2015年高二數(shù)學(xué)理科上學(xué)期期末試題(有答案)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


  命題人:高二數(shù)學(xué)備課組
  (考試時(shí)間:2015年1月 15日  )滿分:100分(必考試卷Ⅰ)    50分(必考試卷Ⅱ)
  時(shí)量:120分鐘
  得分:       
  
  必考試卷Ⅰ
  一、:本大題共7小題,每小題5分,共35分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
  1.復(fù)數(shù)i+i2在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在
  
  A.第一象限
  B.第二象限
  C.第三象限
  D.第四象限
  2.設(shè)x∈R,則x>e的一個(gè)必要不充分條件是
  A.x>1 B.x<1
  C.x>3 D.x<3
  3.若f(x)=2cos α-sin x,則f′(α)等于
  A.-sin α
  B.-cos α
  C.-2sin α-cos α
  D.-3cos α
  4.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是
 、賨1,z2不能比較大。虎谔摂(shù)不能比較大。虎踷1,z2是虛數(shù).
  A.①②③ B.②①③
  C.②③① D.③②①
  5.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,1),a與b的夾角為60°,則λ的值為
  A.17或-1 B.-17或1
  C.-1 D.1
  6.設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>5)的兩個(gè)焦點(diǎn),且F1F2=8,弦AB過(guò)點(diǎn)F1,則△ABF2的周長(zhǎng)為
  A.10
  B.20
  C.2
  D.4
  7.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-2)f′(x)≤0,則必有
  A.f(-3)+f(3)<2f(2)
  B.f(-3)+f(7)>2f(2)
  C.f(-3)+f(3)≤2f(2)
  D.f(-3)+f(7)≥2f(2)
  二、題:本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分.請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
  8.復(fù)數(shù)10的值是      .
  9.用反證法證明命題:“若x,y>0,且x+y>2,則,中至少有一個(gè)小于2”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為              .
  10.已知等差數(shù)列{an}中,有=成立.類似地,在等比數(shù)列{bn}中,有             成立.
  11.曲線y=sin x在[0,π]上與x軸所圍成的平面圖形的面積為 .
  12.已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則c的值為     .
  13.正整數(shù)按下列方法分組:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,記第n組中各數(shù)之和為An;由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,記第n組中后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差為Bn,則An+Bn=     .
  三、解答題:本大題共3小題,共35分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
  14.(本小題滿分11分)
  已知函數(shù)f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,試判斷f(x)在區(qū)間[-4,5]上的單調(diào)性,并求出f(x)在區(qū)間[-4,5]上的最值.
  15.(本小題滿分12分)
  已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1.
  (1)寫出a1,a2,a3,并推測(cè)an的表達(dá)式;
  (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.
  
  
  16.(本小題滿分12分)
  如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,且AC=AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn).
  (1)證明:AE⊥PD;
  (2)若H為PD上一點(diǎn),且AH⊥PD,EH與平面PAD所成角的正切值為,求二面角E-AF-C的余弦值.
  
  必考試卷Ⅱ
  一、:本大題共1個(gè)小題,每小題5分,滿分5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
  1.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖,若兩個(gè)正數(shù)a,b滿足f(2a+b)<1,且f(4)=1,則的取值范圍是
  
  A.
  B.∪(5,+∞)
  C.(-∞,3)
  D.
  二、題:本大題共1個(gè)小題,每小題5分,共5分.請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
  2.設(shè)函數(shù)f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f′(0)=6,則k=     .
  三、解答題:本大題共3小題,共40分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
  3.(本小題滿分13分)
  某電視生產(chǎn)企業(yè)有A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動(dòng),若企業(yè)投放A、B兩種型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值分別為a、b萬(wàn)元,則農(nóng)民購(gòu)買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為a、ln(b+1)萬(wàn)元(>0且為常數(shù)).已知該企業(yè)投放總價(jià)值為10萬(wàn)元的A、B兩種型號(hào)的電視機(jī),且A、B兩種型號(hào)的投放金額都不低于1萬(wàn)元.
  (1)請(qǐng)你選擇自變量,將這次活動(dòng)中農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼表示為它的函數(shù),并求其定義域;
  (2)求當(dāng)投放B型電視機(jī)的金額為多少萬(wàn)元時(shí),農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大?
  4.(本小題滿分13分)
  已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)與點(diǎn)N.
  (1)求橢圓C的方程;
  (2)求?的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
  (3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于,N的任意一點(diǎn),且直線P,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:?為定值.
  
