一般地,若 ( , 是常數(shù), ),則 叫做 的一次函數(shù),它的圖象是一條直線,函數(shù)解析式 6中的系數(shù)符號(hào),決定圖象的大致位置及單調(diào)性( 隨 的變化情況).如圖所示:
一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系,任意一個(gè)一次函數(shù) 都可看作是關(guān)于 、 的一個(gè)二元一次方程 ;任意一個(gè)關(guān)于 、 的二元一次方程 ,可化為形如 ( )的函數(shù)形式.坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程,而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系,求坐標(biāo)平面上的直線交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為 解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組.
【例題求解】
【例1】 如圖,在直角坐標(biāo)系 中,直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3,0)、B(2,7),P為線段OC上一點(diǎn),若過B、P兩點(diǎn)的直線為 ,過A、P兩點(diǎn)的直線為 ,且BP⊥AP,則 = .
思路點(diǎn)撥 解題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)坐標(biāo),只需運(yùn)用幾何知識(shí)建立OP的等式即可.
【例2】 設(shè)直線 ( 為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 ( =1,2,…2000),則S1+S2+…+S2000的值為( )
A.1 B. C. D.
思路點(diǎn)撥 求出直線與 軸、 軸交點(diǎn)坐標(biāo),從一般形式入手,把 用含 的代數(shù)式表示.
【例3】 某空軍加油飛機(jī)接到命令,立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油.在加油過程中,設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸,加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸,加油時(shí)間為 分鐘,Q1、Q2與 之間的函數(shù)圖象如圖所示,結(jié)合圖象回答下列問題:
(1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需多少分鐘?
(2)求加油過程中,運(yùn)輸飛機(jī)的余油量Q1 (噸)與時(shí)間 (分鐘)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)運(yùn)輸飛機(jī)加完油后,以原速繼續(xù)飛行,需10小時(shí)到達(dá)目的地,油料是否夠用?說明理由.
思路點(diǎn)撥 對(duì)于(3),解題的關(guān)鍵是先求出運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量.
注:(1)當(dāng)自變量受限制時(shí),一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點(diǎn),一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時(shí),存在最大值與最小值,根據(jù)圖象求最值直觀明了.
(2)當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)時(shí),就與直角三角形聯(lián)系在一起,求兩交點(diǎn)坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ).
【例4】 如圖,直線 與 軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P( , ),且△ABP的面積與△A ABC的面積相等,求 的值.
思路點(diǎn)撥 利用S△ABP=S△ABC建立含 的方程,解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差.
注:解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題,關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面 積來表示,這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系.
【例5】 在直角坐標(biāo)系中,有以A(一1,一1),B(1,一 1),C(1,1),D(一1,1)為頂點(diǎn)的正方形,設(shè)它在折線 上側(cè)部分的面積為S,試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并畫出它們的圖象.
思路點(diǎn)撥 先畫出符合題意的圖形,然后對(duì)不確定折線 及其中的字母 的取值范圍進(jìn)行分類 討論, 的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀.
注:我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對(duì)值符號(hào)在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù).去掉絕對(duì)值符號(hào),把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù),這是解絕對(duì)值的一般思路.
學(xué)歷訓(xùn)練
1.一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤ ≤6,相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤ ≤-2,則這個(gè)函數(shù)的解析式為 .
2.已知 ,且 ,則關(guān)于自變量 的一次函數(shù) 的圖象一定經(jīng)過第 象限.
3.一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù) 之間的關(guān)系如圖所示,其中超過150人時(shí),要繳納公安消防保險(xiǎn)費(fèi)50元.試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題:
(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0< ≤150時(shí),盈利額 (元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是 .
(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150
(4)當(dāng)售票數(shù) 滿足 時(shí),此時(shí)利潤比 =150時(shí)多.
4.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC=4,BD=6,P是BD上的任一點(diǎn),過P作EF∥AC,與平行四邊形的兩條邊分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),設(shè)BP= ,EF=,則能反映 與 之間關(guān)系的圖象是( )
5.下列圖象中,不可能是關(guān)于 的一次函數(shù) 的圖象是( )
6.小李以每千克0.8元的價(jià)格從批發(fā)市場購進(jìn)若干千克西瓜到市場去銷售,在銷售了部分西瓜之后,余下的每千克降價(jià)0.4元,全部售完.銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示,那么小李賺了( )
A.32元 B.36元 C. 38元 D.44元
7.某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥,在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn),如果成人按規(guī)定劑量服用,那么服藥后2小時(shí)時(shí)血液中含藥量最高,達(dá)每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接著逐步衰減,10小時(shí)時(shí)血液中含藥量為每毫升3微克,每毫升血液中含藥量 (微克)隨時(shí)間 (小時(shí))的變化如圖所示,當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后.
