二次函數(shù)解析式的確定教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
一.知識(shí)要點(diǎn)
1. 若已知二次函數(shù)的圖象上任意三點(diǎn)坐標(biāo),則用一般式 (a≠0)求解析式。
2. 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸最值),則應(yīng)用頂點(diǎn)式 ,其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。
3. 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo),則應(yīng)用交點(diǎn)式 ,其中 為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn):
重點(diǎn):求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式
難點(diǎn):建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求出函數(shù)關(guān)系式,解決實(shí)際問題。
三. 教學(xué)建議:
求二次函數(shù)的關(guān)系式,應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x用二次函數(shù)關(guān)系式的形式,選擇恰當(dāng),解題簡(jiǎn)捷;選擇不當(dāng),解題繁瑣;解題時(shí),應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn),靈活選用。
典型例題
例1. 已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-6),B(2,3),C(0,-5)三點(diǎn),求其函數(shù)關(guān)系式。
分析:設(shè) ,其圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,-5),可得 ,再由另外兩點(diǎn)建立關(guān)于 的二元一次方程組,解方程組求出a、b的值即可。
解:設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為
因?yàn)閳D象過點(diǎn)C(0,-5),∴
又因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-6),B(2,3),故可得到:

∴所求二次函數(shù)的解析式為
說明:當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)時(shí),可設(shè)其關(guān)系式為 ,然后確定a、b、c的值即得,本題由C(0,-5)可先求出c的值,這樣由另兩個(gè)點(diǎn)列出二元一次方程組,可使解題過程簡(jiǎn)便。
例2. 已知二次函數(shù) 的圖象的頂點(diǎn)為(1, ),且經(jīng)過點(diǎn)
(-2,0),求該二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。
分析:由已知頂點(diǎn)為(1, ),故可設(shè) ,再由點(diǎn)(-2,0)確定a的值即可
解: ,則
∵圖象過點(diǎn)(-2,0),


即:
說明:如果題目已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),一般設(shè) ,再根據(jù)其他條件確定a的值。本題雖然已知條件中已設(shè) ,但我們可以不用這種形式而另設(shè) 這種形式。因?yàn)樵?這種形式中,我們必須求a、b、c的值,而在 這種形式中,在頂點(diǎn)已知的條件下,只需確定一個(gè)字母a的值,顯然這種形式更能使我們快捷地求其函數(shù)關(guān)系式。
例3. 已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 ,且函數(shù)有最大值為2,圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(-1,0),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。
分析:依題意,可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2),因此,可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式
解:設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為
∵圖象經(jīng)過(-1,0),


∴所求這個(gè)二次函數(shù)的解析式為
即:
說明:在題設(shè)的條件中,若涉及頂點(diǎn)坐標(biāo),或?qū)ΨQ軸,或函數(shù)的最大(最小值),可設(shè)頂點(diǎn)式為解析式。
例4. 已知二次函數(shù) 的圖象如圖1所示,則這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是__________________。

圖1
分析:可根據(jù)題中圖中的信息轉(zhuǎn)化為一般式(或頂點(diǎn)式)(或交點(diǎn)式)。
方法一:由圖象可知:該二次函數(shù)過(0,0),(2,0),(1,-1)三點(diǎn)
設(shè)解析式為
根據(jù)題意得:
∴所求二次函數(shù)的解析式為
方法二:由圖象可知,該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)
設(shè)解析式為
∵圖象過(0,0),∴ ,∴
∴所求二次函數(shù)的解析式為

方法三:由圖象可知,該二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)(0,0),(2,0)
設(shè)解析式為
∵圖象過(1,-1)
∴ ,∴
∴所求二次函數(shù)解析式為:
即:
說明:依題意后兩種方法比較簡(jiǎn)便。
例5. 已知:拋物線在x軸上所截線段為4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式
分析:由于拋物線是軸對(duì)稱圖形,設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0),則有對(duì)稱軸 ,利用這個(gè)對(duì)稱性很方便地求二次函數(shù)的解析式
解:∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)
∴對(duì)稱軸是直線x=2
∵拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間距離為4
∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(4,0)
設(shè)所求函數(shù)的解析式為
∵圖象過(0,0)點(diǎn)
∴ ,∴
∴所求函數(shù)的解析式為
例6. 已知二次函數(shù) 的最大值是零,求此函數(shù)的解析式。
分析:依題意,此函數(shù)圖象的開口應(yīng)向下,則有 ,且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為零,則有: 。以上兩個(gè)條件都應(yīng)滿足,可求m的值。
解:依題意:
由①得
由②得: (舍去)
所求函數(shù)式為
即:
例7. 已知某拋物線是由拋物線 經(jīng)過平移而得到的,且該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),B(2,4),求其函數(shù)關(guān)系式。
分析:設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ,則由于它是拋物線 經(jīng)過平移而得到的,故a=2,再由已知條件列出b、c的二元一次方程組可解本題。
解:設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ,則由已知可得a=2,又它經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),B(2,4)
故: 解得:
∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:
說明:本題的關(guān)鍵是由所求拋物線與拋物線 的平移關(guān)系,得到
例8. 如圖2,已知點(diǎn)A(-4,0)和點(diǎn)B(6,0),第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P,它的橫坐標(biāo)為-2,并且滿足條件

