高二數(shù)學(xué)下冊(cè)拋物線單元測(cè)試題[1]

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

一、選擇題(每小題6分,共42分)

1.(2010江蘇南通九校模擬,2)拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=1,則a的值為( )

A. B.- C.4 D.-4

答案:B

解析:y=ax2 x2= y,又準(zhǔn)線方程為y=1,故- =1,a=- .

2.(2010江蘇蘇州一模,5)拋物線y= x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )

A.(0, ) B.( ,0)

C.(1,0) D.(0,1)

答案:D

解析:y= x2 x2=4y,其焦點(diǎn)為(0,1).

3.(2010中科大附中模擬,7)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上點(diǎn)(m,-2)到焦點(diǎn)的距離為4,則m的值為( )

A.4 B.-2 C.4或-4 D.2或-2

答案:C

解析:設(shè)拋物線方程為x2=-2py,(p>0),則 -(-2)=4,p=4,故拋物線方程為x2=-8y,m2=-8×(-2),m=±4.

4.(2010湖北黃岡一模,11)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點(diǎn),若x1+x2=3p,則|PQ|等于( )

A.4p B.5p C.6p D.8p

答案:A

解析:|PQ|=|PF|+|FQ|=x1+ +x2+ =x1+x2+p.又x1+x2=3p,故|PQ|=4p.

5.(2010江蘇南通九校模擬,9)已知點(diǎn)P(m,3)是拋物線y=x2+4x+n上距點(diǎn)?A(-2,0)最近一點(diǎn),則m+n等于( )

A.1 B.3 C.5 D.7

答案:C

解析:由已知得P為拋物線的頂點(diǎn)(-2,3),故3=(-2)2+4×(-2)+n,n=7,m+n=?-2+7=5.

6.(2010浙江聯(lián)考,7)一動(dòng)圓圓心在拋物線x2=4y上,過點(diǎn)(0,1)且恒與定直線l相切,則直線l的方程為( )

A.x=1 B.x= C.y=-1 D.y=-

答案:C

解析:根據(jù)拋物線定義,圓心到焦點(diǎn)(0,1)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,故l為準(zhǔn)線y=-1.

7.(2010北京東城區(qū)一模,8)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是A( ,4),則|PA|+|PM|的最小值是( )

A. B.4 C. D.5

答案:C

解析:|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+ - =|PA|+|PF|- ≥|AF|- = - = .

二、填空題(每小題5分,共15分)

8.過點(diǎn)(0,2)與拋物線y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有_____________條.

答案:3

解析:兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線,應(yīng)填3.

9.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,作傾角為 的弦AB,則AB的長(zhǎng)是_____________.

答案:

解析:利用結(jié)論|AB|= .

10.(2010湖北十一校大聯(lián)考,16)設(shè)PQ是拋物線y2=2px(p>0)上過焦點(diǎn)F的一條弦,l是拋物線的準(zhǔn)線,給定下列命題:①以PF為直徑的圓與y軸相切;②以QF為直徑的圓與y軸相切;③以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切;④以PF為直徑的圓與y軸相離;⑤以QF為直徑的圓與y軸相交.則其中所有正確命題的序號(hào)是:________________________.

答案:①②③

解析:設(shè)P(x1,y1),PF中點(diǎn)為A( ),A到

到y(tǒng)軸的距離為 |PF|,故①正確;同理②也正確;又|PQ|=x1+x2+p,PQ的中點(diǎn)B( )到準(zhǔn)線的距離為 ,故③正確,④⑤錯(cuò)誤.

三、解答題(11?13題每小題10分,14題13分,共43分)

11.已知拋物線y2=2px(p>0),過焦點(diǎn)F的弦的傾斜角為θ(θ≠0),且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求證:|AB|= ;

(2)求|AB|的最小值.

(1)證明:如右圖,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F( ,0).

設(shè)過焦點(diǎn)、傾斜角為θ的直線方程為y=tanθ•(x- ),與拋物線方程聯(lián)立,消去y并整理,得

tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.

