一元二次方程

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


第二十二 一元二次方程

教材內(nèi)容
本單元的主要內(nèi)容:
1.一元二次方程及其有關(guān)概念,一元二次方程的解法(開平方法、配方法、公式法、分解因式法),
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用:
目標(biāo)
1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景,認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想,抓住“降次”這一基本策略,熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過(guò)程,體會(huì)一元二次方程的教學(xué)模型作用,進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法(開平方法、配方法、公式法、分解因式法)
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。
難點(diǎn):
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法(配方法、公式法、分解因式法),
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用
時(shí)安排
本教學(xué)時(shí)約需時(shí),具體分配如下(供參考)
22.1 一元二次方程 1時(shí)
22.2 降次 7 時(shí)
22.3 實(shí)際問題與一元二次方程 3 時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題、小結(jié)
22.1 一元二次方程
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義.
  2.使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義.
  3.使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):一元二次方程的定義.
  難點(diǎn):一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別.
教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)提問
  1.什么叫做方程?什么叫做一元一次方程?
  2.指出下面哪些方程是已學(xué)過(guò)的方程?分別叫做什么方程?
  (l)3x+4=l;        (2)6x-5y=7;
    
  
    
  3.結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”,什么叫做“次”.
引入新
  1.方程的分類:(通過(guò)上面的復(fù)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生答出)
  學(xué)過(guò)的幾類方程是
    
  
 
  沒學(xué)過(guò)的方程有x2-70x+825=0, x(x+5)=150.
  這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程,叫做整式方程.”像這樣,我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程.”
  據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過(guò)的方程是
  (4)一元二次方程:x2-70x+825=0, x(x+5)=150.
  同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過(guò)的方程分為兩大類:
  
  2.一元二次方程的一般形式
  注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150,即x2+5x=150,
  可化為:x2+5x-150=0.
  從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到:任何一個(gè)一元二次方程,經(jīng)過(guò)整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.并稱之為一元二次方程的一般形式.
其中ax2,bx,c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng);a,b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù).
【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí),方程化為bx+c=0,不再是二次方程了);b,c可為任意實(shí)數(shù).
  例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式.并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
堂練習(xí) P27 1、2題
歸納總結(jié)
  1.方程分為兩大類: 
  判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù);判別一元一次方程,一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后,未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次.
  2.一元二次方程的定義:一個(gè)整式方程,經(jīng)化簡(jiǎn)形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,則這樣的整式方程稱一元二次方程.
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中b,c均可為任意實(shí)數(shù),而a不能等于零.
布置作業(yè):習(xí)題22.1 1、2題.
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是( )
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2- +4=0,
⑤x2-( +1)x+ =0,⑥3x2- +6=0
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說(shuō)法完全正確的是( )
A.3,-5,-2 B.3,-5x,2
C.3,5x,-2 D.3,-5,2
3.方程(m+2) +3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x- +1的二次項(xiàng)是 ,一次項(xiàng)是 ,常數(shù)項(xiàng)是
后反思:


22.2解一元二次方程
第一時(shí)
直接開平方法
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程.
  2.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特殊情況下的解方程,小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a>0,c<0)的方法.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):準(zhǔn)確地求出方程的根.
  難點(diǎn):正確地表示方程的兩個(gè)根.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)過(guò)程
  回憶數(shù)的開方一中的知識(shí),請(qǐng)學(xué)生回答下列問題,并說(shuō)明解決問題的依據(jù).
  求下列各式中的x:
  1.x2=225; 2.x2-169=0;3.36x2=49; 4.4x2-25=0.
  一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
  解題的依據(jù)是:一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,這兩個(gè)平方根互為相反數(shù).
  即 一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0),那么這樣的數(shù)有兩個(gè),它們是互為相反數(shù).
  引入新
  我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了一些方程知識(shí),那么上述方程屬于什么方程呢?
  新
  例1 解方程 x2-4=0.
  解:先移項(xiàng),得x2=4.
  
