2課時
從容說課
本節(jié)課在二次函數(shù)y＝ax2和y＝ax2+c的圖象的基礎(chǔ)上，進一步研究y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并探索它們之間的關(guān)系和各自的性質(zhì)．旨在全面掌握所有二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化情況．同時對二次函數(shù)的研究，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的過程：先是從y＝x2開始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c．符合學(xué)生的認(rèn)知特點，體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標(biāo)公式的必要性．
在中，主要是讓學(xué)生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思
等探索活動，使學(xué)生達(dá)到對拋物線自身特點的認(rèn)識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解．并能利用它的性質(zhì)解決問題．
第1課時
課 題
§2．4．1 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(一)
目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點
1．能夠作出函數(shù)y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y＝ax2的圖象的關(guān)系．理解a，h，k對二次函數(shù)圖象的影響．
2．能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．
(二)能力訓(xùn)練要求
1．通過學(xué)生自己的探索活動，對二次函數(shù)性質(zhì)的研究，達(dá)到對拋物線自身特點的認(rèn)識和對二次函數(shù)性質(zhì)的理解．
2．經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖象的作法和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力．
(三)情感與價值觀要求
1．經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．
2．讓學(xué)生學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果．
教學(xué)重點
1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程．
2．能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y＝ax2的圖象的關(guān)系，理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響．
3．能夠正確說出y＝a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．
教學(xué)難點
能夠作出y＝a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的圖象，并能夠理解它與y＝ax2的圖象的關(guān)系，理解a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響．
教學(xué)方法
探索——比較——總結(jié)法．
教具準(zhǔn)備
投影片四張
第一張：(記作§2．4．1 A)
第二張：(記作§2．4．1 B)
第三張：(記作§2．4．1 C)
第四張：(記作§2．4．1 D)
教學(xué)過程
Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境、引入新課
我們已學(xué)習(xí)過兩種類型的二次函數(shù)，即y=ax2與y=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是y軸，有最大值或最小值．頂點都是原點．還知道y＝ax2+c的圖象是函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過上下移動得到的，那么y=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數(shù)形式，它又有哪些性質(zhì)呢?本節(jié)課我們就來研究有關(guān)問題．
Ⅱ．新課講解
一、比較函數(shù)y＝3x2與y＝3(X-1)2的圖象的性質(zhì)．
投影片：(§2．4 A)
(1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值，
它們之間有什么關(guān)系?
X-3-2-101234
3x2
3(x-1)2
(2)在下圖中作出二次函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的?
(3)函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么?
(4)x取哪些值時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?
請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結(jié)．
(1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3，12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27．
(2)用描點法作出y＝3(x-1)2的圖象，如上圖．
(3)二次函數(shù))y＝3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標(biāo)不同，y＝3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標(biāo)是(1，0)．
(4)當(dāng)x>1時，函數(shù)y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時，y＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減�。�
能否用移動的觀點說明函數(shù)y=3x2與y=3(x-1)2的圖象之間的關(guān)系呢?
y=3(x-1)2的圖象可以看成是函數(shù))y＝3x2的圖象整體向右平移得到的.
能像上節(jié)課那樣比較它們圖象的性質(zhì)嗎?
相同點：
a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同．
b. 都是軸對稱圖形．
c．都有最小值，最小值都為0．
d．在對稱軸左側(cè)，y都隨x的增大而減�。趯ΨQ軸右側(cè)，y都隨x的增大而增大．
不同點：
a．對稱軸不同,y＝3x2的對稱軸是y軸y＝3(x-1)2的對稱軸是x＝1．
b. 它們的位置不問．
c. 它們的頂點坐標(biāo)不同．y＝3x2的頂點坐標(biāo)為(0，0),y＝3(x-1)2的頂點坐標(biāo)為(1，0)，
聯(lián)系：
把函數(shù)y=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數(shù)y＝3(x-1)2的圖像．
二、做一做
投影片：(§2．4．1 B)
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝3(x-1)2和y＝3(x-1)2+2的圖象．并比較它們圖象的性質(zhì)．
圖象如下
它們的圖象的性質(zhì)比較如下：
相同點：
a．圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同．
b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x＝1．
c. 在對稱軸左側(cè)，y都隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y都隨x的增大而增大．
不同點：
a．它們的頂點不同，最值也不同.y＝3(x-1)2的頂點坐標(biāo)為(1．0)，最小值為0．y＝3(x-1)2+2的頂點坐標(biāo)為(1，2)，最小值為2．
b. 它們的位置不同．
聯(lián)系：
把函數(shù)y=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數(shù)y＝3(x-1)2+2的圖象．
三、總結(jié)函數(shù)y=3x2，y=3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系．
通過上畫的討論，大家能夠總結(jié)出這三種函數(shù)圖象之間的關(guān)系嗎?
