第二十二 一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
目標(biāo)
1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會(huì)一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：
1．一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。
難點(diǎn)：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用
時(shí)安排
本教學(xué)時(shí)約需時(shí)，具體分配如下（供參考）
22．1 一元二次方程 1時(shí)
22．2 降次 7 時(shí)
22．3 實(shí)際問題與一元二次方程 3 時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題、小結(jié)
22.1 一元二次方程
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程的定義．
難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；
3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新
1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）
學(xué)過的幾類方程是
沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0， x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0， x(x+5)=150．
同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．
【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．
例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
堂練習(xí) P27 1、2題
歸納總結(jié)
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習(xí)題22.1 1、2題．
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是( )
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2- +4=0,
⑤x2-( +1)x+ =0,⑥3x2- +6=0
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是( )
A.3,-5,-2 B.3,-5x,2
C.3,5x,-2 D.3,-5,2
3.方程(m+2) +3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x- +1的二次項(xiàng)是 ,一次項(xiàng)是 ,常數(shù)項(xiàng)是
后反思：
22.2解一元二次方程
第一時(shí)
直接開平方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．
難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
回憶數(shù)的開方一中的知識(shí)，請(qǐng)學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．
即 一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．
引入新
我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識(shí)，那么上述方程屬于什么方程呢？
新
例1 解方程 x2-4=0．
解：先移項(xiàng)，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2 解方程 (x+3)2=2．
練習(xí)：P28 1、2
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習(xí)題22.1 4、6題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2 x2=-2 B.
C.x1=4 x2=-4 D.此方程無實(shí)根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A. B.
C. D.
4.對(duì)于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根 B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:
D.當(dāng)c=0時(shí),
5.解下列方程:
①.5x2-40=0 ②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0
后反思
第二時(shí)
配方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程的方法．
2．使學(xué)生能夠運(yùn)用適當(dāng)變形的方法，轉(zhuǎn)化方程為易于用配方法求解的形式，解某些一元二次方程．并由此體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：掌握配方的法則．
難點(diǎn)：湊配的方法與技巧．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
用開平方法解下列方程：
(1)x2=441； (2)196x2-49=0；
引入新
我們知道，形如x2-A=0的方程，可變形為x2=A(A≥0)，再根據(jù)平方根的意義，用直接開平方法求解．那么，我們能否將形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)要解決的問題．
新
我們研究方程x2+6x+7=0的解法：
將方程視為：x2+2•x•3=-7， 即 x2+2•x•3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，
這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法的特點(diǎn)是：先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法求出它的解．
例1 解方程x2-4x-3=0．
配方法解之．在解的過程中，注意介紹配方的法則．
例2 解方程2x2+3=7x．
練習(xí)：P34 1、2題
歸納總結(jié)
應(yīng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要點(diǎn)是：
(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；
(2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)；
(3)方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式.
布置作業(yè)：習(xí)題22.2 1、3題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是
A.a B.0 C.1或a D.0或a
2.已知關(guān)于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根為0,另一根不為0,則m的值
為
A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不對(duì)
3.若x2-mx+ 是一個(gè)完全平方式,則m=
A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不對(duì)
4.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是
5.① =(x- )2 ② =(x+ )2
后反思：
第三時(shí)
求根公式法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程，并由此培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合和計(jì)算能力．
2．使學(xué)生掌握公式法解一元二次方程的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：要求學(xué)生正確運(yùn)用求根公式解一元二次方程．
難點(diǎn)：1.求根公式的推導(dǎo)過程．
2.含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
提問：當(dāng)x2=c時(shí)，c≥0時(shí)方程才有解，為什么？
練習(xí)：用配方法解下列一元二次方程
(1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0．
引入新
我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程，應(yīng)如何配方進(jìn)行求解？
新
(引導(dǎo)學(xué)生討論)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步驟．
解：∵a≠0，兩邊同除以a，得
把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，并兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得
(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
應(yīng)用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于：
(1)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)將各項(xiàng)的系數(shù)a，b，c代入求根公式．
例1 解方程x2-3x+2=0.