  即x1=2,x2=-2.
  這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.
  例2 解方程 (x+3)2=2.
練習(xí):P28 1、2
歸納總結(jié)
  1.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的一元二次方程的解法——直接開平方法.
  2.直接法適用于ax2+c=0(a>0,c<0)型的一元二次方程.
布置作業(yè):習(xí)題22.1 4、6題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2 x2=-2 B.
C.x1=4 x2=-4 D.此方程無(wú)實(shí)根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A. B.
C. D.
4.對(duì)于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根 B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:
D.當(dāng)c=0時(shí),
5.解下列方程:
①.5x2-40=0 ②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0
后反思


第二時(shí)
配方法
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程的方法.
  2.使學(xué)生能夠運(yùn)用適當(dāng)變形的方法,轉(zhuǎn)化方程為易于用配方法求解的形式,解某些一元二次方程.并由此體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):掌握配方的法則.
  難點(diǎn):湊配的方法與技巧.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)過(guò)程
  用開平方法解下列方程:
  (1)x2=441; (2)196x2-49=0;
  引入新
  我們知道,形如x2-A=0的方程,可變形為x2=A(A≥0),再根據(jù)平方根的意義,用直接開平方法求解.那么,我們能否將形如ax2+bx+c=0(a>0)的一類方程,化為上述形式求解呢?這正是我們這節(jié)要解決的問題.
  新
  我們研究方程x2+6x+7=0的解法:
  將方程視為:x2+2•x•3=-7, 即 x2+2•x•3+32=32-7,∴ (x+3)2=2,
  
  這種解一元二次方程的方法叫做配方法.這種方法的特點(diǎn)是:先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,再把左邊配成一個(gè)完全平方式,如果右邊是非負(fù)數(shù),就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法求出它的解.
  例1 解方程x2-4x-3=0.
  配方法解之.在解的過(guò)程中,注意介紹配方的法則.
  例2 解方程2x2+3=7x.

練習(xí):P34 1、2題
歸納總結(jié)
應(yīng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要點(diǎn)是:
  (1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1;
  (2)移項(xiàng),使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù);
  (3)方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,使左邊配成一個(gè)完全平方式.
布置作業(yè):習(xí)題22.2 1、3題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是
A.a B.0 C.1或a D.0或a
2.已知關(guān)于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根為0,另一根不為0,則m的值

A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不對(duì)
3.若x2-mx+ 是一個(gè)完全平方式,則m=
A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不對(duì)
4.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是
5.① =(x- )2 ② =(x+ )2
后反思:

第三時(shí)
求根公式法
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過(guò)程,并由此培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合和計(jì)算能力.
  2.使學(xué)生掌握公式法解一元二次方程的方法.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):要求學(xué)生正確運(yùn)用求根公式解一元二次方程.
難點(diǎn):1.求根公式的推導(dǎo)過(guò)程.
2.含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  提問:當(dāng)x2=c時(shí),c≥0時(shí)方程才有解,為什么?
  練習(xí):用配方法解下列一元二次方程
  (1)x2-8x=20; (2)2x2-6x-1=0.
  引入新
  我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程,應(yīng)如何配方進(jìn)行求解?
  新
  (引導(dǎo)學(xué)生討論)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步驟.
  解:∵a≠0,兩邊同除以a,得

  把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊,并兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方,得


 (a≠0)的求根公式.用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
 應(yīng)用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于:
(1)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);(2)將各項(xiàng)的系數(shù)a,b,c代入求根公式.
  例1 解方程x2-3x+2=0.
  例2 解方程2x2+7x=4.
例5 解關(guān)于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0.
練習(xí)P37 1題
歸納總結(jié)
  1.本節(jié)我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,即

要重點(diǎn)讓學(xué)生注意到應(yīng)用公式的大前提,即b2-4ac≥0.
  2.應(yīng)注意把方程化為一般形式后,再用公式法求解.
布置作業(yè):習(xí)題22.2 5、8、10題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.若代數(shù)式4x2-2x-5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為
A.1或 B.1或 C.-1或 D.1或
2.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是
A.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
B.只有當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),才有兩實(shí)根
C.當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)根
D.當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程無(wú)實(shí)根
3.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別是1和2,第三邊的長(zhǎng)為2x2-5x+3=0的根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是
A.4 B. C.4或 D.不存在
4.如果分式 的值為0,則x值為
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
5.把 化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式后,則a= ,b= ,c=
6.若分式 的值為0,則x=
7.已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則 =__________.
8.若a2+b2+2a-4b+5=0,則關(guān)于x的方程ax2-bx+5=0的根是___________.
后反思:


