基本不等式訓(xùn)練題(含答案)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


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1.若xy>0,則對 xy+yx說法正確的是(  )
A.有最大值-2      B.有最小值2
C.無最大值和最小值 D.無法確定
答案:B
2.設(shè)x,y滿足x+y=40且x,y都是正整數(shù),則xy的最大值是(  )
A.400 B.100
C.40 D.20
答案:A
3.已知x≥2,則當(dāng)x=____時,x+4x有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)當(dāng)x>0時,求f(x)的最小值;
(2)當(dāng)x<0 時,求f(x)的最大值.
解:(1)∵x>0,∴12x,4x>0.
∴12x+4x≥212x•4x=83.
當(dāng)且僅當(dāng)12x=4x,即x=3時取最小值83,
∴當(dāng)x>0時,f(x)的最小值為83.
(2)∵x<0,∴-x>0.
則-f(x)=12-x+(-4x)≥212-x•-4x=83,
當(dāng)且僅當(dāng)12-x=-4x時,即x=-3時取等號.
∴當(dāng)x<0時,f(x)的最大值為-83.

一、
1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是(  )
A.x+12x B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案:C
2.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是(  )
A.32-3 B.-3
C.62 D.62-3
解析:選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知、n∈R,n=100,則2+n2的最小值是(  )
A.200 B.100
C.50 D.20
解析:選A.2+n2≥2n=200,當(dāng)且僅當(dāng)=n時等號成立.
4.給出下面四個推導(dǎo)過程:
①∵a,b∈(0,+∞),∴ba+ab≥2ba•ab=2;
②∵x,y∈(0,+∞),∴l(xiāng)gx+lgy≥2lgx•lgy;
③∵a∈R,a≠0,∴4a+a ≥24a•a=4;
④∵x,y∈R,,xy<0,∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2-xy-yx=-2.
其中正確的推導(dǎo)過程為(  )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析:選D.從基本不等式成立的條件考慮.
①∵a,b∈(0,+∞),∴ba,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的條件,故①的推導(dǎo)過程正確;
②雖然x,y∈(0,+∞),但當(dāng)x∈(0,1)時,lgx是負數(shù),y∈(0,1)時,lgy是負數(shù),∴②的推導(dǎo)過程是錯誤的;
③∵a∈R,不符合基本不等式的條件,
∴4a+a≥24a•a=4是錯誤的;
④由xy<0得xy,yx均為負數(shù),但在推導(dǎo)過程中將全體xy+yx提出負號后,(-xy)均變?yōu)檎龜?shù),符合基本不等式的條件,故④正確.
5.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是(  )
A.2 B.22
C.4 D.5
解析:選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=bab=1時,等號成立,即a=b=1時,不等式取得最小值4.
6.已知x、y均為正數(shù),xy=8x+2y,則xy有(  )
A.最大值64 B.最大值164
C.最小值64 D.最小值164
解析:選C.∵x、y均為正數(shù),
∴xy=8x+2y≥28x•2y=8xy,
當(dāng)且僅當(dāng)8x=2y時等號成立.
∴xy≥64.
二、題
7.函數(shù)y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.
答案:1
8.若x>0,y>0,且x+4y=1,則xy有最________值,其值為________.
解析:1=x+4y≥2x•4y=4xy,∴xy≤116.
答案:大 116
9.(2010年高考東卷)已知x,y∈R+,且滿足x3+y4=1,則xy的最大值為________.
解析:∵x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,∴xy≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)x3=y(tǒng)4時取等號.
答案:3
三、解答題
10.(1)設(shè)x>-1,求函數(shù)y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函數(shù)y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2 x+1•4x+1+5=9,
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1,即x=1時,取等號.
∴x=1時,函數(shù)的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1,∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=9x-1,即x=4時等號成立,
∴y有最小值8.
11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證:(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.
證明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca,
同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc,
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號.
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造單價為每米400元,中間一條隔壁建造單價為每米100元,池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).
問:污水處理池的長設(shè)計為多少米時可使總價最低.
解:設(shè)污水處理池的長為x米,則寬為200x米.
總造價f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x•225x+12000
=36000(元)
當(dāng)且僅當(dāng)x=225x(x>0),
即x=15時等號成立.

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