(1)分別求出 ≤2和 ≥2時(shí) 與 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時(shí)在治療疾病時(shí)是有效的,那么這個(gè)有效時(shí)間是多長?
8.如圖,正方形ABCD的邊長是4,將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系 O 中,使AB在 軸的正半軸上,A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)
(1)經(jīng)過C點(diǎn)的直線 與 軸交于點(diǎn)E,求四邊形AECD的面積;
(2)若直線 經(jīng)過點(diǎn)E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分,求直線 的方程,并在坐標(biāo)系中畫出直線 . (2001年湖北省荊州市中考題)
9.如圖,已知點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,2)
(1)求直線A B的解析式.
(2)過點(diǎn)C(2,0)的直線(與 軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點(diǎn)P,若截得的三角形與△AOB相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
10.如圖,直線 與 軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn),把△POQ沿PQ翻折,點(diǎn)O落在R處,則點(diǎn)R的坐標(biāo)是 .
11.在直角坐標(biāo)系 O 中, 軸上的動(dòng)點(diǎn)M( ,0)到定點(diǎn)P(5,5)、Q(2,1)的距離分別為MP和MQ,那么,當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 .
12.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15,6),直線 恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分,那么b= .
13.如果—條直線 經(jīng)過不同的三點(diǎn)A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么,直線 經(jīng)過( )象限.
A.二、四 B.—、三 C.二、三、四 D.一、三、四
14.一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線 平行,與 軸、 軸的交點(diǎn)分別為A、B,并且過點(diǎn)(一l,—25),則在線段AB(包括端點(diǎn)A、B)上,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點(diǎn)有( )
A.4個(gè) B.5個(gè) C. 6個(gè) D.7個(gè)
15.點(diǎn)A(一4,0),B(2,0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn),C是 的圖象上的動(dòng)點(diǎn),則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
16.有—個(gè)附有進(jìn)、出水管的容器,每單位時(shí)間進(jìn)、出的水量都是一定的,設(shè)從某時(shí)刻開始5分 鐘內(nèi)只進(jìn)不出水,在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水,得到時(shí)間 (分)與水量 (升)之間的關(guān)系如下圖.若20分鐘后只出水不進(jìn)水,求這時(shí)(即 ≥20)y與 之間的函數(shù)關(guān)系式.
17.如圖 ,△AOB為正三角形,點(diǎn) B坐標(biāo)為(2,0),過點(diǎn)C(一2,0)作直線交AO于D,交AB于E,且使△ADE和△DCO的面積相等,求直線 的函數(shù)解析式.
18.在直角坐標(biāo)系中,有四個(gè)點(diǎn)A(一8,3),B(一4,5),C(0, ),D( ,0),當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí),求 的值.
19.轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會(huì)污染大氣,某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染,該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān).現(xiàn)經(jīng)過試驗(yàn)得到下列數(shù)據(jù):
通過電流強(qiáng)度(單位A)11.71.92.12.4
氧化鐵回收率(%)7579888778
如圖建立直角坐標(biāo) 系,用橫坐標(biāo)表示通過的電流強(qiáng)度,縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率.
(1)將試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點(diǎn)表示(注:該圖中坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代表點(diǎn)(1,70);
(2)用線段將題(1)所畫的點(diǎn)從左到右順次連接,若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系,試寫出該函數(shù)在 1.7≤x≤2.4 時(shí)的表達(dá)式;
(3)利用題(2)所得函數(shù)關(guān)系,求氧化鐵回收率大于85%時(shí),該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍(精確到0.1A).
20.如圖,直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為 和 ,動(dòng)點(diǎn)P(x,0)在OB上移動(dòng)(0< <3),過點(diǎn)P作直線 與 軸垂直.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)△OBC中位于直線 左側(cè)部分的面積為S,寫出S與 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象;
(4)當(dāng) 為何值時(shí),直線 平分△OBC的面積?
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