第四時(shí)
因式分解法
教學(xué)目的
  使學(xué)生掌握應(yīng)用因式分解法解某些系數(shù)較為特殊的一元二次方程的方法.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):用因式分解法解一元二次方程.
  難點(diǎn):將方程化為一般形式后,對(duì)左側(cè)二次三項(xiàng)式的因式分解.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  1.在初一時(shí),我們學(xué)過(guò)將多項(xiàng)式分解因式的哪些方法?
  2.方程x2=4的解是多少?
  引入新
  方程x2=4還有其他解法嗎?
  新
  眾所周知,方程x2=4還可用公式法解.
  此法要比開平方法繁冗.本,我們將介紹一種較為簡(jiǎn)捷的解一元二次方程的方法——因式分解法.
  我們?nèi)砸苑匠蘹2=4為例.
  移項(xiàng),得 x2-4=0,
  對(duì)x2-4分解因式,得 (x+2)(x-2)=0.
  我們知道:
  ∴ x+2=0,x-2=0.
  即 x1=-2,x2=2.
  由上述過(guò)程我們知道:當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式而另一邊等于0時(shí),即可解之.這種方法叫做因式分解法.
例1 解下列方程:
(1)x2-3x-10=0; (2)(x+3)(x-1)=5.
  在講例1(1)時(shí),要注意講應(yīng)用十字相乘法分解因式;
  講例1(2)時(shí),應(yīng)突出講將方程整理成一般形式,然后再分解因式解之.
  例2 解下列方程:
  (1)3x(x+2)=5(x+2); (2)(3x+1)2-5=0.
  在講本例(1)時(shí),要突出講移項(xiàng)后提取公因式,形成(x+2)(3x-5)=0后求解;
  
  再利用平方差公式因式分解后求解.
  注意:在講完例1、例2后,可通過(guò)比較講述因式分解的方法應(yīng)“因題而宜”.
  例3 解下列方程:
  (1)3x2-16x+5=0 ;(2)3(2x2-1)=7x.
 練習(xí):P40 1、2題
歸納總結(jié)
  對(duì)上述三例的解法可做如下總結(jié):因式分解法解一元二次方程的步驟是
  1.將方程化為一般形式;
  2.把方程左邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次式的積;(用初一學(xué)過(guò)的分解方法)
  3.使每個(gè)一次因式等于0,得到兩個(gè)一元一次方程;
  4.解所得的兩個(gè)一元一次方程,得到原方程的兩個(gè)根.
布置作業(yè):習(xí)題22.2 6、10題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.對(duì)方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3) 選擇合適的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接開平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接開平方法、配方法、公式法
2.方程2x(x-3)=5(x-3)的根為
A. B.x=3 C. D.
3.若x2-5?x?+4=0,則所有x值的和是
A.1 B.4 C.0 D.1或4
5.若方程x2+ax-2a=0的一根為1,則a的取值和方程的另一根分別是
A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2
5.已知3x2y2-xy-2=0,則x與y之積等于
6.關(guān)于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根為0,則m= 。
7.方程(x-1)(x-2)=0的兩根為x1,x2,且x1>x2,則x1-2x2的值是 。
8.方程x2=?x?的解是
9.用因式分解法解下列方程:
(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2).(1-3x)2=16(2x+3)2 (3).x2+6x-7=0
10.選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?
(1).(3-x)2+x2=9 (2).(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3).(3x-1)2=4(1-x)2 (4). (x-1)2=(1-x)
根據(jù)以上各方程的特點(diǎn),選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍適用的方法,但不夠簡(jiǎn)便,一般不常用.不過(guò)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡(jiǎn)單些.
后反思:

第五時(shí)
一元二次方程的根的判別式。
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生理解并掌握一元二次方程的根的判別式.
2.使學(xué)生掌握不解方程,運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的情況.
3. 通過(guò)對(duì)含有字母系數(shù)方程的根的討論,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程根的判別式的論證能力和邏輯思維能力.培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性和嚴(yán)密性.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應(yīng)用.
難點(diǎn):1.一元二次方程根的判別式的推導(dǎo).
2.利用根的判別式進(jìn)行有關(guān)證明
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  1.一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么?
  2.用公式法求出下列方程的解:
  (1)3x2+x-10=0;(2)x2-8x+16=0;(3)2x2-6x+5=0.
  引入新
  通過(guò)上述一組題,讓學(xué)生回答出:一元二次方程的根的情況有三種,即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;沒有實(shí)數(shù)根.
  接下向?qū)W生提出問題:是什么條決定著一元二次方程的根的情況?這條與方程的根之間又有什么關(guān)系呢?能否不解方程就可以明確方程的根的情況?這正是我們本要探討的題.(板書本標(biāo)題)
  新
  先討論上述三個(gè)小題中b2-4ac的情況與其根的聯(lián)系.再做如下推導(dǎo):
  對(duì)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),可將其變形為

  ∵a≠0,∴4a2>0.
  由此可知b2-4ac的值的“三岐性”,即正、零、負(fù)直接影響著方程的根的情況.
  (1)當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程右邊是一個(gè)正數(shù).

