第三章 導數(shù)及其應用
3.1 變化率與導數(shù)
3.1.1 變化率問題
雙基達標。ㄏ迺r20分鐘)
1.函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Δx之間的平均變化率f(x0+Δx)-f(x0)Δx中,Δx不可能是( ).
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.大于0或小于0
答案 C
2.如果質(zhì)點按規(guī)律s=3+t2運動,則在一小段時間[2,2.1]中相應的平均速度是( ).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.3
解析 =(3+2.12)-(3+22)0.1=4.1.
答案 B
3.函數(shù)y=x2+x在x=1到x=1+Δx之間的平均變化率為( ).
A.Δx+2 B.2Δx+(Δx)2
C.Δx+3 D.3Δx+(Δx)2
解析 ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx=
(1+Δx)2+(1+Δx)-(12+1)Δx=Δx+3.
答案 C
4.已知函數(shù)y=2+1x,當x由1變到2時,函數(shù)的增量Δy=________.
解析 Δy=2+12-(2+1)=-12.
答案 -12
5.一個作直線運動的物體,其位移s與時間t的關(guān)系是s=3t-t2,則物體在t=0到t=2之間的平均速度為________.
解析 物體在t=0到t=2之間的平均速度為(3×2-22)-02-0=1.
答案 1
6.已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計算在下列區(qū)間上f(x)及g(x)的平均變化率;
(1)[-3,-1];(2)[0,5].
解 (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,-1]上的平均變化率為
f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[2×(-1)+1]-[2×(-3)+1]2=2,
g(x)在區(qū)間[-3,-1]上的平均變化率為
g(-1)-g(-3)(-1)-(-3)=[-2×(-1)]-[-2×(-3)]2=-2.
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上的平均變化率為
f(5)-f(0)5-0=(2×5+1)-(2×0+1)5=2,
g(x)在區(qū)間[0,5]上的平均變化率為
g(5)-g(0)5-0=-2×5-(-2×0)5=-2.
綜合提高。ㄏ迺r25分鐘)
7.已知函數(shù)f(x)=2x2-4的圖象上一點(1,-2)及鄰近一點(1+Δx,-2+Δy),則ΔyΔx等于( ).
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
解析 ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx=2(1+Δx)2-2Δx=4+2Δx.
答案 C
8.一質(zhì)點的運動方程是s=4-2t2,則在時間段[1,1+Δt]內(nèi)相應的平均速度為
( ).
A.2Δt+4 B.-2Δt-4
C.4 D.-2Δt2-4Δt
解析 =4-2(1+Δt)2-(4-2×12)Δt=-4Δt-2(Δt)2Δt=-2Δt-4.
答案 B
9.已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為S=πr2,其中r∈(0,+∞),則當半徑r∈[1,1+Δr]時,圓面積S的平均變化率為________.
解析 當r∈[1,1+Δr]時,圓面積S的平均變化率為ΔSΔr=π(1+Δr)2-πΔr=π+2π•Δr+(Δr)2π-πΔr=2π+πΔr.
答案 2π+πΔr
10.國家環(huán)保局在規(guī)定的排污達標的日期前,
對甲、乙兩家企業(yè)進行檢查,其連續(xù)檢測結(jié)果
如圖所示.治污效果更好的企業(yè)是(其中W表示排污量)________.
解析 ΔWΔt=W(t1)-W(t2)Δt,在相同的時間內(nèi),由圖可知甲企業(yè)的排污量減少的多,∴甲企業(yè)的治污效果更好.
答案 甲企業(yè)
11.假設在生產(chǎn)8到30臺機器的情況下,生產(chǎn)x臺機器的成本是c(x)=x3-6x2+15x(元),而售出x臺的收入是r(x)=x3-3x2+12x(元),則生產(chǎn)并售出10臺至20臺的過程中平均利潤是多少元?
解 由題意,生產(chǎn)并售出x臺機器所獲得的利潤是:
L(x)=r(x)-c(x)=(x3-3x2+12x)-(x3-6x2+15x)=3x2-3x,故所求的平均利潤為:L=L(20)-L(10)20-10=87010=87(元).
12.(創(chuàng)新拓展)嬰兒從出生到第24個月的體重變化如圖,
試分別計算第一年與第二年嬰兒體重的平均變化率.
解 第一年嬰兒體重平均變化率為11.25-3.7512-0=0.625(千克/月);
第二年嬰兒體重平均變化率為
14.25-11.2524-12=0.25(千克/月).
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