例2 解方程2x2+7x=4.
例5 解關(guān)于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．
練習(xí)P37 1題
歸納總結(jié)
1．本節(jié)我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即
要重點(diǎn)讓學(xué)生注意到應(yīng)用公式的大前提，即b2-4ac≥0．
2．應(yīng)注意把方程化為一般形式后，再用公式法求解．
布置作業(yè)：習(xí)題22.2 5、8、10題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.若代數(shù)式4x2-2x-5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為
A.1或 B.1或 C.-1或 D.1或
2.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是
A.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
B.只有當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),才有兩實(shí)根
C.當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)根
D.當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程無實(shí)根
3.已知三角形兩邊長分別是1和2,第三邊的長為2x2-5x+3=0的根,則這個(gè)三角形的周長是
A.4 B. C.4或 D.不存在
4.如果分式 的值為0,則x值為
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
5.把 化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式后,則a= ,b= ,c=
6.若分式 的值為0,則x=
7.已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則 =__________.
8.若a2+b2+2a-4b+5=0,則關(guān)于x的方程ax2-bx+5=0的根是___________.
后反思：
第四時(shí)
因式分解法
教學(xué)目的
使學(xué)生掌握應(yīng)用因式分解法解某些系數(shù)較為特殊的一元二次方程的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程．
難點(diǎn)：將方程化為一般形式后，對(duì)左側(cè)二次三項(xiàng)式的因式分解．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．在初一時(shí)，我們學(xué)過將多項(xiàng)式分解因式的哪些方法？
2．方程x2=4的解是多少？
引入新
方程x2=4還有其他解法嗎？
新
眾所周知，方程x2=4還可用公式法解．
此法要比開平方法繁冗．本，我們將介紹一種較為簡捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．
我們?nèi)砸苑匠蘹2=4為例．
移項(xiàng)，得 x2-4=0，
對(duì)x2-4分解因式，得 (x+2)(x-2)=0．
我們知道：
∴ x+2=0，x-2=0．
即 x1=-2，x2=2．
由上述過程我們知道：當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式而另一邊等于0時(shí)，即可解之．這種方法叫做因式分解法．
例1 解下列方程：
(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5．
在講例1(1)時(shí)，要注意講應(yīng)用十字相乘法分解因式；
講例1(2)時(shí)，應(yīng)突出講將方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．
例2 解下列方程：
(1)3x(x+2)=5(x+2)； (2)(3x+1)2-5=0．
在講本例(1)時(shí)，要突出講移項(xiàng)后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；
再利用平方差公式因式分解后求解．
注意：在講完例1、例2后，可通過比較講述因式分解的方法應(yīng)“因題而宜”．
例3 解下列方程：
(1)3x2-16x+5=0 ；(2)3(2x2-1)=7x．
練習(xí)：P40 1、2題
歸納總結(jié)
對(duì)上述三例的解法可做如下總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的步驟是
1．將方程化為一般形式；
2．把方程左邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次式的積；(用初一學(xué)過的分解方法)
3．使每個(gè)一次因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；
4．解所得的兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的兩個(gè)根．
布置作業(yè)：習(xí)題22.2 6、10題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.對(duì)方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3) 選擇合適的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接開平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接開平方法、配方法、公式法
2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根為
A. B.x=3 C. D.
3.若x2-5?x?+4=0,則所有x值的和是
A．1 B.4 C.0 D.1或4
5.若方程x2+ax-2a=0的一根為1,則a的取值和方程的另一根分別是
A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2
5．已知3x2y2-xy-2=0，則x與y之積等于
6．關(guān)于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根為0，則m= 。
7．方程(x-1)(x-2)=0的兩根為x1,x2，且x1>x2,則x1-2x2的值是 。
8．方程x2=?x?的解是
9.用因式分解法解下列方程:
(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2).(1-3x)2=16(2x+3)2 (3).x2+6x-7=0
10.選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?
