第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
3．1　變化率與導(dǎo)數(shù)
3．1．1　變化率問題

雙基達(dá)標(biāo)�。ㄏ迺r(shí)20分鐘）
1．函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx不可能是(　　)．
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案　C
2．如果質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝3＋t2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間[2，2.1]中相應(yīng)的平均速度是(　　)．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
解析　 ＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.
答案　B
3．函數(shù)y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之間的平均變化率為(　　)．
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
解析　ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝
（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1）Δx＝Δx＋3.
答案　C
4．已知函數(shù)y＝2＋1x，當(dāng)x由1變到2時(shí)，函數(shù)的增量Δy＝________．
解析　Δy＝2＋12－(2＋1)＝－12.
答案�。�12
5．一個(gè)作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體在t＝0到t＝2之間的平均速度為________．
解析　物體在t＝0到t＝2之間的平均速度為（3×2－22）－02－0＝1.
答案　1
6．已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分別計(jì)算在下列區(qū)間上f(x)及g(x)的平均變化率；
(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．
解　(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率為
f（－1）－f（－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，
g(x)在區(qū)間[－3，－1]上的平均變化率為
g（－1）－g（－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為
f（5）－f（0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，
g(x)在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為
g（5）－g（0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.
綜合提高�。ㄏ迺r(shí)25分鐘）
7．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上一點(diǎn)(1，－2)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，－2＋Δy)，則ΔyΔx等于(　　)．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析　ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝2（1＋Δx）2－2Δx＝4＋2Δx.
答案　C
8．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝4－2t2，則在時(shí)間段[1，1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為
(　　)．
A．2Δt＋4 B．－2Δt－4
C．4 D．－2Δt2－4Δt
解析　 ＝4－2（1＋Δt）2－（4－2×12）Δt＝－4Δt－2（Δt）2Δt＝－2Δt－4.
答案　B
9．已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，則當(dāng)半徑r∈[1，1＋Δr]時(shí)，圓面積S的平均變化率為________．
解析　當(dāng)r∈[1，1＋Δr]時(shí)，圓面積S的平均變化率為ΔSΔr＝π（1＋Δr）2－πΔr＝π＋2π•Δr＋（Δr）2π－πΔr＝2π＋πΔr.
答案　2π＋πΔr
10．國(guó)家環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，
對(duì)甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測(cè)結(jié)果
如圖所示．治污效果更好的企業(yè)是(其中W表示排污量)________．
解析　ΔWΔt＝W（t1）－W（t2）Δt，在相同的時(shí)間內(nèi)，由圖可知甲企業(yè)的排污量減少的多，∴甲企業(yè)的治污效果更好．
答案　甲企業(yè)
11．假設(shè)在生產(chǎn)8到30臺(tái)機(jī)器的情況下，生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x臺(tái)的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，則生產(chǎn)并售出10臺(tái)至20臺(tái)的過程中平均利潤(rùn)是多少元？
解　由題意，生產(chǎn)并售出x臺(tái)機(jī)器所獲得的利潤(rùn)是：
L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利潤(rùn)為：L＝L（20）－L（10）20－10＝87010＝87(元)．
12．(創(chuàng)新拓展)嬰兒從出生到第24個(gè)月的體重變化如圖，
試分別計(jì)算第一年與第二年嬰兒體重的平均變化率．
解　第一年嬰兒體重平均變化率為11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；
第二年嬰兒體重平均變化率為
14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．

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