與聯(lián)系
學生審題,嘗試自己畫圖,理清題中的數(shù)量關(guān)系,并思考解決方法,由本節(jié)課知識想到作輔助線辦法,

教師組織學生進行練習,教師巡回檢查,集體交流評價,教師指導學生寫出解答過程,方法,規(guī)律.

引導學生分析:要求當洪水到來時,水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施,只要求出DE的長,因此只要求半徑R,然后運用幾何代數(shù)解求R.

讓學生嘗試歸納,,發(fā)言,體會,反思,教師點評匯總

通過學生親自動手操作發(fā)現(xiàn)圓的對稱性,為后續(xù)探究打下基礎(chǔ)

通過該問題引起學生思考,進行探究,發(fā)現(xiàn)垂徑定理,初步感知培養(yǎng)學生的分析能力,解題能力.

為繼續(xù)探究其推論奠定基礎(chǔ)

培養(yǎng)學生解決問題的意識和能力

全面的理解和掌握垂徑定理和它的推論,并進行推廣,得到其他幾個定理,完整的把握所學知識.
體會轉(zhuǎn)化思想,化未知為已知,從而解決本題,同時把握一類題型的解題方法,作輔助線方法.

運用所學知識進行應用,鞏固知識,形成做題技巧

讓學生通過練習進一步理解,培養(yǎng)學生的應用意識和能力

歸納提升,加強學習反思,幫助學生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的習慣

鞏固深化提高
板 書 設(shè) 計
課題
垂徑定理垂徑定理的進一步推廣
趙州橋問題歸納


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