  (2)當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程右邊是0.
  

  通過(guò)以上討論,總結(jié)出:一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況可由b2-4ac判定.故稱b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式,通常用“△”表示.
  綜上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
   當(dāng)△>0時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
   當(dāng)△=0時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
   當(dāng)△<0時(shí),沒有實(shí)數(shù)根.
反過(guò)也成立.
  例1.不解方程,判別下列方程根的情況:
  (1)2x2+3x-4=0; (2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.
分析:要想確定上述方程的根的情況,只需算出“△”,確定它的符號(hào)情況即可.
例2.當(dāng)k取什么值時(shí),關(guān)于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
  (1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根;(3)方程沒有實(shí)數(shù)根.
例3. 求證關(guān)于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根.
歸納總結(jié)
  應(yīng)用判別式解題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):
  1.應(yīng)先把已知方程化為一元二次方程的一般形式,為應(yīng)用判別式創(chuàng)造條.
  2.一元二次方程根的判別式的逆命題也是成立的.
布置作業(yè):習(xí)題22.2 4題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.證明關(guān)于x的方程(x-1)(x-2)=m2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
2.已知a,b,c是△ABC的三邊的長(zhǎng),求證方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0沒有實(shí)數(shù)根.
3.若m≠n,求證關(guān)于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0無(wú)實(shí)數(shù)根.
4.已知,關(guān)于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,當(dāng)a為何非負(fù)整數(shù)時(shí);
①.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.③方程沒有實(shí)數(shù)根.
后反思


第六時(shí)
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理),并學(xué)會(huì)其運(yùn)用.
  2.培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察以及利用求根公式進(jìn)行推理論證的能力.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):1.韋達(dá)定理的推導(dǎo)和靈活運(yùn)用.
2.已知方程求關(guān)于根的代數(shù)式的值
  難點(diǎn):用兩根之和與兩根之積表示含有兩根的各種代數(shù)式.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  1.一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式應(yīng)如何表述?
  2.上述方程兩根之和等于什么??jī)筛e呢?
  新
  一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為
 
  
  由此得出,一元二次方程的根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系:(又稱“韋達(dá)定理”)
  如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么
  我們?cè)倏炊雾?xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0的根與系數(shù)的關(guān)系.
    
  
  得出:
  如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.
  由 x1+x2=-p,x1x2=q 可知p=-(x1+x2),q=x1•x2,
  ∴ 方程x2+px+q=0,
  即 x2-(x1+x2)x+x1•x2=0.
這就是說(shuō),以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1•x2=0.
例1.已知方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根是2,求它的另一根及k的值.
例2.下列各方程兩根之和與兩根之積各是什么?
  (1)x2-3x-18=0; (2)x2+5x+4=5;
  (3)3x2+7x+2=0; (4)2x2+3x=0.
練習(xí) P42
歸納總結(jié)
  1.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理,應(yīng)在應(yīng)用過(guò)程中熟記定理.
2.要掌握定理的兩個(gè)應(yīng)用:
⑴.不解方程直接求方程的兩根之和與兩根之積;
⑵.已知方程一根求另一根及系數(shù)中字母的值.
布置作業(yè):習(xí)題22.2 7題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程2x2+7x+k=0的兩根中有一個(gè)根為0,k為何值?
2.利用根與系數(shù)的關(guān)系,求一元二次方程2x2+3x-1=0兩根的(1)平方和;(2)倒數(shù)和.
后反思


