華東師大一附中2014年高二數(shù)學上冊期末試題及答案

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華東師大一附中2014學年度第一學期高二年級
數(shù)學學科期末考試試題
注意:1.答卷前,你務(wù)必在答題紙上指定位置將班級、學號、姓名填寫清楚.
2.本試卷共有20道試題,滿分100分.考試時間90分鐘.
3.細致冷靜,誠實守信,數(shù)學老師祝你考出好成績!
一.題(本大題滿分11×4=44分)應(yīng)在空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.
1.已知向量 ,且 ,則 .
2.用數(shù)學歸納法證明 時,從 推到 時,不等式左端應(yīng)添加的代數(shù)式為 .
3.系數(shù)矩陣為 ,且解為 的一個線性方程組是 .
4. .
5.程序框圖如圖所示,將輸出的 的值依次記為 , , ,
那么數(shù)列 的通項公式為 .
6.在正四面體 中,點 為棱 的中點,則異面直線
與 所成角的大小為 .
7.若圓錐的側(cè)面展開圖是弧長為 cm、半徑為 cm的扇形,
則該圓錐的體積為 .
8.在北緯 東經(jīng) 有一座城市 A,在北緯 東經(jīng) 有一座
城市B,設(shè)地球半徑為 ,則 A、B兩地之間的球面距離是 .
9.已知等比數(shù)列的首項為 , 是其前 項的和,某同學計算得
,后來該同學發(fā)現(xiàn)了其中一個數(shù)算錯了,
則該數(shù)為 .
10.某汽車交易市場最近成交了一批新款轎車,共有 輛國產(chǎn)車和 輛進口車,國產(chǎn)車的交易價格為每輛 萬元,進口車的交易價格為每輛 萬元.我們把 叫交易向量, 叫價格向量,則 的實際意義是 .
11.設(shè)平面上三點 不共線,平面上另一點 滿足 ,則 的面積與四邊形 的面積之比為 .
二.(本大題滿分5×3=15分)每題有僅有一個正確答案,應(yīng)在括號內(nèi)填寫選項.
12.設(shè) 是首項大于零的等比數(shù)列,則“ ”是“數(shù)列 是遞增數(shù)列”的( )
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分又不必要條件
13.右圖是某同學為求1006個偶數(shù):2, 4, 6, …, 2014的平均數(shù)而設(shè)計的程序框圖的部分內(nèi)容,則在該程序框圖中的空白判斷框和處理框中應(yīng)填入的內(nèi)容依次是( )
(A) (B)
(C) (D)
14.下列四個命題中真命題是( )
(A)垂直于同一直線的兩條直線互相平行;
(B)過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條;
(C)底面各邊相等、側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱;
(D)過球面上任意兩點的大圓有且只有一個
15.已知等差數(shù)列 , ,將其中所有能被 或 整除的數(shù)刪去后,剩下的數(shù)自小到大排成一個數(shù)列 ,則 的值為( )
(A)15011 (B)15067 (C)15071 (D)15131
16.一位同學對三元一次方程組 (其中實系數(shù) 不全為零)的解的情況進行研究后得到下列結(jié)論:
結(jié)論1:當 ,且 時,方程組有無窮多解;
結(jié)論2:當 ,且 都不為零時,方程組有無窮多解;
結(jié)論3:當 ,且 時,方程組無解.
但是上述結(jié)論均不正確.下面給出的方程組可以作為結(jié)論1、2和3的反例依次為( )
(1) ; (2) ; (3)
(A)(1)(2)(3) (B)(1)(3)(2) (C)(2)(1)(3) (D)(3)(2)(1)
三.解答題(本大題滿分41分)本大題共有4題,解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17.(本題滿分4+5=9分)
平面上三個非零向量 、 、 的模均為1,它們之間的夾角均為 .
(1)求證: ;
(2)若 ,求實數(shù) 的取值范圍.
18.(本題滿分9分)
已知命題 : (其中 為常數(shù)),命題 :把三階行列式 中第一行、第二列元素的代數(shù)余子式記為 ,且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增.若命題 是真命題,命題 是假命題,求實數(shù) 的取值范圍.
19.(本題滿分5+5=10分)
如圖,在正方體 中, 分別為 和 的中點.
(1)求證: ∥平面 ;
(2)求二面角 大小的余弦值.
20.(本題滿分3+5+5=13分)
設(shè)數(shù)列 的通項公式為 . 數(shù)列 定義如下:對于正整數(shù) , 是使得不等式 成立的所有 中的最小值.
(1)若 ,求 ;
(2)若 ,求數(shù)列 的前 項和 ;
(3)是否存在 和 ,使得 ?如果存在,求 和 的取值范圍;如果不存在,請說明理由.
答案
1. 或 2. 3.
4. 5. ( ) 6.
7. 8. 9.
10.該批轎車的交易總金額 11.
12.C 13.C 14.B 15.C 16.B
17.(1)證:
(2)解:將 平方得
即 或
故實數(shù) 的取值范圍為 或 。
18.解: 真時,有
真時,有 ,由題意得:
假時,有
綜合, 真 假時, 的取值范圍是 。
19.(1)證:(法一)取 中點 ,連 ,易得
平面 , 平面
平面
(法二)取 中點 ,連 ,易得

平面 平面
又 平面
平面
(2)解:連 交 于 ,連
易得
為二面角 的平面角
在 中,由余弦定理得
二面角 大小的余弦值為 。
20.解:(1) ,由 得,
(2) ,由 得,
當 時,
當 時,
(3)假設(shè) 存在,由 及 ,得
因 ,根據(jù)題意得:
即 對所有 都成立
顯然 和 時,不可能,舍去
必有


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