  5.(本小題滿分14分)
  已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.
  (1)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)k的值;
  (2)設(shè)x>0,討論曲線y=與直線y=(>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);
  (3)設(shè)函數(shù)h滿足x2h′(x)+2xh(x)=,h(2)=,試比較h(e)與的大小.
  
  
  湖南師大附中2015屆高二第一學(xué)期期末考試試題
  數(shù)學(xué)(理科)參考答案
  必考試卷Ⅰ
  又∵函數(shù)f(x)在[-4,5]上連續(xù).
  ∴f(x)在(-3,3)上是單調(diào)遞減函數(shù),在(-4,-3)和(3,5)上是單調(diào)遞增函數(shù).(9分)
  ∴f(x)的最大值是54,f(x)的最小值是-54.(11分)
  15.解:(1)a1=,a2=,a3=,….猜測(cè)an=2-(5分)
  (2)①由(1)已得當(dāng)n=1時(shí),命題成立;(7分)
 、诩僭O(shè)n=k時(shí),命題成立,即ak=2-,(8分)
  當(dāng)n=k+1時(shí),a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,
  且a1+a2+……+ak=2k+1-ak
  ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
  ∴2ak+1=2+2-,ak+1=2-,
  即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.(11分)
  根據(jù)①②得n∈N+時(shí),an=2-都成立.(12分)
  16.(1)證明:由AC=AB=BC,可得△ABC為正三角形.
  因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.
  又BC∥AD,因此AE⊥AD.
  因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.
  而PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD且PA∩AD=A,
  所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,
  所以AE⊥PD.(5分)
  
  (2)解:因?yàn)锳H⊥PD,
  由(1)知AE⊥平面PAD,
  則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
  在Rt△EAH中,AE=,
  此時(shí)tan∠EHA===,
  在Rt△AOE中,EO=AE?sin 30°=,AO=AE?cos 30°=,
  又F是PC的中點(diǎn),在Rt△ASO中,SO=AO?sin 45°=,
  又SE===,
  在Rt△ESO中,cos∠ESO===,
  即所求二面角的余弦值為.(12分)
  解法二:由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又E,F(xiàn)分別為BC,PC的中點(diǎn),所以
  
  A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),
  F,
  所以=(,0,0),
 。.
  所以cos〈,〉===.
  因?yàn)槎娼荅-AF-C為銳角,所以所求二面角的余弦值為.(12分)
  必考試卷Ⅱ
  一、選擇題
  1.D 【解析】由圖像可知f(x)在(-∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增,所以f(2a+b)<1即2a+b<4,原題等價(jià)于,求的取值范圍.畫出不等式組表示的可行區(qū)域,利用直線斜率的意義可得∈.
  二、填空題
  2.-1 【解析】思路分析:按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo),然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于k的方程求解.
  f′(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)
  故f′(0)=-6k3,又f′(0)=6,故k=-1.
  三、解答題
  3.解:(1)設(shè)投放B型電視機(jī)的金額為x萬(wàn)元,則投放A型電視機(jī)的金額為(10-x)萬(wàn)元,農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼f(x)=(10-x)+ln(x+1)=ln(x+1)-+1,(1≤x≤9).(5分)(沒有指明x范圍的扣1分)
  (2)f′(x)=-==,
  令y′=0,得x=10-1(8分)
  1° 若10-1≤1即0<≤,則f(x)在[1,9]為減函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最大值;新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)
  2° 若1<10-1<9即<<1,則f(x)在[1,10-1)是增函數(shù),在(10-1,9]是減函數(shù),當(dāng)x=10-1時(shí),f(x)有最大值;
  3° 若10-1≥9即≥1,則f(x)在[1,9]是增函數(shù),當(dāng)x=9時(shí),f(x)有最大值.
  因此,當(dāng)0<≤時(shí),投放B型電視機(jī)1萬(wàn)元,農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大.
  當(dāng)<<1時(shí),投放B型電視機(jī)(10-1)萬(wàn)元,農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大;
  當(dāng)≥1時(shí),投放B型電視機(jī)9萬(wàn)元,農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大.(13分)
  4.解:(1)依題意,得a=2,e==,∴c=,b==1;
  故橢圓C的方程為+y2=1.(3分)
  