圖2
(1)求證:△PAB是直角三角形。
(2)求過P、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式,并求頂點(diǎn)坐標(biāo)。
分析:(1)中須證 ,由已知條件:
,應(yīng)過P作PC⊥x軸
(2)中已知P、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo),且根據(jù)點(diǎn)的位置可用三種不同的方法求出拋物線的解析式
解:(1)過P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,
由已知易知AC=2,BC=8

∴ ,解得:PC=4
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-4)
由勾股定理可求得:
,又

故△APB是直角三角形
(2)解法1,可設(shè)過P、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為:
,
則有

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(1, )
解法2:由拋物線與x軸交于A(-4,0),B(6,0),
可設(shè) ,又拋物線過點(diǎn)P(-2,-4)可求a值
解法3:由A(-4,0),B(6,0)
可知拋物線的對(duì)稱軸為
可設(shè) ,將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可求a,k的值
例9. 如圖3所示,是某市一條高速公路上的隧道口,在平面直角坐標(biāo)系上的示意圖,點(diǎn)A和A1,點(diǎn)B和B1分別關(guān)于y軸對(duì)稱,隧道拱部分BCB1為一段拋物線,最高點(diǎn)C離路面AA1的距離為8米,點(diǎn)B離地面AA1的距離為6米,隧道寬AA1為16米

圖3
(1)求隧道拱拋物線BCB1的函數(shù)表達(dá)式;
(2)現(xiàn)有一大型運(yùn)貨汽車,裝載某大型設(shè)備后,其寬為4米,車載大型設(shè)備的頂部與路面的距離均為7米,問它能否安全通過這個(gè)隧道?請(qǐng)說明理由。
分析:(1)由已知可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),B點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,6),從而可求其函數(shù)關(guān)系式。
(2)假設(shè)汽車從正中行駛,則其最右邊到y(tǒng)軸的距離是2,于是求出拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)的坐標(biāo),再看它到地面AA1的距離是否大于7米,由此可判斷運(yùn)貨汽車能否安全通過隧道。
解:(1)如圖所示,由已知得OA=OA1=8,OC=8,
故C點(diǎn)坐標(biāo)(0,8),B點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,6)
設(shè)隧道拱拋物線BCB1的函數(shù)表達(dá)式為 ,

∴隧道拱拋物線BCB1的函數(shù)關(guān)系式為
(2)設(shè)貨運(yùn)汽車從正中行駛,則其最右邊正上方拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為D,過D作DE⊥x軸于E
當(dāng)x=2時(shí),
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,7 ),∴DE
∵ >7
∴該運(yùn)貨汽車能安全通過這個(gè)隧道。
說明:要求拋物線的函數(shù)關(guān)系式,關(guān)鍵是確定其上的點(diǎn)的坐標(biāo),再選用適當(dāng)?shù)男问角笃潢P(guān)系式。
本題第(2)小題中,還可以求出拋物線上縱坐標(biāo)為7的點(diǎn)的坐標(biāo)(有兩個(gè)),再比較這兩點(diǎn)間的水平距離是否大于4。
例10. 有這樣一個(gè)問題:
已知:二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過A(0,a),B(1,2), ,求證:這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線 ,題目中的矩形框部分是一段被墨水覆蓋而無(wú)法辨認(rèn)的文字。
(1)根據(jù)現(xiàn)有的信息,你能否求出題目中二次函數(shù)的關(guān)系式?若能,寫出求解過程,若不能,說明理由。
(2)請(qǐng)你根據(jù)已有信息,在原題中的矩形框內(nèi),填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件,把原題補(bǔ)充完整。
分析:僅由A、B兩點(diǎn)無(wú)法求其關(guān)系式,但如果把待證的結(jié)論也看成已知條件,則可求出其關(guān)系式
解:(1)能 ,過程如下
由圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,a),得c=a
將圖象對(duì)稱軸為直線 看成已知條件,則
∵拋物線 的對(duì)稱軸是直線


∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(1,2)

∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為
(2)可補(bǔ)充條件: (或 或其他條件)
說明:二次函數(shù) 配方后可變形為 ,故其圖象的對(duì)稱軸是直線 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
第(2)題的答案不唯一,補(bǔ)充的條件只要能求出其關(guān)系式為 即可。
例11. 已知四點(diǎn)A(1,2),B(0,6),C(-2,20),D(-1,12),試問是否存在一個(gè)二次函數(shù),使它的圖象同時(shí)經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)?如果存在,請(qǐng)求出它的關(guān)系式;如果不存在,說明理由。
分析:先求出經(jīng)過A、B、C的拋物線的關(guān)系式,再驗(yàn)證點(diǎn)D是否在所求拋物線上,若在,則存在這樣的二次函數(shù);若不在,則不存在這樣的二次函數(shù)。
解:設(shè)圖象經(jīng)過A、B、C的二次函數(shù)為
則由圖象經(jīng)過點(diǎn)B(0,6),可得c=6
又∵圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),C(-2,20)

解得:
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)為
∵當(dāng)
∴點(diǎn)D(-1,12)在函數(shù) 的圖象上

本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/64096.html

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