第七時(shí)
二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生理解二次三項(xiàng)式的意義及解方程和因式分解的關(guān)系.
  2.使學(xué)生掌握用求根法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將二次三項(xiàng)式分解因式.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):用求根法分解二次三項(xiàng)式.
難點(diǎn):1.方程的同解變形與多項(xiàng)式的恒等變形的區(qū)別.
2.二元二次三項(xiàng)式的因式分解.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  解方程:1.x2-x-6=0; 2.3x2-11x+10=0; 3.4x2+8x-1=0.
  引入新
  在解上述方程時(shí),第1,2題均可用十字相乘法分解因式,迅速求解.而第3題則只有采用其他方法.此題給我們啟示,用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式,有時(shí)是無(wú)法做到的.是否存在新的方法能分解二次三項(xiàng)式呢?第3個(gè)方程的求解給我們以啟發(fā).
  新
  二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0),我們已經(jīng)可以用十字相乘法分解一些簡(jiǎn)單形式.下面我們介紹利用一元二次方程的求根公式將之分解的方法.
   易知,解一元二次方程2x2-6x+4=0時(shí),可將左邊分解因式,即2(x-1)(x-2)=0,
   求得其兩根x1=1,x2=2.
  反之,我們也可利用一元二次方程的兩個(gè)根分解二次三項(xiàng)式.即,令二次三項(xiàng)式為0,解此一元二次方程,求出其根,從而分解二次三項(xiàng)式.具體方法如下:
   如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是
    
     
 
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1)(x-x2).
  從而得出如下結(jié)論.
  在分解二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的因式時(shí),可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩根x1,x2,然后寫成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
   例如,方程2x2-6x+4=0的兩根是x1=1,x2=2.
   則可將二次三項(xiàng)式分解因式,得2x2-6x+4=2(x-1)(x-2).
  例1 把4x2-5分解因式.
歸納總結(jié)
用公式法解決二次三項(xiàng)式的因式分解問題時(shí),其步驟為:
  1.令二次三項(xiàng)式ax2+bx+c=0;
  2.解方程(用求根公式等方法),得方程兩根x1,x2;
3.代入a(x-x1)(x-x2).
二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三種,即
  1.利用完全平方公式;
  2.十字相乘法:
  即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);
  acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).
  3.求根法:
  ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),
  (1)當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解;
(2)當(dāng)b2-4ac<0時(shí),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解.
布置作業(yè):
對(duì)下列式子進(jìn)行因式分解
①2x2+6x+4. ②.4x2-4x+1 ③.-2x2-4x+3. ④.2x2-8xy+5y2
后反思


22.3一元二次方程的應(yīng)用
第一時(shí)
教學(xué)目的
  1.使學(xué)生會(huì)列出一元二次方程解應(yīng)用題.
  2.使學(xué)生通過(guò)列方程解應(yīng)用題,進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):由應(yīng)用問題的條列方程的方法.
  難點(diǎn):設(shè)“元”的靈活性和解的討論.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  1.一元二次方程有哪些解法?(要求學(xué)生答出:開方法、配方法、公式法、因式分解法.)
  2.回憶一元二次方程解的情況.(要求學(xué)生按△>0,△=0,△<0三種情況回答問題.)
  3.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的列方程解應(yīng)用題時(shí),有哪些基本步驟?(要求學(xué)生回答:①審題;②設(shè)未知數(shù);③根據(jù)等量關(guān)系列方程(組);④解方程(組);⑤檢驗(yàn)并寫出答案.)
  引入新
  問題1:用一塊長(zhǎng)80cm,寬60cm的薄鋼片,在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,然后做成底面積為1500cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方形盒子.試問:應(yīng)如何求出截去的小正方形的邊長(zhǎng)?
   解:設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為xcm,則盒子底面的長(zhǎng)、寬分別為(80-2x)cm及(60-2x)cm,依題意,可得(80-2x)(60-2x)=1500,
   即 x2-70x+825=0.
  當(dāng)時(shí),我們不會(huì)解此方程.現(xiàn)在,可用求根公式解此方程了.
 
  ∴x1=55,x2=15.
   當(dāng)x=55時(shí),80-2x=-30,60-2x=-50;
   當(dāng)x=15時(shí),80-2x=50,60-2X=30.
   由于長(zhǎng)、寬不能取負(fù)值,故只能取x=15,即小正方形的邊長(zhǎng)為15cm.
   問題2:剪一塊面積是150cm2的長(zhǎng)方形鐵片,使它的長(zhǎng)比寬多5cm,這塊鐵片應(yīng)怎樣剪?
   分析:要解決此問題,需求出鐵片的長(zhǎng)和寬,由于長(zhǎng)比寬多5cm,可設(shè)寬為未知數(shù)列方程.
   解:設(shè)這塊鐵片寬xcm,則長(zhǎng)是(x+5)cm.依題意,得
  x(x+5)=150,即x2+5x-150=0.
  