(1).(3-x)2+x2=9 (2).(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3).(3x-1)2=4(1-x)2 (4). (x-1)2=(1-x)
根據(jù)以上各方程的特點(diǎn),選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍適用的方法,但不夠簡便,一般不常用.不過對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡單些.
后反思：
第五時(shí)
一元二次方程的根的判別式。
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并掌握一元二次方程的根的判別式．
2．使學(xué)生掌握不解方程，運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的情況．
3. 通過對(duì)含有字母系數(shù)方程的根的討論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程根的判別式的論證能力和邏輯思維能力．培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性和嚴(yán)密性．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應(yīng)用．
難點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式的推導(dǎo)．
2.利用根的判別式進(jìn)行有關(guān)證明
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么？
2．用公式法求出下列方程的解：
(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．
引入新
通過上述一組題，讓學(xué)生回答出：一元二次方程的根的情況有三種，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒有實(shí)數(shù)根．
接下向?qū)W生提出問題：是什么條決定著一元二次方程的根的情況？這條與方程的根之間又有什么關(guān)系呢？能否不解方程就可以明確方程的根的情況？這正是我們本要探討的題．(板書本標(biāo)題)
新
先討論上述三個(gè)小題中b2－4ac的情況與其根的聯(lián)系．再做如下推導(dǎo)：
對(duì)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可將其變形為
∵a≠0，∴4a2＞0．
由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、負(fù)直接影響著方程的根的情況．
(1)當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程右邊是一個(gè)正數(shù)．
(2)當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程右邊是0．
通過以上討論，總結(jié)出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況可由b2－4ac判定．故稱b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用“△”表示．
綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△＜0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根．
反過也成立．
例1.不解方程，判別下列方程根的情況：
(1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y； (3)5(x2＋1)－7x＝0．
分析：要想確定上述方程的根的情況，只需算出“△”，確定它的符號(hào)情況即可．
例2．當(dāng)k取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；(3)方程沒有實(shí)數(shù)根．
例3. 求證關(guān)于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根.
歸納總結(jié)
應(yīng)用判別式解題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1．應(yīng)先把已知方程化為一元二次方程的一般形式，為應(yīng)用判別式創(chuàng)造條．
2．一元二次方程根的判別式的逆命題也是成立的．
布置作業(yè)：習(xí)題22.2 4題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.證明關(guān)于x的方程(x-1)(x-2)=m2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
2.已知a，b，c是△ABC的三邊的長，求證方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0沒有實(shí)數(shù)根．
3.若m≠n，求證關(guān)于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0無實(shí)數(shù)根．
4.已知，關(guān)于x的方程（a-2）x2-2（a-1）x+（a+1）＝0，當(dāng)a為何非負(fù)整數(shù)時(shí)；
①.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.③方程沒有實(shí)數(shù)根.
后反思
第六時(shí)
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)，并學(xué)會(huì)其運(yùn)用．
2．培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察以及利用求根公式進(jìn)行推理論證的能力．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：1.韋達(dá)定理的推導(dǎo)和靈活運(yùn)用．
2.已知方程求關(guān)于根的代數(shù)式的值
難點(diǎn)：用兩根之和與兩根之積表示含有兩根的各種代數(shù)式．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式應(yīng)如何表述？
2．上述方程兩根之和等于什么？兩根之積呢？
新
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為
由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：(又稱“韋達(dá)定理”)
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么
我們?cè)倏炊雾?xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根與系數(shù)的關(guān)系．
得出：
如果方程x2＋px＋q＝0的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1•x2，
∴ 方程x2＋px＋q＝0，
即 x2－(x1＋x2)x＋x1•x2＝0．
這就是說，以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2－(x1＋x2)x＋x1•x2＝0．
例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一個(gè)根是2，求它的另一根及k的值．
例2.下列各方程兩根之和與兩根之積各是什么？
(1)x2－3x－18＝0； (2)x2＋5x＋4＝5；
(3)3x2＋7x＋2＝0； (4)2x2＋3x＝0．
練習(xí) P42
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，應(yīng)在應(yīng)用過程中熟記定理．
2．要掌握定理的兩個(gè)應(yīng)用：
