【例題求解】
【例1】 如圖,直線AB與⊙O相交于A,B再點(diǎn),點(diǎn)O在AB上,點(diǎn)C在⊙O上,且∠AOC=40°,點(diǎn)E是直線A B上一個(gè)動點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合),直線EC交⊙O于另一點(diǎn)D,則使DE=DO的點(diǎn)正共有 個(gè).
思路點(diǎn)撥 在直線AB上使DE=DO的動點(diǎn)E與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?
分點(diǎn)E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點(diǎn)在⊙O外)三種情況考慮,通過角度的計(jì)算,確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù).
注: 弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法.
【例2】 如圖,已知△ABC為等腰直角三形,D為斜邊BC的中點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F、M,對于如下五個(gè)結(jié)論:①∠FM C=45°;②AE+AF=AB;③ ;④2BM2=BF×BA;⑤四邊形AEMF為矩 形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角,尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形,逐一驗(yàn)證.
注:多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型,解這類問題,需把條件重組與整合,挖掘隱合條件,作深入的探究,方能作出小正確的選擇.
【例3】 如圖,已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5,對角線AC與BD的交點(diǎn)為E,且AB2=AE×AC,BD=8,求△A BD的面積.
思路點(diǎn)撥 由條件出發(fā),利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點(diǎn),這是解本例的關(guān)鍵.
【例4】 如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(diǎn),連結(jié)AC,過點(diǎn)C作直線CD⊥AB于D(AD
(2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn),上述結(jié)論是否仍然成立?若成立.請畫出圖形并給予證明;若不成立,請說明理由.
思路點(diǎn)撥 (1)作出圓中常用輔助線 證明△ACG∽△AFC;
(2)判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)運(yùn)動的情況下是否成立,依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵.
注:構(gòu)造直徑上90°的圓周角,是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線,這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件.
【例5】 如圖,圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,且對角線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CF的交點(diǎn)為P.
求證:(1) ;(2) .
思路點(diǎn)撥 解本例的關(guān)鍵在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角,能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形.
(1)證明△QDE∽△ACF;(2)易證 ,通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明.
注 :有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān),但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓,尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn),就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù),確定四點(diǎn)共圓的主要方法有:
(1)利用圓的定義判定;
(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定.
學(xué)歷訓(xùn)練
1.一條弦把圓分成2:3兩部分,那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為 .
2.如圖,AB是⊙O的直徑,C、D、E都是⊙O上的一點(diǎn),則∠1+∠2= .
3.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,F(xiàn)是CG的中點(diǎn),延長AF交⊙O于E,CF=2,AF=3,則EF的長為 .
4.如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB+AC=12,AD⊥BC于D,AD=3,設(shè)⊙O的半徑為 ,AB的長為 ,用 的代數(shù)式表示 , = .
5.如圖,ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,延長BC到E,已知∠BCD:∠ECD=3:2,那么∠BOD等于( )
A.120° B.136° C.144° D.150°
6.如圖,⊙O中,弦AD∥BC,DA=DC,∠AOC=160°,則∠BOC等于( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
7.如圖,BC為半圓O的直徑,A、D為半圓O上兩點(diǎn),AB= ,BC=2,則∠D的度數(shù)為( )
A.60° B. 120° C. 135° D.150°
8.如圖,⊙O的直徑AB垂直于弦CD,點(diǎn)P是弧AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合),連結(jié)PC、PD、PA、AD,點(diǎn)E在AP的延長線上,PD與AB交于點(diǎn)F.給出下列四個(gè)結(jié)論:①CH2=AH×BH;②AD=AC;③AD2=DF×DP;④ ∠EPC=∠APD,其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如圖,已知B正是△ABC的外接圓O的直徑,CD是△ABC的高.
(1)求證:AC?BC=BE?CD;
(2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直徑BE的長.
10.如圖,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線,交BC的延長線于點(diǎn)D,延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F,連結(jié)FB,F(xiàn)C.
(1)求證:FB=FC;
(2)求證:FB 2=FAFD;
(3)若AB是△ABC的外接圓的直徑,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的長.
11.如圖,B、C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn),P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(diǎn)(B、C點(diǎn)除外),則tan∠APB?tan∠CPD= .
12.如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,AC= ,則四邊形ABCD的面積為 .
13.如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AD=3,CD=2,則BC= .
14.如圖,AB是半圓的直徑,D是AC的中點(diǎn),∠B=40°,則∠A等于( )
A.60° B.50° C.80° D.70°
15.如圖,已知ABCD 是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形,AB=5,PC=4,分別延長AB和DC,它們相交于P,若∠APD=60°,則⊙O的面積為( )
A.25π B.16π C.15π D.13π
(2001年紹興市競賽題)
16.如圖,AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高,AB=AC,過A、D兩點(diǎn)的圓與AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F,弦EF與AD相交于點(diǎn)G,則圖中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.5 B.4 C.3 D.2
17.如圖,已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2,對角線AC與BD的交點(diǎn)為E,AE=EC,AB= AE,且BD= ,求四邊形ABCD的面積.
18.如圖,已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,E是BD上的一點(diǎn),且有∠BAE=∠DAC.
求證:(1)△ABE∽△ACD;(2)ABDC+AD?B C=AC?BD.
19.如圖,已知P是⊙O直徑AB延長線上的 一點(diǎn),直線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn),弦DF⊥AB于點(diǎn)H,CF交AB于點(diǎn)E.
(1)求證:PA?PB=PO?PE;(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半徑為2,求弦CF的長.
20.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BC=4,S△ABC= ,∠B為銳角,且關(guān)于 的方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,D是劣弧AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合),DE平分∠ADC,交⊙O于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.
(1)求∠B的度數(shù);
(2)求CE的長;
(3)求證:DA、DC的長是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
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