九年級數(shù)學(xué)競賽直線與圓專題輔導(dǎo)講座

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
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注: 點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法,即量化的方法(距離與半徑的比較),我們稱“由數(shù)定形”,勾股定理的逆定理也具有這一特點.
【例題求解】
【例1】 如圖,AB是半圓O的直徑,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延長線于E,若EA=1,ED=2,則BC的長為 .
思路點撥 從C點看,可用切線長定理,從E點看,可用切割線定理,而連OD,則OD⊥EC,又有相似三角形,先求出⊙O的半徑.
注:連結(jié)圓心與切點 是一條常用的輔助線,利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形,在圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用.
【例2】 如圖,AB、AC與⊙O相切于B、C,∠A=50°,點P是圓上異于B、C的一個動點,則∠BPC的度數(shù)是( )
A.65° B.115° C.60°和115° D.130°和50°
(山西省中考題)
思路點撥 略

【例3】 如圖,以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D,過D作DE⊥AC于E,可得結(jié)論:DE是⊙O的切線.
問:(1)若點O在AB上向點B移動,以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓的交BC于D,DE⊥AC的條件不變,那么上述結(jié)論是否還成立?請說明理由;
(2)如果AB=AC=5cm,sinA= ,那么圓心O在AB的什么位置時,⊙O與AC相切? (2001年黑龍江省中考題)

【例4】 如圖,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB邊上的動點(與點A、B不重合),Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合).
(1)當PQ∥AC,且Q為BC的中點時,求線段PC的長;
(2)當PQ與AC不平行時,△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能,求出線段CQ的長的取值范圍;若不可能,請說明理由. (廣州市中考題)
思路點撥 對于(2),易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點,建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P,從直線與圓相切特殊位置入手,以此確定CQ的取值范圍.
注:判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題,判定的基本方法有:
(1)從直線與圓交點個數(shù)入手;
(2)利用角證明,即證明半徑和直線垂直;
(3) 運用線段證明,即證明圓心到直線的距離等于半徑.
一個圓的問題,從不同的條件出發(fā),可有不同的添輔助線方式,進而可得不同的證法,對于分層次設(shè)問的問題,需整體考慮;
【例5】如圖,在正方形ABCD中,AB=1,?AC是以點B為圓心,AB長為半徑的圓的一段弧,點E是邊AD上的任意一點(點E與點A、D不重合),過E作?AC所在圓的切線,交邊DC于點F,G為切點.
(1)當∠DEF=45°時,求證點G為線段EF的中點;
(2)設(shè)AE=x,F(xiàn)C=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF,如圖,當EF= 時,討論△AD1D與△ED1F是否相似,如果相似,請加以證明;如果不相似,只要求寫出結(jié)論,不要求寫出理由.
(上海市中考題)

思路點撥 圖中有多條⊙B的切線,由切線長定理可得多對等長線段,這是解( 1)、(2)問的基礎(chǔ),對于(3),由(2)求出 的值,確定E點位置,這是解題的關(guān)鍵.

注:本例將幾何圖形置于直角坐標系中,綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、 切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識,并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互
助等思想方法,具有較強的選拔功能.

學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,AB為⊙O的直徑,P點在AB延長線上,PM切⊙O于M點,若OA= , FM= ,那么△PMB的周長為 . (河北省中考題)
2.PA、PB切⊙O于A、B,∠APB=78°,點C是⊙O上異于A、B的任意一點,則
∠ACB= .
3.如圖,EB、EC是⊙O的兩條切線,B、C是切點,A、D是⊙O上兩點,如果∠F=46°,∠DCF=32°,則∠A的度數(shù)是 . (重慶市中考題)

4.如圖,以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D,過點D作⊙O的切線交AC于E,要使DE⊥AC,則△ABC的邊必須滿足的條件是 .
(武漢市中考題)
5. 、 表示直線,給出下列四個論斷:① ∥ ;② 切⊙O于點A;③ 切⊙O于點B;④AB是⊙O的直徑.若以其中三個論斷作為條件,余下的一個作為結(jié)論,可以構(gòu)造出一些命題,在這些命題中,正確命題的個數(shù)為( )
1 B.2 C. 3 D.4
(江蘇鎮(zhèn)江市中考題)
6.如圖,圓心O在邊長為 的正方形ABCD的對角線BD上,⊙O過B點且與AD、DC邊均相切,則⊙O的半徑是( )
A. B. C. D.
(廣西玉林市中考題)
7.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC A.不存在 B.只有一個 C.只有兩個 D.有無數(shù)個
(大連市中考題)
8.如圖,圓內(nèi)接△ABC的外角∠ACH的平分線與圓交于D點,DP⊥AC于P,DH⊥BH于H,下列結(jié)論:①CH=CP;②A D=DB;③AP=BH;④DH為圓的切線,其中一定成立的是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
(武漢市中考題)

