來

第一章 數(shù)列
§1　數(shù) 列
1.1　數(shù)列的概念
雙基達(dá)標(biāo)　限時(shí)20分鐘
1．將正整數(shù)的前5個(gè)數(shù)排成：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,3,5,4,1；④1,4,5,3,2.則可稱為數(shù)列的有 (　　)．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
解析　根據(jù)數(shù)列的定義和性質(zhì)可知選D.
答案　D
2．?dāng)?shù)列23，45，67，89，…的第10項(xiàng)是 (　　)．
A.1617 B.1819 C.2021 D.2223
解析　由題意知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝2n2n＋1，∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故選C.
答案　C
3．如圖，在下列四個(gè)圖形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 (　　)．

A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3n
C．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3
解析　這4個(gè)著色三角形的個(gè)數(shù)依次為1,3,9,27，都是3的指數(shù)冪，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式
為an＝3n－1.
答案　A
4．?dāng)?shù)列1,2,4,8,16,32…的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．
解析　由a1＝20，a2＝21，a3＝22，a4＝23，…易得an＝2n－1.
答案　an＝2n－1
5．600是數(shù)列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________項(xiàng)．
解析　an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24.
答案　24
6．觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)34，23，712，(　　)，512，13，…
(2)53，(　　)，1715，2624，3735，…
(3)2,1，(　　)，12，…
(4)32，94，(　　)，6516，…
解　(1)根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為12，把各項(xiàng)都改寫成以12為分母的分?jǐn)?shù)，則

于是括號(hào)內(nèi)填612，而分子恰為10減序號(hào)．
故括號(hào)內(nèi)填12，通項(xiàng)公式為an＝10－n12.
(2)53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1，
3735＝36＋136－1.
只要按上面形式把原數(shù)改寫，便可發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：分子為序號(hào)加1的平方與1的和的算術(shù)平方根，分母為序號(hào)加1的平方與1的差．
故括號(hào)內(nèi)填108，通項(xiàng)公式為an＝n＋12＋1n＋12－1.
(3)因?yàn)?＝21，1＝22，12＝24，所以數(shù)列缺少部分為23，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n.
(4)先將原數(shù)列變形為112，214，(　　)，4116，…，所以應(yīng)填318，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n＋12n.

綜合提高 （限時(shí)25分鐘）
7．下列說法正確的是 (　　)．
A．?dāng)?shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N＋的函數(shù)
B．?dāng)?shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值
C．?dāng)?shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N＋(或它的有限子集)的函數(shù)
D．?dāng)?shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N＋(或它的有限子集)的函數(shù)值
解析　B中的{1,2,3，…，n}不能省略，如果只留下“N＋(或其有限子集)”幾個(gè)字，很容
易產(chǎn)生誤解．同時(shí)不能認(rèn)為只有定義在N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數(shù)將其函
數(shù)值排列好才形成數(shù)列．例如定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y＝f(x)，函數(shù)值f(0)，f(2)，f(3)，
f(π)，…就是一個(gè)數(shù)列．它與數(shù)列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…是不同的數(shù)列．這說明：
數(shù)列可以看成一類特殊函數(shù)的有序排列好的函數(shù)值，但不是這樣的特殊函數(shù)，其函數(shù)值也
能有序排列好，從而形成數(shù)列．
答案　B
8．在數(shù)列1,3,6,10，x,21,28，…中，由給出的數(shù)之間的關(guān)系可知x的值是 (　　)．
A．12 B．15 C．17 D．18
解析　觀察發(fā)現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)分別相差2,3,4，？，？，7，…，依據(jù)規(guī)律兩個(gè)？，？依次為5,6，
∴x＝10＋5＝15.
答案　B
9．?dāng)?shù)列－12，34，－78，1516，－3132，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．
解析　數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，所以借助(－1)n來確定符號(hào)，易看出各項(xiàng)分
母分別為21,22,23,24,25，…，且每一項(xiàng)的分子比分母少1，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an
＝(－1)n2n－12n.
答案　an＝(－1)n2n－12n
10．根據(jù)下列5個(gè)圖形中相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測第n個(gè)圖形中有________個(gè)點(diǎn)．

解析　觀察圖中5個(gè)圖形點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n個(gè)
圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(n－1)n＋1.
答案　n2－n＋1
11．已知數(shù)列{an}的每一項(xiàng)是它的序號(hào)的算術(shù)平方根加上序號(hào)的2倍．
(1)求這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)與第25項(xiàng)；
(2)253和153是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
解　(1)由題設(shè)條件知an＝n＋2n.
∴a4＝4＋2×4＝10，a25＝25＋2×25＝55.
(2)假設(shè)253是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是這個(gè)數(shù)列的第121項(xiàng)．假設(shè)153是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則153＝n＋2n，解得n＝7214，這與n是正整數(shù)矛盾，∴153不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)．
12．(創(chuàng)新拓展)寫出數(shù)列13＋2,13＋6,13＋12,13＋20,13＋30，…的一個(gè)通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證2 563是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)．
解　該數(shù)列的項(xiàng)為13＋1×2,13＋2×3,13＋3×4，….故其通項(xiàng)公式可以為an＝13＋n(n＋1)(n∈N＋)．
令13＋n(n＋1)＝2 563，則n2＋n＝2 550.
解得n＝50或n＝－51(舍去)．
∴2 563是該數(shù)列中的第50項(xiàng)．

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