⑴.不解方程直接求方程的兩根之和與兩根之積；
⑵.已知方程一根求另一根及系數(shù)中字母的值．
布置作業(yè)：習(xí)題22.2 7題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1．方程2x2＋7x＋k＝0的兩根中有一個(gè)根為0，k為何值？
2.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和．
后反思
第七時(shí)
二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解二次三項(xiàng)式的意義及解方程和因式分解的關(guān)系．
2．使學(xué)生掌握用求根法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將二次三項(xiàng)式分解因式．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：用求根法分解二次三項(xiàng)式．
難點(diǎn)：1.方程的同解變形與多項(xiàng)式的恒等變形的區(qū)別．
2.二元二次三項(xiàng)式的因式分解．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．
引入新
在解上述方程時(shí)，第1，2題均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3題則只有采用其他方法．此題給我們啟示，用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式，有時(shí)是無法做到的．是否存在新的方法能分解二次三項(xiàng)式呢？第3個(gè)方程的求解給我們以啟發(fā)．
新
二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)，我們已經(jīng)可以用十字相乘法分解一些簡單形式．下面我們介紹利用一元二次方程的求根公式將之分解的方法．
易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0時(shí)，可將左邊分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，
求得其兩根x1＝1，x2＝2.
反之，我們也可利用一元二次方程的兩個(gè)根分解二次三項(xiàng)式．即，令二次三項(xiàng)式為0，解此一元二次方程，求出其根，從而分解二次三項(xiàng)式．具體方法如下：
如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩個(gè)根是
＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．
從而得出如下結(jié)論．
在分解二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的因式時(shí)，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2，然后寫成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．
例如，方程2x2-6x+4＝0的兩根是x1＝1，x2＝2．
則可將二次三項(xiàng)式分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．
例1 把4x2-5分解因式．
歸納總結(jié)
用公式法解決二次三項(xiàng)式的因式分解問題時(shí)，其步驟為：
1．令二次三項(xiàng)式ax2+bx+c＝0；
2．解方程(用求根公式等方法)，得方程兩根x1，x2；
3．代入a(x-x1)(x-x2)．
二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三種，即
1．利用完全平方公式；
2．十字相乘法：
即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；
acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．
3．求根法：
ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，
(1)當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解；
(2)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解．
布置作業(yè)：
對(duì)下列式子進(jìn)行因式分解
①2x2+6x+4. ②.4x2-4x+1 ③.-2x2-4x+3. ④.2x2-8xy+5y2
后反思
22.3一元二次方程的應(yīng)用
第一時(shí)
教學(xué)目的
1．使學(xué)生會(huì)列出一元二次方程解應(yīng)用題．
2．使學(xué)生通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：由應(yīng)用問題的條列方程的方法．
難點(diǎn)：設(shè)“元”的靈活性和解的討論．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．一元二次方程有哪些解法？(要求學(xué)生答出：開方法、配方法、公式法、因式分解法．)
2．回憶一元二次方程解的情況．(要求學(xué)生按△＞0，△＝0，△＜0三種情況回答問題．)
3．我們已經(jīng)學(xué)過的列方程解應(yīng)用題時(shí)，有哪些基本步驟？(要求學(xué)生回答：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③根據(jù)等量關(guān)系列方程(組)；④解方程(組)；⑤檢驗(yàn)并寫出答案．)
引入新
問題1：用一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋長方形盒子．試問：應(yīng)如何求出截去的小正方形的邊長？
解：設(shè)小正方形邊長為xcm，則盒子底面的長、寬分別為(80-2x)cm及(60-2x)cm，依題意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，
即 x2-70x+825＝0．
當(dāng)時(shí)，我們不會(huì)解此方程．現(xiàn)在，可用求根公式解此方程了．
∴x1＝55，x2＝15．
當(dāng)x＝55時(shí)，80-2x＝-30，60-2x＝-50；
當(dāng)x＝15時(shí)，80-2x＝50，60-2X＝30．
由于長、寬不能取負(fù)值，故只能取x＝15，即小正方形的邊長為15cm．
問題2：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？
分析：要解決此問題，需求出鐵片的長和寬，由于長比寬多5cm，可設(shè)寬為未知數(shù)列方程．
解：設(shè)這塊鐵片寬xcm，則長是(x+5)cm．依題意，得
x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．
∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．
∴x＝10，x+5＝15．
答：應(yīng)將之剪成長15cm，寬10cm的形狀．
歸納總結(jié)
利用一元二次方程解應(yīng)用題的主要步驟仍是：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列方程；④解方程；⑤依題意檢驗(yàn)所得的根；⑥得出結(jié)論并作答．
布置作業(yè)：習(xí)題22.3 1、2、3、5題
后反思
第二時(shí)
教學(xué)目的
使學(xué)生掌握有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應(yīng)用題的解法．提高學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：用圖示法分析題意列方程．
難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的求解問題.
