命題人：高二數(shù)學(xué)備課組
(考試時間：2015年1月 15日 )滿分：100分(必考試卷Ⅰ) 50分(必考試卷Ⅱ)
時量：120分鐘
得分：
必考試卷Ⅰ
一、：本大題共7小題，每小題5分，共35分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù)i＋i2在復(fù)平面內(nèi)表示的點在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.設(shè)x∈R，則x>e的一個必要不充分條件是
A.x>1 B.x<1
C.x>3 D.x<3
3.若f(x)＝2cos α－sin x，則f′(α)等于
A.－sin α
B.－cos α
C.－2sin α－cos α
D.－3cos α
4.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是
�、賨1，z2不能比較大��；②虛數(shù)不能比較大��；③z1，z2是虛數(shù).
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
5.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a與b的夾角為60°，則λ的值為
A.17或－1 B.－17或1
C.－1 D.1
6.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>5)的兩個焦點，且F1F2＝8，弦AB過點F1，則△ABF2的周長為
A.10
B.20
C.2
D.4
7.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－2)f′(x)≤0，則必有
A.f(－3)＋f(3)<2f(2)
B.f(－3)＋f(7)>2f(2)
C.f(－3)＋f(3)≤2f(2)
D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)
二、題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上.
8.復(fù)數(shù)10的值是 .
9.用反證法證明命題：“若x，y>0，且x＋y>2，則，中至少有一個小于2”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 .
10.已知等差數(shù)列{an}中，有＝成立.類似地，在等比數(shù)列{bn}中，有 成立.
11.曲線y＝sin x在[0，π]上與x軸所圍成的平面圖形的面積為 .
12.已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c的值為 .
13.正整數(shù)按下列方法分組：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為Bn，則An＋Bn＝ .
三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
14.(本小題滿分11分)
已知函數(shù)f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的圖象關(guān)于原點成中心對稱，試判斷f(x)在區(qū)間[－4，5]上的單調(diào)性，并求出f(x)在區(qū)間[－4，5]上的最值.
15.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.
(1)寫出a1，a2，a3，并推測an的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.
16.(本小題滿分12分)
如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點.
(1)證明：AE⊥PD；
(2)若H為PD上一點，且AH⊥PD，EH與平面PAD所成角的正切值為，求二面角E－AF－C的余弦值.
必考試卷Ⅱ
一、：本大題共1個小題，每小題5分，滿分5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖，若兩個正數(shù)a，b滿足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，則的取值范圍是
A.
B.∪(5，＋∞)
C.(－∞，3)
D.
二、題：本大題共1個小題，每小題5分，共5分.請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上.
2.設(shè)函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，則k＝ .
三、解答題：本大題共3小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
3.(本小題滿分13分)
某電視生產(chǎn)企業(yè)有A、B兩種型號的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動，若企業(yè)投放A、B兩種型號電視機(jī)的價值分別為a、b萬元，則農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為a、ln(b＋1)萬元(＞0且為常數(shù)).已知該企業(yè)投放總價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機(jī)，且A、B兩種型號的投放金額都不低于1萬元.
(1)請你選擇自變量，將這次活動中農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼表示為它的函數(shù)，并求其定義域；
(2)求當(dāng)投放B型電視機(jī)的金額為多少萬元時，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大？
4.(本小題滿分13分)
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點與點N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求?的最小值，并求此時圓T的方程；
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于，N的任意一點，且直線P，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標(biāo)原點，求證：?為定值.
5.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.
(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)k的值；
(2)設(shè)x>0，討論曲線y＝與直線y＝(>0)公共點的個數(shù)；
(3)設(shè)函數(shù)h滿足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，試比較h(e)與的大小.
湖南師大附中2015屆高二第一學(xué)期期末考試試題
數(shù)學(xué)(理科)參考答案
必考試卷Ⅰ
又∵函數(shù)f(x)在[－4,5]上連續(xù).
∴f(x)在(－3,3)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(－4，－3)和(3,5)上是單調(diào)遞增函數(shù).(9分)
∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)
15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜測an＝2－(5分)
(2)①由(1)已得當(dāng)n＝1時，命題成立；(7分)
②假設(shè)n＝k時，命題成立，即ak＝2－，(8分)
當(dāng)n＝k＋1時，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，
∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，
即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.(11分)
根據(jù)①②得n∈N＋時，an＝2－都成立.(12分)
16.(1)證明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC為正三角形.
