一、
1．設(shè)a、b∈R，已知命題p：a＝b，命題q：(a＋b2)2≤a2＋b22，則p是q成立的(　　)
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：a＝b?(a＋b2)2≤a2＋b22，反之，則不然，故選B.
答案：B
2．下列函數(shù)中，最小值是4的是(　　)
A．y＝x＋4x　　　　　　　B．y＝sinx＋4sinx
C．y＝2x＋2－x D．y＝x2＋1x2＋1＋3
解析：只有D中，y＝x2＋1x2＋1＋3＝(x2＋1)＋1x2＋1＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋1＝1，即x＝0時(shí)，等號(hào)成立，故選D.
答案：D
3．設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)且x＋4y＝40，則lgx＋lgy的最大值為(　　)
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：∵40＝x＋4y≥4xy，∴xy≤10，即xy≤100，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝20，即x＝20，y＝5時(shí)，等號(hào)成立，∴l(xiāng)gx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.
答案：D
4．給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：
①∵a，b∈R＋，∴ba＋ab≥2 ba?ab＝2；
②∵x，y∈R＋，∴l(xiāng)gx＋lgy≥2lgx?lgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a?a＝4；
④∵x，y∈R，xy<0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2 ?－xy??－yx?＝－2.
其中正確的推導(dǎo)為(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①由于a，b∈R＋，∴ba，ab∈R＋，符合基本不等式的條件，故①推導(dǎo)正確；
②雖然x，y∈R＋，但當(dāng)x∈(0,1)或y∈(0,1)時(shí)，lgx或lgy是負(fù)數(shù)，故②的推導(dǎo)過(guò)程是錯(cuò)誤的；
③由a∈R，不符合基本不等式的條件，故
4a＋a≥2 4a?a＝4是錯(cuò)誤的．
④由xy<0，得xy、yx均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將整體xy＋yx提出負(fù)號(hào)后，(－xy)、(－yx)均變?yōu)檎龜?shù)，符合均值不等式的條件，故④正確，故選D.
答案：D
5．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝(12)x2－2(x<0)，則m，n之間的關(guān)系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．m≤n
解析：m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥
2 ?a－2??1a－2＋2＝4，n＝(12)x2－2<(12)－2＝4，故選A.
答案：A
6．若a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是(　　)
A．18 B．6
C．23 D．243
解析：∵3a＋3b≥23a?3b＝23a＋b＝6，故選B.
答案：B
7．若直線2ax－by＋2＝0(a，b>0)過(guò)圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心，則ab的最大值是(　　)
A.14 B.12
C．1 D．2
解析：圓心為(－1,2)，
∴－2a－2b＋2＝0，a＋b＝1，
∴ab≤a＋b2＝12，故選A.
答案：A
8．某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入運(yùn)營(yíng)．據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)的關(guān)系(如圖)，則每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年，營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：求得函數(shù)式為y＝－(x－6)2＋11，
則營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)
yx＝－?x－6?2＋11x
＝12－(x＋25x)≤12－225＝2，
此時(shí)x＝25x，解得x＝5，故選C.
答案：C
9．已知f(x)＝x2＋px＋q(p>0)，當(dāng)x1>0，x2>0時(shí)，下列關(guān)系成立的是(　　)
A．f(x1x2)≤f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]
B．f(x1x2)≤12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)
C.12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1x2)≤f(x1＋x22)
D．f(x1＋x22)≤f(x1x2)≤12[f(x1)＋f(x2)]
解析：∵p>0，∴f(x)＝x2＋px＋q的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，畫出f(x)的草圖．不妨設(shè)x1答案：A
10．一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長(zhǎng)400 km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于(v20)2 km，那么這批物質(zhì)全部安全到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要(　　)
A．5 h B．10 h
C．15 h D．20 h
解析：車隊(duì)總長(zhǎng)≥25?(v20)2＝25v2400 km，故最后一輛車到達(dá)災(zāi)區(qū)的時(shí)間最少需要
t＝25v2400＋400v＝400v＋25v400≥2 400v?25v400＝10 h，故選B.
答案：B
二、題
11．設(shè)0解析：∵0當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x，即x＝43∈(0,2)時(shí)，等號(hào)成立．
答案：43
12．已知5x＋3y＝2(x>0，y>0)，則xy的最小值是________．
解析：∵5x＋3y≥215xy，∴2≥215xy.
∴xy≥15，
當(dāng)且僅當(dāng)5x＝3y時(shí)取“＝”號(hào)．
又5x＋3y＝2(x>0，y>0)，得x＝5，y＝3.
因此xy的最小值為15.
答案：15
13．若x>0，則x＋432x2取得最小值時(shí)，x的取值是________．
解析：x＋432x2＝x2＋x2＋432x2≥33x2?x2?432x2＝934，
當(dāng)且僅當(dāng)x2＝x2＝432x2時(shí)，即x＝634，取等號(hào)．
答案：634
14．若x，y∈R＋，且x＋y＝1，則x2y的最大值為________．
解析：x2y＝12×(x?x?2y)
≤12×(x＋x＋2y3)3＝12×(23)3＝427.
答案：427
三、解答題
15．已知a>1,0證明：因?yàn)閍>1,00，－logba>0，從而－logab＋(－logba)≥2?－logba??－logab?＝2，即logab＋logba≤－2.
16．當(dāng)x>1時(shí)，求y＝3x＋4x－1＋1的最小值．
解析：由x>1得x－1>0，
則y＝3x＋4x－1＋1＝3(x－1)＋4x－1＋4≥43＋4，
當(dāng)且僅當(dāng)3(x－1)＝4x－1，即x＝1＋233時(shí)，取等號(hào)．
17．設(shè)實(shí)數(shù)x，y，m，n滿足x2＋y2＝3，m2＋n2＝1，若a≥mx＋ny恒成立，求a的取值范圍．
解析：解法1：mx＋ny＝3(m?x3＋n?y3)
≤3[12(m2＋x23)＋12(n2＋y23)]
＝32(m2＋n2＋x2＋y23)
＝3.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3m，y＝3n時(shí)取等號(hào)．
∴a≥3.
解法2：設(shè)p＝(x，y)，q＝(m，n)
則p＝3，q＝1
∵p?q≤pq
∴mx＋ny≤3
當(dāng)且僅當(dāng)p＝3q，即x＝3m，
y＝3n時(shí)取等號(hào)．
∴a≥ 3.
18．巨幅壁畫最高點(diǎn)離地面14 m，最低點(diǎn)離地面2 m，若從離地面1.5 m處觀賞此畫，問(wèn)離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角最大．
解析：如圖，設(shè)AD＝14 m，BD＝2 m，OD＝1.5 m．如圖建立坐標(biāo)系，則A(0,12.5)，B(0,0.5)．
設(shè)C(x,0)，則
kAC＝12.5－00－x＝－12.5x，kBC＝0.5－00－x＝－0.5x，
tan∠ACB＝－0.5x＋12.5x1＋0.5x?12.5x＝12x＋6.25x.
∵x>0，∴x＋6.25x≥2x?6.25x＝5.
∴tan∠ACB≤125，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6.25x，
即x＝2.5時(shí)，tan∠ACB取得最大值為125.
∵∠ACB為銳角，正切函數(shù)在(0，π2)上遞增，
∴當(dāng)x＝2.5時(shí)，∠ACB最大．


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