§2.3 剎車距離與二次函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+c的圖象的作法和性質(zhì)的過程,進一步獲得將表格、表達式、圖象三者聯(lián)系起來的經(jīng)驗.
2.會作出y=ax2和y=ax2+c的圖象,并能比較它們與y=x2的異同,理解a與c對二次函數(shù)圖象的影響.
3.能說出y=ax2+c與y=ax2圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).
4.體會二次函數(shù)是某些實際問題的數(shù)學(xué)模型.
學(xué)習(xí)重點:[
二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+c的圖象和性質(zhì),因為它們的圖象和性質(zhì)是研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ).我們在學(xué)習(xí)時結(jié)合圖象分別從開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大(小值)、函數(shù)的增減性幾個方面記憶分析.
學(xué)習(xí)難點:
由函數(shù)圖象概括出y=ax2、y=ax2+c的性質(zhì).函數(shù)圖象都由(1)列表,(2)描點、連線三步完成.我們可根據(jù)函數(shù)圖象來聯(lián)想函數(shù)性質(zhì),由性質(zhì)來分析函數(shù)圖象的形狀和位置.
學(xué)習(xí)方法:
類比學(xué)習(xí)法。
學(xué)習(xí)過程:
一、復(fù)習(xí):
二次函數(shù)y=x2 與y=-x2的性質(zhì):
拋物線y=x2y=-x2
對稱軸
頂點坐標(biāo)
開口方向
位置
增減性
最值[
二、問題引入:
你知道兩輛汽車在行駛時為什么要保持一定距離嗎?
剎車距離與什么因素有關(guān)?
有研究表明:汽車在某段公路上行駛時,速度為v(km/h)汽車的剎車距離s(m)可以由公式:
晴天時: ;雨天時: ,請分別畫出這兩個函數(shù)的圖像:
三、動手操作、探究:
1.在同一平面內(nèi)畫出函數(shù)y=2x2與y=2x2+1的圖象。
2.在同一平面內(nèi)畫出函數(shù)y=3x2與y=3x2-1的圖象。
比較它們的性質(zhì),你可以得到什么結(jié)論?
四、例題:[
【例1】已知拋物線y=(m+1)x 開口向下,求m的值.
【例2】k為何值時,y=(k+2)x 是關(guān)于x的二次函數(shù)?
【例3】在同一坐標(biāo)系中,作出函數(shù)①y=-3x2,②y=3x2,③y= x2,④y=- x2的圖象,并根據(jù)圖象回答問題:(1)當(dāng)x=2時,y= x2比y=3x2大(或。┒嗌?(2)當(dāng)x=-2時,y=- x2比y=-3x2大(或。┒嗌伲
【例4】已知直線y=-2x+3與拋物線y=ax2相交于A、B兩點,且A點坐標(biāo)為(-3,m).
(1)求a、m的值;
(2)求拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標(biāo);
(3)x取何值時,二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而減小;
(4)求A、B兩點及二次函數(shù)y=ax2的頂點構(gòu)成的三角形的面積.
【例5】有一座拋物線形拱橋,正常水位時,橋下水面寬度為20m,拱頂距離水面4m.(1)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,求出該拋物線的表達式;(2)在正常水位的基礎(chǔ)上,當(dāng)水位上升h(m)時,橋下水面的寬度為d(m),求出將d表示為k的函數(shù)表達式;(3)設(shè)正常水位時橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行,橋下水面寬度不得小于18m,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.
五、課后練習(xí)
1.拋物線y=-4x2-4的開口向 ,當(dāng)x= 時,y有最 值,y= .
2.當(dāng)m= 時,y=(m-1)x -3m是關(guān)于x的二次函數(shù).
3.拋物線y=-3x2上兩點A(x,-27),B(2,y),則x= ,y= .
4.當(dāng)m= 時,拋物線y=(m+1)x +9開口向下,對稱軸是 .在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而 ;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而 .
5.拋物線y=3x2與直線y=kx+3的交點為(2,b),則k= ,b= .
6.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸,且經(jīng)過點(-1,-2),則拋物線的表達式為.
7.在同一坐標(biāo)系中,圖象與y=2x2的圖象關(guān)于x軸對稱的是( )
A.y= x2B.y=- x2C.y=-2x2D.y=-x2
8.拋物線,y=4x2,y=-2x2的圖象,開口最大的是( )
A.y= x2B.y=4x2C.y=-2x2D.無法確定
9.對于拋物線y= x2和y=- x2在同一坐標(biāo)系里的位置,下列說法錯誤的是( )
A.兩條拋物線關(guān)于x軸對稱B.兩條拋物線關(guān)于原點對稱
C.兩條拋物線關(guān)于y軸對稱D.兩條拋物線的交點為原點
10.二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=ax+a在同一坐標(biāo)系中的圖象大致為( )
11.已知函數(shù)y=ax2的圖象與直線y=-x+4在第一象限內(nèi)的交點和它與直線y=x在第一象限內(nèi)的交點相同,則a的值為( )
A.4B.2C. D.
12.求符合下列條件的拋物線y=ax2的表達式:
(1)y=ax2經(jīng)過(1,2);
(2)y=ax2與y= x2的開口大小相等,開口方向相反;
(3)y=ax2與直線y= x+3交于點(2,m).
13.如圖,直線ι經(jīng)過A(3,0),B(0,3)兩點,且與二次函數(shù)y=x2+1的圖象,在第一象限內(nèi)相交于點C.求:
(1)△AOC的面積;
(2)二次函數(shù)圖象頂點與點A、B組成的三角形的面積.
14.自由落體運動是由于地球引力的作用造成的,在地球上,物體自由下落的時間t(s)和下落的距離h(m)的關(guān)系是h=4.9t 2.求:
(1)一高空下落的物體下落時間3s時下落的距離;
(2)計算物體下落10m,所需的時間.(精確到0.1s)
15.有一座拋物線型拱橋,橋下面在正常水位AB時寬20m.水位上升3m,就達到警戒線CD,這時,水面寬度為10m.
(1)在如圖2-3-9所示的坐標(biāo)系中求拋物線的表達式;
(2)若洪水到來時,水位以每小時0.2m的速度上升,從警戒線開始,再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂?
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