可以．
二次函數(shù)y＝3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數(shù)y＝3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數(shù)y=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個單位，就得到函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象．
大家還記得y＝3x2與y＝3x2-1的圖象之間的關(guān)系嗎?
記得，把函數(shù)y=3x2向下平移1個平位，就得到函數(shù)y＝3x2-1的圖象．
你能系統(tǒng)總結(jié)一下嗎?
將函數(shù)y＝3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數(shù)y=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數(shù)y＝3x2+1的圖象；將y＝3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數(shù)y＝3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數(shù)y=3(x+1)2的圖象；由函數(shù)y＝3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數(shù)y＝3(x-1)2+2的圖象．
下面我們就一般形式來進行總結(jié)．
投影片：(§2．4．1 C)
一般地，平移二次函數(shù)y=ax2的圖象便可得到二次函數(shù)為y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的圖象．
(1)將y＝ax2的圖象上下移動便可得到函數(shù)y=ax2+c的圖象，當(dāng)c>0時，向上移動，當(dāng)c<0時，向下移動．
(2)將函數(shù)y＝ax2的圖象左右移動便可得到函數(shù)y=a(x-h)2的圖象，當(dāng)h>0時，向右移動，當(dāng)h<0時，向左移動．
(3)將函數(shù)y＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數(shù)y＝a(x-h)2+k的圖象．
因此，這些函數(shù)的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)與a，h，k的值有關(guān)．
下面大家經(jīng)過討論之后，填寫下表：
y=a(x-h)2+k開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)
a＞0
a＜0
四、議一議
投影片：(§2，4．1 D)
(1)二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象與二次函數(shù)y＝3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么?
(2)二次函數(shù)y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數(shù)y=-3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么?
(3)對于二次函數(shù)y＝3(x+1)2，當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當(dāng)x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?二次函數(shù)y＝3(x+1)2+4呢?
在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎?
(1)二次函數(shù)y＝3(x+1)2的圖象與y＝3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標(biāo)不同，y=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點坐標(biāo)是(-1，0)．只要將y＝3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到y(tǒng)=3(x+1)2的圖象．
(2)二次函數(shù)y＝-3(x-2)2+4的圖象與y＝-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數(shù)y＝-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到y(tǒng)=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到y(tǒng)=-3(x-2)2+4的圖象y=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標(biāo)是(2，4)．
(3)對于二次函數(shù)y=3(x+1)2和y＝3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x＝-1，當(dāng)x<-1時，y的值隨x值的增大而減小；當(dāng)x>-1時，y的值隨x值的增大而增大．
Ⅲ．課堂練習(xí)
隨堂練習(xí)
Ⅳ．課時小結(jié)
本節(jié)課進一步探究了函數(shù)y=3x2與y＝3(x-1)2，y＝3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系，對稱軸和頂點坐標(biāo)分別是什么這些問題．并作了歸納總結(jié)．還能利用這個結(jié)果對其他的函數(shù)圖象進行討論．
Ⅴ．課后作業(yè)
習(xí)題2．4
Ⅵ．活動與探究
二次函數(shù)y= (x+2)2-1與y= (x-1)2+2的圖象是由函數(shù)y＝ x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的?