  (2)方法一:點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱,
  設(shè)(x1,y1),N(x1,-y1),不妨設(shè)y1>0.
  由于點(diǎn)在橢圓C上,
  所以y=1-.(*)(4分)
  由已知T(-2,0),則=(x1+2,y1),=(x1+2,-y1),
  ∴?=(x1+2,y1)?(x1+2,-y1)=(x1+2)2-y=(x1+2)2-=x+4x1+3
  方法二:點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱,故設(shè)(2cos θ,sin θ),N(2cos θ,-sin θ),
  不妨設(shè)sin θ>0,由已知T(-2,0),則
  ?=(2cos θ+2,sin θ)?(2cos θ+2,-sin θ)=(2cos θ+2)2-sin2θ=5cos2θ+8cos θ+3=52-.(6分)
  故當(dāng)cos θ=-時(shí),?取得最小值為-,此時(shí),
  又點(diǎn)在圓T上,代入圓的方程得到r2=.
  故圓T的方程為:(x+2)2+y2=.(8分)
  (3)方法一:設(shè)P(x0,y0),則直線P的方程為:
  y-y0=(x-x0),
  令y=0,得xR=,同理:xS=,(10分)
  故xR?xS=(**)(11分)
  又點(diǎn)與點(diǎn)P在橢圓上,故x=4(1-y),x=4(1-y),(12分)
  代入(**)式,得:xR?xS===4.
  所以?=?==4為定值.(13分)
  方法二:設(shè)(2cos θ,sin θ),N(2cos θ,-sin θ),不妨設(shè)sin θ>0,P(2cos α,sin α),其中sin α≠±sin θ.則直線P的方程為:y-sin α=(x-2cos α),
  令y=0,得xR=,
  同理:xS=,(12分)
  故xR?xS===4.
  所以?=?==4為定值.(13分)
  5.解:(1)f的反函數(shù)g(x)=ln x.設(shè)直線y=kx+1與g(x)=ln x相切于點(diǎn)P(x0,y0),則⇒x0=e2,k=e-2.所以k=e-2.(3分)
  (2)當(dāng)x>0,>0時(shí),曲線y=f(x)與曲線y=x2(>0)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
  即方程f(x)=x2根的個(gè)數(shù).
  由f(x)=x2⇒=,令v(x)=⇒v′(x)=,
  則v(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,這時(shí)v(x)∈(v(2),+∞);
  v(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,這時(shí)v(x)∈(v(2),+∞).v(2)=.
  v(2)是y=v(x)的極小值,也是最小值.(5分)
  所以對(duì)曲線y=f(x)與曲線y=x2(>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論如下:
  當(dāng)∈時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);
  當(dāng)=時(shí),有1個(gè)公共點(diǎn);
  當(dāng)∈時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn);(8分)
  (3)令F(x)=x2h(x),則F′(x)=x2h′(x)+2xh=
  所以h=,故h′===
  令G(x)=ex-2F(x),則G′(x)=ex-2F′(x)=ex-2?=
  顯然,當(dāng)0<x<2時(shí),G′(x)<0,G(x)單調(diào)遞減;
  當(dāng)x>2時(shí),G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增;
  所以,在(0,+∞)范圍內(nèi),G(x)在x=2處取得最小值G(2)=0.
  即x>0時(shí),ex-2F(x)≥0.
  故在(0,+∞)內(nèi),h′(x)≥0,
  所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
  又因?yàn)閔(2)==>,h(2)<h(e)
  所以h(e)>.(14分)


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