數學學科期末考試試題
注意：1．答卷前，你務必在答題紙上指定位置將班級、學號、姓名填寫清楚．
2．本試卷共有20道試題，滿分100分．考試時間90分鐘．
3．細致冷靜，誠實守信，數學老師祝你考出好成績！
一．題（本大題滿分11×4=44分）應在空格內直接填寫結果．
1.已知向量 ，且 ，則 ．
2.用數學歸納法證明 時，從 推到 時，不等式左端應添加的代數式為 ．
3.系數矩陣為 ，且解為 的一個線性方程組是 ．
4. ．
5.程序框圖如圖所示，將輸出的 的值依次記為 ， ， ，
那么數列 的通項公式為 ．
6.在正四面體 中，點 為棱 的中點，則異面直線
與 所成角的大小為 ．
7.若圓錐的側面展開圖是弧長為 cm、半徑為 cm的扇形，
則該圓錐的體積為 .
8.在北緯 東經 有一座城市 A，在北緯 東經 有一座
城市B，設地球半徑為 ，則 A、B兩地之間的球面距離是 ．
9.已知等比數列的首項為 ， 是其前 項的和，某同學計算得
，后來該同學發(fā)現了其中一個數算錯了，
則該數為 ．
10.某汽車交易市場最近成交了一批新款轎車，共有 輛國產車和 輛進口車，國產車的交易價格為每輛 萬元，進口車的交易價格為每輛 萬元．我們把 叫交易向量， 叫價格向量，則 的實際意義是 ．
11.設平面上三點 不共線，平面上另一點 滿足 ，則 的面積與四邊形 的面積之比為 ．
二．（本大題滿分5×3=15分）每題有僅有一個正確答案，應在括號內填寫選項．
12.設 是首項大于零的等比數列，則“ ”是“數列 是遞增數列”的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分又不必要條件
13.右圖是某同學為求1006個偶數：2, 4, 6, …, 2014的平均數而設計的程序框圖的部分內容，則在該程序框圖中的空白判斷框和處理框中應填入的內容依次是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
14.下列四個命題中真命題是（ ）
（A）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；
（B）過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；
（C）底面各邊相等、側面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；
（D）過球面上任意兩點的大圓有且只有一個
15.已知等差數列 ， ，將其中所有能被 或 整除的數刪去后，剩下的數自小到大排成一個數列 ，則 的值為（ ）
（A）15011 （B）15067 （C）15071 （D）15131
16.一位同學對三元一次方程組 （其中實系數 不全為零）的解的情況進行研究后得到下列結論：
結論1：當 ，且 時，方程組有無窮多解；
結論2：當 ，且 都不為零時，方程組有無窮多解；
結論3：當 ，且 時，方程組無解．
但是上述結論均不正確．下面給出的方程組可以作為結論1、2和3的反例依次為（ ）
（1） ； （2） ； （3）
（A）（1）（2）（3） （B）（1）（3）（2） （C）（2）（1）（3） （D）（3）（2）（1）
三．解答題（本大題滿分41分）本大題共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．
17.(本題滿分4+5=9分)
平面上三個非零向量 、 、 的模均為1，它們之間的夾角均為 .
（1）求證： ；
（2）若 ，求實數 的取值范圍．
18.(本題滿分9分)
已知命題 ： （其中 為常數），命題 ：把三階行列式 中第一行、第二列元素的代數余子式記為 ，且函數 在區(qū)間 上單調遞增．若命題 是真命題，命題 是假命題，求實數 的取值范圍．
19.(本題滿分5+5=10分)
如圖，在正方體 中， 分別為 和 的中點．
（1）求證： ∥平面 ；
（2）求二面角 大小的余弦值．
20.(本題滿分3+5+5=13分)
設數列 的通項公式為 . 數列 定義如下：對于正整數 ， 是使得不等式 成立的所有 中的最小值.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求數列 的前 項和 ；
（3）是否存在 和 ，使得 ？如果存在，求 和 的取值范圍；如果不存在，請說明理由.
答案
1. 或 2. 3.
4. 5. （ ） 6.
7. 8. 9.
10.該批轎車的交易總金額 11.
12.C 13.C 14.B 15.C 16.B
17.（1）證：
（2）解：將 平方得
即 或
故實數 的取值范圍為 或 。
18.解： 真時，有
真時，有 ，由題意得：
假時，有
綜合， 真 假時， 的取值范圍是 。
19.（1）證：（法一）取 中點 ，連 ，易得
平面 ， 平面
平面
（法二）取 中點 ，連 ，易得
又
平面 平面
又 平面
平面
（2）解：連 交 于 ，連
易得
為二面角 的平面角
在 中，由余弦定理得
二面角 大小的余弦值為 。
20.解：（1） ，由 得，
（2） ，由 得，
當 時，
當 時，
（3）假設 存在，由 及 ，得
因 ，根據題意得：
即 對所有 都成立
顯然 和 時，不可能，舍去
必有
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