解：y＝ (x+2)2-1的圖象是由y= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，y＝ (x-1)2+2的圖象是由y= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的．
y＝ (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到y(tǒng)= (x-1)2+2的圖象．
y＝ (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到y(tǒng)＝ (x+2)2-1的圖象．
板書設(shè)計
§2.4．1 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數(shù)y＝3x2與y＝3(x-1)2的
圖象和性質(zhì)(投影片§2．4．1 A)
2．做一做(投影片§2．4．1 B)
3．總結(jié)函數(shù)y＝3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系(投影片§2．4．1 C)
4．議一議(投影片§2．4．1 D)
二、課堂練習(xí)
1．隨堂練習(xí)
2．補充練習(xí)
三、課時小結(jié)
四、課后作業(yè)
備課資料
參考練習(xí)
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的圖象，并討論它們的性質(zhì)與位置關(guān)系．
解：圖象略
它們都是拋物線，且開口方向都向下；對稱軸分別為y軸y軸，直線x=-1；頂點坐標(biāo)分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．
y=- x2的圖象向下移動1個單位得到y(tǒng)=- x2-1 的圖象；y=- x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到y(tǒng)＝- (x+1)2-1的圖象．
第2課時
課 題
§2．4．2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(二)
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點
1．體會建立二次函數(shù)對稱軸和頂點坐標(biāo)公式的必要性．
2．能夠利用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)公式解決問題．
(二)能力訓(xùn)練要求
1．通過解決實際問題，讓學(xué)生訓(xùn)練把教學(xué)知識運用于實踐的能力．
2．通過學(xué)生合作交流來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力．
(三)情感與價值觀要求
1．經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題．
2．初步認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用．
教學(xué)重點
運用二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)公式解決實際問題．
教學(xué)難點
把數(shù)學(xué)問題與實際問題相聯(lián)系的過程．
教學(xué)方法
講解法．
教具準(zhǔn)備
投影片三張
第一張：(記作§2．4．2 A)
第二張：(記作§2．4．2 B)
第三張：(記作§2．4．2 C)
教學(xué)過程
Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課
上節(jié)課我們主要討論了相關(guān)函數(shù)y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h) +k的圖象的有關(guān)性質(zhì)，特別練習(xí)了求函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)．我們知道學(xué)習(xí)的目的就是為了應(yīng)用，那么究竟有什么用處呢?本節(jié)課將學(xué)習(xí)有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用．
Ⅱ．新課講解
一、1. 例題
前幾節(jié)課我們研究了不同形式的二次函數(shù)的圖象，形如y=ax2，y＝ax2+c，y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k．并對它們的性質(zhì)進行了比較．但對于二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)＝ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)，它是屬于上面形式中的哪一種呢?還是另外一種，它的對稱軸和頂點坐標(biāo)是什么呢?下面我們一起來討論這個問題．
投影片：(§2．4．2 A)
例：求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標(biāo)．
解：把y＝ax2+bx+c的右邊配方，得
y＝ax2+bx+c
=a(x2+ )
=a
=a(x+ )2+ .
大家看配方以后的形式屬于前面我們討論過的哪一種形式呢?
屬于y＝a(x-h)2+k的形式．
在y=a(x-h)2+k的形式中，我們知道對稱軸為x＝h頂點坐標(biāo)為(h，k)．對比一下，y＝ax2+bx+c中的對稱軸和頂點坐標(biāo)是什么呢?
對稱軸是x＝ ，頂點坐標(biāo)是( , ).
確定嗎?大家再討論一下．
在y＝a(x-h)2+k中是x-h，而y＝a (x+ )2+ 中是x+ ，它們的符號不同，應(yīng)把y＝a（x+ ）2+ .進行變形得 y=a+ .再對照y=a(x-h)2+k的形式得對稱軸為x=- ,頂點燃坐標(biāo)為（- ， ）
這位同學(xué)回答得非常棒．
至此，所有的二次函數(shù)的形式我們就都討論過了．
下面我們來研究一些實際問題．
二、有關(guān)橋梁問題
投影片：(§2．4．2 B)
下圖所示橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀．按照圖中的直角坐標(biāo)系，左面的一條拋物線可以用y=0．0225x2+0．9x+10表示，而且左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱．
(1)鋼纜的最低點到橋面的距離是多少?
(2)兩條鋼纜最低點之間的距離是多少?