此方程的兩根應(yīng)為交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo),根據(jù)韋達(dá)定理,有x1+x2= .

設(shè)A、B到拋物線的準(zhǔn)線x=- 的距離分別為|AQ|和|BN|,根據(jù)拋物線的定義,有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .

(2)解析:因|AB|= 的定義域是0<θ<π,又sin2θ≤1,

所以,當(dāng)θ= 時(shí),|AB|有最小值2p.

12.已知拋物線y2=2px(p>0)的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m、n兩部分,求證: 為定值,本題若推廣到橢圓、雙曲線,你能得到什么結(jié)論?

解析:(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),m=n=p,

∴ = .

(2)當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí),設(shè)AB:y=k(x- ),

A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,

∴m= +x1,n= +x2.

將AB方程代入拋物線方程,得

k2x2-(k2p+2p)x+ =0,

∴ =

= .

本題若推廣到橢圓,則有 = (e是橢圓的離心率);若推廣到雙曲線,則要求弦AB與雙曲線交于同一支,此時(shí),同樣有 = (e為雙曲線的離心率).

13.如右圖,M是拋物線y2=x上的一點(diǎn),動(dòng)弦 ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn),且?|MA|=|MB|.

(1)若M為定點(diǎn),證明:直線EF的斜率為定值;

(2)若M為動(dòng)點(diǎn),且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的軌跡方程.

(1)證明:設(shè)M(y02,y0),直線ME的斜率為?k(k>0),則直線MF的斜率為-k,

直線ME的方程為y-y0=k(x-y02).

由 得

ky2-y+y0(1-ky0)=0.

解得y0•yE= ,

∴yE= ,∴xE= .

同理可得yF= ,∴xF= .

∴kEF= (定值).

(2)解析:當(dāng)∠EMF=90°時(shí),∠MAB=45°,所以k=1,由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).

設(shè)重心G(x,y),則有

消去參數(shù)y0,得y2= (x>0).

14.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)M(1,-3)、N(5,1),若點(diǎn)C滿足 =?t +(1-t) (t∈R),點(diǎn)C的軌跡與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn).

(1)求證: ⊥ ;

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P(m,0),使得過點(diǎn)P任作拋物線的一條弦,并以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn).若存在,請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1)證明:由 =t +(1-t) (t∈R)知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線,故點(diǎn)C的軌跡方程是:y+3= •(x-1),即y=x-4.

由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.

∴x1x2=16,x1+x2=12,

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.

∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .

(2)解析:存在點(diǎn)P(4,0),使得過點(diǎn)P任作拋物線的一條弦,以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn).

由題意知:弦所在的直線的斜率不為零,

故設(shè)弦所在的直線方程為:x=ky+4,代入y2=x,得y2-4ky-16=0,

∴y1+y2=4k,y1y2=-16.

kOA•kOB= =-1.

∴OA⊥OB,故以AB為直徑的圓都過原點(diǎn).

設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x,y),

則x= (x1+x2),y= (y1+y2).

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.

∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為: 消去k,得y2=2x-8.

輕松閱讀

圓錐曲線的由來

圓錐曲線是圓、橢圓、拋物線與雙曲線的總稱,它們都可以通過不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐面得到,圓錐曲線也因此而得名.

圓錐曲線是繼直線、圓以后人類認(rèn)識(shí)比較早的一類曲線.早在兩千多年前,古希臘的數(shù)學(xué)家就開始詳細(xì)研究圓錐曲線.他們?cè)萌N不同的圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線,即用垂直于圓錐母線的平面截圓錐面,當(dāng)圓錐的頂角為直角、銳角或鈍角時(shí),分別得到拋物線、橢圓和雙曲線.公元前3世紀(jì),希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(Apollonus)首次從一個(gè)對(duì)頂圓錐得到所有的圓錐曲線,并創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論.


本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaoer/1181947.html

相關(guān)閱讀:高二數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷[1]