   ∴x1=10,x2=-15(舍去).
   ∴x=10,x+5=15.
   答:應(yīng)將之剪成長(zhǎng)15cm,寬10cm的形狀.
歸納總結(jié)
  利用一元二次方程解應(yīng)用題的主要步驟仍是:①審題;②設(shè)未知數(shù);③列方程;④解方程;⑤依題意檢驗(yàn)所得的根;⑥得出結(jié)論并作答.
布置作業(yè):習(xí)題22.3 1、2、3、5題
后反思


第二時(shí)
教學(xué)目的
  使學(xué)生掌握有關(guān)面積和體積方面以及“藥液?jiǎn)栴}”的一元二次方程應(yīng)用題的解法.提高學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):用圖示法分析題意列方程.
  難點(diǎn):將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的求解問題.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  本小節(jié)第一我們介紹了什么問題?
  引入新
  今天我們進(jìn)一步研究有關(guān)面積和體積方面以及“藥液?jiǎn)栴}”的一元二次方程的應(yīng)用題及其解法.
  新
  例1 如圖1,有一塊長(zhǎng)25cm,寬15cm的長(zhǎng)方形鐵皮.如果在鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,然后把四邊折起,做成一個(gè)底面積為231cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子,求截去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少?

  分析:如圖1,考慮設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為xcm,則底面的長(zhǎng)為(25-2x)cm,寬為(15-2x)cm,由此,知由長(zhǎng)×寬=矩形面積,可列出方程.
   解:設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,依題意,得(25-2x)(15-2x)=231,
   即x2-20x+36=0,
   解得x1=2,x2=18(舍去).
   答:截去的小正方形的邊長(zhǎng)為2cm.
  例2 一個(gè)容器盛滿藥液20升,第一次倒出若干升,用水加滿;第二次倒出同樣的升數(shù),這時(shí)容器里剩下藥液5升,問每次倒出藥液多少升?

   ∴x=10.
   答:第一、二次倒出藥液分別為10升,5升.
  練習(xí) P41 3、4
歸納總結(jié)
  1.注意充分利用圖示列方程解有關(guān)面積和體積的應(yīng)用題.
  2.要注意關(guān)于“藥液?jiǎn)栴}”應(yīng)用題,列方程要以“剩下藥液”為依據(jù)列式.
布置作業(yè):習(xí)題22.3 8、9題
后反思
第三時(shí)
教學(xué)目的
  使學(xué)生掌握列一元二次方程解關(guān)于增長(zhǎng)率的應(yīng)用題的方法.并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
  重點(diǎn):弄清有關(guān)增長(zhǎng)率的數(shù)量關(guān)系.
  難點(diǎn):利用數(shù)量關(guān)系列方程的方法.
教學(xué)過(guò)程
  復(fù)習(xí)提問
  1.問題:(1)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,產(chǎn)品總數(shù)為1600個(gè),合格品數(shù)為1563個(gè),合格率是多少?
  (2)某種田農(nóng)戶用800千克稻谷碾出600千克大米,問出米率是多少?
  (3)某商店二月份的營(yíng)業(yè)額為3.5萬(wàn)元,三月份的營(yíng)業(yè)額為5萬(wàn)元,三月份與二月份相比,營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率是多少?
  新
  例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸,三月份上升到7200噸,這兩個(gè)月平均每月增產(chǎn)的百分率是多少?
  分析:用譯式法討論列式
   一月份產(chǎn)量為5000噸,若月增長(zhǎng)率為x,則二月份比一月份增產(chǎn)5000x噸.
   二月份產(chǎn)量為(5000+5000x)=5000(1+x)噸;
   三月份比二月份增產(chǎn)5000(1+x)x噸,
   三月份產(chǎn)量為5000(1+x)+5000(1+x)x=5000(1+x)2噸.再根據(jù)題意,即可列出方程.
   解:設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x,根據(jù)題意,
   得5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,
   ∴1+x=±1.2,x1=0.2,x2=-2.2(不合題意,舍去).
   答:平均每月增長(zhǎng)率為20%.
  例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬(wàn)冊(cè),第一季度共印182萬(wàn)冊(cè),問二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少?
   解:設(shè)每月增長(zhǎng)率為x,依題意得
  50+50(1+x)+50(1+x)2=182,
    
  
  答:二、三月份平均月增長(zhǎng)率為20%.
歸納總結(jié)
  依題意,依增長(zhǎng)情況列方程是此類題目解題的關(guān)鍵.
布置作業(yè):習(xí)題22.3 7題
后反思




本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/41419.html

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