9.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,已知∠ACB=45°,∠ABC=120°,⊙O的半徑為1,
(1)求弦AC、AB的長;
(2)若P為CB的延長線上一點,試確定P點的位置,使PA與⊙O相切,并證明你的結(jié)論.
10.如圖,AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,弦CD⊥AB于E,且PC2=PE?PO.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若OE:EA=1:2,且PA=6,求⊙O的半徑;
(3)求sin∠PCA的值. (長沙市中考題)
11.(1)如圖a,已知直線AB過圓心O,交⊙O于A、B,直線AF交⊙O于F(不與B重合),直線 交⊙O于C、D,交AB于E且與AF垂直,垂足為G,連AC、 AD ,求證:①∠BAD=∠C AG;②AC?AD=AE?AF.
(2)在問題(1)中,當直線 向上平行移動與⊙O相切時,其他條件不變.
①請你在圖b中畫出變化后的圖形,并對照圖a標記字母;
②問題(1)中的兩個結(jié)論是否成立?如果成立,請給出證明;如不成立,請說明理由.
(遼寧省中考題)

12.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,⊙O分別與AB、AC相切于點E、F,圓心O在BC上,若AB=a,AC=b,則⊙O的半徑等于 .
13.如圖,AB是半圓O的直徑,點M是半徑OA的中點,點P在線段AM上運動(不與點M重合),點Q在半圓O上運動,且總保持PQ=PO,過點Q作⊙O 的切線交BA的延長線于點C.
(1)當∠QPA=60°時,請你對△QCP的形狀做出猜想,并給予證明.
(2)當QP⊥AB時,△QCP的形狀是 三角形.
(3)由(1)、(2)得出的結(jié)論,請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時,△QCP一定是 三角形. (吉林省中考題)

14.如圖,已知AB為⊙O的直徑,CB切⊙O于B ,CD切⊙O于D,交BA的延長線于E,若AB=3,ED=2,則BC的長為( )
A.2 B.3 C.3.5 D.4
15.如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線,A、B切點,直線OP交⊙O于C、D, 交AB于E,AF為⊙O的直徑,下列結(jié)論:(1)∠APB=∠AOP;(2)BC=DF;(3)PC?PD=PE?PO,其中正確結(jié)論的個數(shù)有( )
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個

16.如圖,已知△ABC,過點A作外接圓的切線交BC的延長線于點P, ,點D在AC上,且 ,延長PD交AB于點E,則 的值為( )
A. B. C. D.
(太原市競賽題)
17.如圖,已知AB為半圓O的直徑,AP為過點A的半圓的切線. 在AB上任取一點C(點C與A、B不重合),過點C作半圓的切線CD交AP于點D;過點C作CE⊥AB,垂足為E.連結(jié)BD,交CE于點F.
(1)當點C為AB的中點時(如圖1),求證:CF=EF;
(2)當點C不是AB的中點時(如圖2),試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變,并證明你的結(jié)論. (蘇州市中考題)

18.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=3,點D在AC邊上,以D為圓心的⊙D與AB切于點E.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)設(shè)⊙D與BC交于點F,當CF=2時,求CD的長;
(3)設(shè)CD= ,試給出一個 值,使⊙D與BC沒有公共點,并說明你給出 的值符合的要求.
(浙江省中考題)

19.如圖,PA、PB與⊙O切于A、B兩點,PC是任意一條割線,且交⊙O于點E、C,交AB于點D.求證:
(天津市選拔賽 試題)
20.如圖,⊙O?與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C、D兩點,圓心O?的坐標是(1,一1),半徑是 ,
(1)求A、B、C、D四點的坐標;
(2)求經(jīng)過點D的切線的解析式;
(3)問過點A的切線與過點D的切線是否垂直?若垂直,請寫出
證明過程;若不垂直,試說明理由.

21.當你進入博物館的展覽廳時,你知道站在何處觀賞最理想? 如圖,設(shè)墻壁上的展品最高處點P距離地面a米,最低處點Q距離地面b米,觀賞者的眼睛點E距離地面m米,當過 P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時,視角∠PEQ最大,站在此處觀賞最理想.
(1)設(shè)點E到墻壁的距離為x米,求a、b、m,x的關(guān)系式;
(2)當a=2.5,b=2,m=1.6時,求:
(a)點E和墻壁距離x米;(b)最大視角∠PER的度數(shù)(精確到1度).
(常州市中考題)

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