(3)你是怎樣計算的?與同伴進行交流．
分析：因為兩條鋼纜都是拋物線形狀，且開口向上．要求鋼纜的最低點到橋面的距離就是要求拋物線的最小值．又因為左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，所以它們的頂點也關(guān)于y軸對稱，兩條鋼纜最低點之間的距離就是兩條拋物線頂點的橫坐標(biāo)絕對值之和或其中一條拋物線頂點橫坐標(biāo)絕對值的2倍．已知二次函數(shù)的形式是一般形式，所以應(yīng)先進行配方化為y＝a(x-h)2+k的形式，即頂點式．
解：y=0．0225x2+0．9x+10
=0．0225(x2+40x+ )
二0．0225(x2+40x+400-400+ )
＝0．0225(x+20)2+1．
∴對稱軸為x=-20．頂點坐標(biāo)為(-20，1)．
(1)鋼纜的最低點到橋面的距離是1米．
(2)兩條鋼纜最低點之間的距離是2×20＝40米．
(3)是用配方法求得頂點坐標(biāo)得到的，也可以直接代入頂點坐標(biāo)公式中求得．
從上面的例題我們可知，拋物線在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用很廣，因此大家要學(xué)好并運用好它，對于給出的問題要認(rèn)真思考，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而用數(shù)學(xué)知識解決實際問題．
在上面的問題中，大家能否求出右面的拋物線的表達(dá)式呢?請互相交流．
解：因為左右兩條拋物線是關(guān)于y軸對稱的，而關(guān)于y軸對稱的圖形的特點是，所有的對應(yīng)點的坐標(biāo)滿足橫坐標(biāo)是互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，我們可以利用這個特點，在原有的左面的拋物線的表達(dá)式的基礎(chǔ)上，得到右面拋物線的表達(dá)式，即把y不變，x換為-x代入y＝0．0225x2+0．9x+10中，得
y＝0．0225(-x)2+0．9(-x)+10
＝0．0225x2-0．9x+10．
三、補充例題
投影片：(§2．4．2 C)
如右圖，一邊靠校園院墻，另外三
邊用50 m長的籬笆，圍起一個長
方形場地，設(shè)垂直院墻的邊長為xm．
(1)寫出長方形場地面積y(m2)與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)畫出函數(shù)的圖象；
(3)求邊長為多少時，長方形面積最大，最大是多少?
解：(1)垂直院墻的邊長為x m，另一邊長為(50-2x)m．則
y=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x- )2+ .
(2)圖象略．
(3)由(1)得，當(dāng)x＝ 時，y最大= .
所以當(dāng)邊長為 m時，長方形面積最大，最大面積為 m2．
Ⅲ．課堂練習(xí)
1．隨堂練習(xí)
2．補充練習(xí)
確定下列拋物線的開口方向、對稱軸與頂點坐標(biāo)．
(1)y=-x2+ ；
（2）y= x2-
解：（1）y=-x2+
=-(x2- )
=-( x2- )
=-(x- )2+ .
開口方向向下，對稱軸為x= ,頂點坐標(biāo)為( , ).
(2)y= x2-
= (x2-x-30)
= (x2-x+ - -30)
= (x- )2- .
開口方向向上，對稱軸是x= ，頂點坐標(biāo)為( , )．
Ⅳ．課時小節(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了如何用配方法把二次函數(shù)的一般形式化成頂點式，并能根據(jù)頂點式解決一些問題．
Ⅴ．課后作業(yè)
習(xí)題2．5
Ⅵ．活動與探究
利用Z+Z智能教育平臺(新世紀(jì)版)研究二次函數(shù)的圖象．
利用Z+Z智能教育平臺(新世紀(jì)版)可以探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)(a，b，c與圖象變化之間的關(guān)系．
先考察二次函數(shù)y＝ax2的系數(shù)a對圖象的影響．
利用Z十Z智能教育平臺(新世紀(jì)版)在計算機上作出二次函數(shù)y＝ax2的圖象．其中系數(shù)a可以通過鼠標(biāo)拖動y軸上標(biāo)識為a的點而變化．圖1和圖2是a取不同值時得到的兩個圖象：
板書設(shè)計
§2．4．2 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象(二)
一、1. 例題(投影片§2．4．2 A)
2．有關(guān)橋梁問題(投影片§2.4.2 B)
3．補充例題(投影片§2．4．2 C)
二、課堂練習(xí)
1．隨堂練習(xí)
2．補充練習(xí)
三、課時小結(jié)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/60546.html
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