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
本小節(jié)第一我們介紹了什么問題？
引入新
今天我們進(jìn)一步研究有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程的應(yīng)用題及其解法．
新
例1 如圖1，有一塊長25cm，寬15cm的長方形鐵皮．如果在鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后把四邊折起，做成一個(gè)底面積為231cm2的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應(yīng)是多少？
分析：如圖1，考慮設(shè)截去的小正方形邊長為xcm，則底面的長為(25-2x)cm，寬為(15-2x)cm，由此，知由長×寬＝矩形面積，可列出方程．
解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，依題意，得(25-2x)(15-2x)＝231，
即x2-20x+36＝0，
解得x1＝2，x2＝18(舍去)．
答：截去的小正方形的邊長為2cm．
例2 一個(gè)容器盛滿藥液20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第二次倒出同樣的升數(shù)，這時(shí)容器里剩下藥液5升，問每次倒出藥液多少升？
∴x＝10．
答：第一、二次倒出藥液分別為10升，5升．
練習(xí) P41 3、4
歸納總結(jié)
1．注意充分利用圖示列方程解有關(guān)面積和體積的應(yīng)用題．
2．要注意關(guān)于“藥液問題”應(yīng)用題，列方程要以“剩下藥液”為依據(jù)列式．
布置作業(yè)：習(xí)題22.3 8、9題
后反思
第三時(shí)
教學(xué)目的
使學(xué)生掌握列一元二次方程解關(guān)于增長率的應(yīng)用題的方法．并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：弄清有關(guān)增長率的數(shù)量關(guān)系．
難點(diǎn)：利用數(shù)量關(guān)系列方程的方法．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．問題：(1)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，產(chǎn)品總數(shù)為1600個(gè)，合格品數(shù)為1563個(gè)，合格率是多少？
(2)某種田農(nóng)戶用800千克稻谷碾出600千克大米，問出米率是多少？
(3)某商店二月份的營業(yè)額為3.5萬元，三月份的營業(yè)額為5萬元，三月份與二月份相比，營業(yè)額的增長率是多少？
新
例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增產(chǎn)的百分率是多少？
分析：用譯式法討論列式
一月份產(chǎn)量為5000噸，若月增長率為x，則二月份比一月份增產(chǎn)5000x噸．
二月份產(chǎn)量為(5000+5000x)＝5000(1+x)噸；
三月份比二月份增產(chǎn)5000(1+x)x噸，
三月份產(chǎn)量為5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2噸．再根據(jù)題意，即可列出方程．
解：設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意，
得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，
∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合題意，舍去)．
答：平均每月增長率為20％．
例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊(cè)，第一季度共印182萬冊(cè)，問二、三月份平均每月的增長率是多少？
解：設(shè)每月增長率為x，依題意得
50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，
答：二、三月份平均月增長率為20％．
歸納總結(jié)
依題意，依增長情況列方程是此類題目解題的關(guān)鍵．
布置作業(yè)：習(xí)題22.3 7題
后反思
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/41419.html
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