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，
所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，
所以AE⊥PD.(5分)
(2)解：因為AH⊥PD，
由(1)知AE⊥平面PAD，
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE＝，
此時tan∠EHA＝＝＝，
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin 45°＝，
又SE＝＝＝，
在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，
即所求二面角的余弦值為.(12分)
解法二：由(1)知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，所以
A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，
F，
所以＝(，0,0)，
�。�.
所以cos〈，〉＝＝＝.
因為二面角E－AF－C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.(12分)
必考試卷Ⅱ
一、選擇題
1.D 【解析】由圖像可知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原題等價于，求的取值范圍.畫出不等式組表示的可行區(qū)域，利用直線斜率的意義可得∈.
二、填空題
2.－1 【解析】思路分析：按導(dǎo)數(shù)乘積運算法則先求導(dǎo)，然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于k的方程求解.
f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)
故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.
三、解答題
3.解：(1)設(shè)投放B型電視機(jī)的金額為x萬元，則投放A型電視機(jī)的金額為(10－x)萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼f(x)＝(10－x)＋ln(x＋1)＝ln(x＋1)－＋1，(1≤x≤9).(5分)(沒有指明x范圍的扣1分)
(2)f′(x)＝－＝＝，
令y′＝0，得x＝10－1(8分)
1° 若10－1≤1即0＜≤，則f(x)在[1,9]為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時，f(x)有最大值；新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)
2° 若1＜10－1＜9即<<1，則f(x)在[1,10－1)是增函數(shù)，在(10－1,9]是減函數(shù)，當(dāng)x＝10－1時，f(x)有最大值；
3° 若10－1≥9即≥1，則f(x)在[1,9]是增函數(shù)，當(dāng)x＝9時，f(x)有最大值.
因此，當(dāng)0＜≤時，投放B型電視機(jī)1萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大.
當(dāng)<<1時，投放B型電視機(jī)(10－1)萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大；
當(dāng)≥1時，投放B型電視機(jī)9萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大.(13分)
4.解：(1)依題意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1；
故橢圓C的方程為＋y2＝1.(3分)
(2)方法一：點與點N關(guān)于x軸對稱，
設(shè)(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨設(shè)y1>0.
由于點在橢圓C上，
所以y＝1－.(*)(4分)
由已知T(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，
∴?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3
方法二：點與點N關(guān)于x軸對稱，故設(shè)(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，
不妨設(shè)sin θ>0，由已知T(－2,0)，則
?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)
故當(dāng)cos θ＝－時，?取得最小值為－，此時，
又點在圓T上，代入圓的方程得到r2＝.
故圓T的方程為：(x＋2)2＋y2＝.(8分)
(3)方法一：設(shè)P(x0，y0)，則直線P的方程為：
y－y0＝(x－x0)，
令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)
故xR?xS＝(**)(11分)
又點與點P在橢圓上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)
代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.
所以?＝?＝＝4為定值.(13分)
方法二：設(shè)(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨設(shè)sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.則直線P的方程為：y－sin α＝(x－2cos α)，
令y＝0，得xR＝，
同理：xS＝，(12分)
故xR?xS＝＝＝4.
所以?＝?＝＝4為定值.(13分)
5.解：(1)f的反函數(shù)g(x)＝ln x.設(shè)直線y＝kx＋1與g(x)＝ln x相切于點P(x0，y0)，則⇒x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.(3分)
(2)當(dāng)x>0，>0時，曲線y＝f(x)與曲線y＝x2(>0)的公共點個數(shù)
即方程f(x)＝x2根的個數(shù).
由f(x)＝x2⇒＝，令v(x)＝⇒v′(x)＝，
則v(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，這時v(x)∈(v(2)，＋∞)；
v(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，這時v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝.
v(2)是y＝v(x)的極小值，也是最小值.(5分)
所以對曲線y＝f(x)與曲線y＝x2(>0)公共點的個數(shù)，討論如下：
當(dāng)∈時，有0個公共點；
當(dāng)＝時，有1個公共點；
當(dāng)∈時有2個公共點；(8分)
(3)令F(x)＝x2h(x)，則F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝
所以h＝，故h′＝＝＝
令G(x)＝ex－2F(x)，則G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2?＝
顯然，當(dāng)0<x<2時，G′(x)<0，G(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x>2時，G′(x)>0，G(x)單調(diào)遞增；
所以，在(0，＋∞)范圍內(nèi)，G(x)在x＝2處取得最小值G(2)＝0.
即x>0時，ex－2F(x)≥0.
故在(0，＋∞)內(nèi)，h′(x)≥0，
所以h(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，
又因為h(2)＝＝>，h(2)<h(e)
所以h(e)>.(14分)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/316508.html
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