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九年級數(shù)學(xué)競賽怎樣求最值專題輔導(dǎo)教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
對于 ( )
(1)若a>0,則當(dāng) 時, ;
(2)若a<0,則當(dāng) 時, .
【例題求解】
【例1】 設(shè)a、b為實數(shù),那么 的最小值是 .

思路點撥 將原式整理成關(guān)于 的二次多項式從配方法入手;亦可引入?yún)?shù)設(shè) ,將等式整理成關(guān)于 的二次方程 ,利用判別式求最小值.

【例2】若 ,則 可取得的最小值為( )
A.3 B. C. D.6
思路點撥 設(shè) ,則 可用只含 的代數(shù)式表示,通過配方求最小值.

【例3】 設(shè) 、 是方程 的兩個實根,當(dāng) 為何值時, 有最小值,并求這個最小值.
思路點撥 由韋達定理知 是關(guān)于 的二次函數(shù),是否是在拋物線的頂點處取得最小值,就要看自變量 的取值范圍,從判別式入手.

注:定義在某一區(qū)間的條件限制的二次函數(shù)最值問題,有下兩種情形:
(1)當(dāng)拋物線的頂點在該區(qū)間內(nèi),頂點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值;
(2)當(dāng)拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi),二次函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)兩端點處取得.
【例4】 甲、乙兩個蔬菜基地,分別向A、B、C三個農(nóng)貿(mào)市場提供同品種蔬菜,按簽訂的合同規(guī)定向A提供45噸,向B提供75噸,向C提供40噸.甲基地可安排60噸,乙基地可安排100噸.甲、乙與A、 B、C的距離千米數(shù)如表,設(shè)運費為1元/(千米?噸).問如何安排使總運費最低?求出最小的總運費值.

思路點撥 設(shè)乙基地向A提供 噸,向B提供 噸,這樣總運費就可用含 , 的代數(shù)式表示;因為 0, ,所以問題轉(zhuǎn)化為在約束條件下求多元函數(shù)的最值.
ABC
甲10 56
乙4815

【例5】 某單位花50萬元買回一臺高科技設(shè)備,根據(jù)對這種型號設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示,該設(shè)備投入使用后,若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天,則有結(jié)論:第 天應(yīng)付的養(yǎng)護與維修費為元.
(1)如果將該設(shè)備從開始投入使用到報廢共付的養(yǎng)護與維修費及購買該設(shè)備費用的和均攤到每一天,叫做每天的平均損耗,請你將每天的平均損耗 (元)表示為使用天數(shù) (天)的函數(shù); (2)按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求,當(dāng)此設(shè)備的平均損耗達到最小值時,就應(yīng)當(dāng)報廢,問該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當(dāng)報廢?

思路點撥 在解本題時可能要用到以下數(shù)學(xué)知識點:對于確定的正常數(shù) 、 以及在正實數(shù)范圍內(nèi)取值的變量 ,一定有 ,即當(dāng)且僅當(dāng) 時, 有最小值 .

注:不等式也是求最值的有效方法,常用的不等式有:
(1) ; (2) ;(3)若 , ,則 ; (4)若 , , ,則 .
以上各式等號當(dāng)且僅當(dāng) (或 )時成立.

學(xué)歷訓(xùn)練
1.當(dāng) 變化時,分式 的最小值為 .
2.如圖,用12米長的木方,做一個有一條橫檔的矩形窗子,為使透進的光線最多,選擇窗子的長、寬各為 、 米.
3.已知實數(shù) 、 、 滿足 , ,則 的最大值為 .

4.已知 、 、 為三個非負(fù)實數(shù),且滿足 , ,若 ,則 的最大值與最小值的和為( )
A. B. C.1 D.36

5.已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,若S△AOB=4,S△COD=9,則四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD的最小值為( )
A.2l B.25 C.26 D.36

6.正實數(shù) 、 滿足 ,那么 的最小值為( )
A. B. C.1 D. E.

7.啟明公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品成本是3元,售價是4元,年銷售量為10萬件.為了獲得更好的效益,公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費是 (萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的 倍,且 ,如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費:
(1)試寫出年利潤S (萬元)與廣告費 (萬元)的函數(shù)關(guān)系式,并計算廣告費是多少萬元時,公司獲得的年利潤最大,最大年利潤是多少萬元?
(2)把(1)中的最大利潤留出3萬元作廣告,其余的資金投資新項目,現(xiàn)有6個項目可供選擇,各項目每股投資金額和預(yù)計年收益如下表:

項目ABCDEF
每股(萬元)526468
收益(萬元)0.550.40.60.50.9l
如果每個項目只能投一股,且 要求所有投資項目的,收益總額不得低于1.6萬元,問有幾種符合要求的投資方式?寫出每種投資方式所選的項目.

8.某市20位下崗職工在近郊承包50畝土地辦農(nóng)場,這些地可種蔬菜、煙葉或小麥,種這幾種農(nóng)作物每畝地 所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表:
作物品種每畝地所需職工數(shù)每畝地預(yù)計產(chǎn)值
蔬菜 1100元
煙葉 750元
小麥 600元
請你設(shè)計一個種植方案,使每畝地都種上農(nóng)作物,20位職工 都有工作,且使農(nóng)作物預(yù)計總產(chǎn)值最多.
9.如圖,有長為24m的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長度 為l0m),圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃,設(shè)花圃的寬為xm,面積為sm2.
(1)求s與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果要圍成面積為45m2的花圃,AB的長是多少米?
(3)能圍成面積比45m2更大的花圃嗎?如果能,請求出最大面積,并說明圍法;如果不能,請說明理由.
10.設(shè) 、 是關(guān)于 的一元二次方程 的兩個實數(shù)根,則 的最大值為 .
11.若拋物線 與 軸的交點為A、B,頂點為C,則△ABC的面積最小值為
12.已知實數(shù) 、 滿足 ,且 ,則 的最大值為 ,最小值為 .
13.如圖,B船在A船的西偏北45°處, 兩船相距10 km,若A船向西航行,B船同時向南航行,且B船的速度為A船速度2倍,那么A、B兩船的最近距離為 km.

14.銷售某種商品,如果單價上漲m%,則售出的數(shù)量就將減少 ,為了使該商品的銷售金額最大,那么 的值應(yīng)該確定為 .

15.某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出;當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增 加一輛.租出的車每輛每 月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時,能租出 輛車(直接填寫答案);
(2)設(shè)每輛車的月租金 為x(x≥3000)元,用含 的代數(shù)式:
未租出的車輛數(shù)租出的車輛數(shù)
所有未租出的車
輛每月的維護費租出的車每
輛的月收益

(3)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少元?

16.甲、乙兩種商品,經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是 (萬元)和 (萬元),它們與投入資金 (萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式 , .
今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品,為獲得最大利潤,對甲、乙兩種商品的資金 投入分別應(yīng)為多少?能獲得多大的利潤?
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