2013-2014學年度上學期期中考試
高二數(shù)學文試題
試卷總分:150分 考試時間:120分鐘
本試卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)兩部分.共150分,考試時間120分鐘。
第 Ⅰ 卷(選擇題,共60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)
1.下列命題中: ① 若A α, B α, 則AB α;② 若A α, A β, 則α、β一定相交于一條直線,設為m,且A m; ③經過三個點有且只有一個平面 ④ 若a ?b, c?b, 則a//c. 正確命題的個數(shù)( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 某社區(qū)有500個家庭,其中高收入家庭125戶,中等收入家庭280戶,低收入家庭95戶,為了調查社會購買的某項指標,要從中抽取1個容量為100戶的樣本,記作①;某學校高一年級有12名女排運動員,要從中選出3人調查學習負擔情況,記作②。那么完成上述2項調查應采用的抽樣方法是( )
A ①用隨機抽樣法,②用系統(tǒng)抽樣法 B ①用系統(tǒng)抽樣法,②用分層抽樣法
C ①用分層抽樣法,②用隨機抽樣法 D ①用分層抽樣法,②用系統(tǒng)抽樣法
3.如果平面?外有兩點A、B,它們到平面?的距離都是a,則直線AB和平面?的位置關系一定是( )
A. 平行 B. 相交 C. AB?? D. 平行或相交
4.如圖,在正四面體P-ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點,下面四個結論不成立的是( )
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC
ξ123
P0.20.5m
5.隨機變量ξ的分布列如下表所示,則ξ的數(shù)學期望為( )
A 2.0 B 2.1 C 2.2 D 隨m的變化而變化
6.如圖,正方體的平面展開圖,在這個正方體中,
① 與 平行;② 與 是異面直線;③ 與 成60°的角;④ 與 垂直。
其中正確的序號是( )
A.①②④ B.②④ C.③④ D.②③④
7.如右圖為一個幾何體的三視圖,其中
俯視圖為正三角形, , ,
則該幾何體的表面積為( )
A . B.
C. D. 32
8.右面的程序框圖,如果輸入三個實數(shù)a、b、c,要求輸出這三個數(shù)
中最大的數(shù),那么在空白的判斷框中,應該填入下面四個選項中的
( )
A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c
9.如下圖,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點,若在矩形ABCD內部
隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內部的概率等于( )
A. B. C. D.
10.在正四棱錐P-ABCD中,點P在底面上的射影為O,
E為PC的中點,則直線AP與OE的位置關系是( )
A.平行 B.相交 C.異面 D.都有可能
11.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長為 ,則球的半徑是( ) .
A.1 B. C. D.2
12.已知兩個不同的平面α,β和兩條不重合的直線a,b,則下列四個命題中為正確的命題是( )
A.若a∥b,b α,則a∥α B.若α⊥β,α∩β=b,a⊥b,則a⊥β
C.若a α,b α,a∥β,b∥β,則α∥β D.若α∥β,a α,a β,a∥α,則a∥β
第 Ⅱ 卷 (非選擇題,共90分)
二、題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將正確答案填在題中橫線上)
13.一枚硬幣連擲3次,只有一次出現(xiàn)正面的概率是 ;(用數(shù)字作答)
14.下列各數(shù) 、 、 中最小的數(shù)是 ;
15.正方體 中,對角線 與 所成角分別為α、β、 ,則 ;
16.學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況,
抽出一個容量為n且支出在[20,60)的樣本,其頻率
分布直方圖如圖所示,其支出在[50,60)的同學
有30個.則n的值為 。
三、解答題(本大題共6小題,滿分70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17. (本小題滿分10分)對甲、乙兩名同學的學習成績進行抽樣分析,各抽 門功課,得到的觀測值如下:
問:甲、乙誰的平均成績最好?誰的各門功課發(fā)展較平衡?
18.(本小題滿分12分)△ABC中, , 分別是角A、B、C的對邊,
(1)求 的值;
(2)若 ,求△ABC的面積。
19.(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱 中, ,點 是 的中點。
(1)求證: //平面 ;
(2)求證:平面 ⊥平面 ;
(3)若 ,求二面角 的大小。
20.(本小題滿分12分) 已知數(shù)列 滿足 是首項為1,公比為 的等比數(shù)列。
(1)求 ;
(2)如果 , ,求數(shù)列 的前n項和 。
21.(本小題滿分12分)袋中有6個球,其中4個白球,2個紅球,從袋中任意取出2個球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的2個球都是白球;
(2)B:取出的2個球中1個是白球,另1個是紅球。
22.(本小題滿分12分)如圖所示,在棱長為2的正方 體 中, 、 分別為 、 的中點.
(1)求證: //平面 ;
(2)求證: ;
(3)求三棱錐 的體積.
參考答案
一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
題號123456789 101112
答案B C D D B C C A C A C D
二、題:(本大題共4小題,每題5分,共計20分)
13、 ; 14、 ;
15、 1 ; 16、 100 。
三、解答題。(本大題共6小題,共計70分)
17、(本小題滿分10分)
∵
∴ 甲的平均成績較好,乙的各門功課發(fā)展較平衡
18、(本小題滿分12分)
解:(1)
(2)由 得
又
由正弦定理得
所以,△ 的面積
19、(本小題滿分12分)
解:(1)連接AC1交A1C于E,連接DE,∵AA1C1C為矩形,則E為AC1的中點。
又CD 平面CA1D,∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B 。
(3) 二面角的平面角為 。
20、(本小題滿分12分)
解:(1)由 ,當n≥2時, ,
∴
①當a=1時, ;
②當a≠1時, ,
∴
(2)
………………………………………………………①
則 ……………………………………②
①-②,得
21、(本小題滿分12分)
解:設4個白球的編號為1,2,3,4,2個紅球的編號為5,6。從袋中的6個小球中任取2個的方法為
共15種。
(1)從袋中的6個球中任取2個,所取的2個球全是白球的方法總數(shù),即是從4個白球中任取2個的方法總數(shù),共有6種。即:∴取出的2個球全是白球的概率為
。
(2)從袋中的6個球中任取2個,其中1個為紅球,而另1個為白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8種!嗳〕龅2 個球中1個是白球,另1個是紅球的概率為 。
22、(本小題滿分12分)
解:(1)證明:連結 ,在△ 中, 、 分別為 , 的中點,則 ∥
又 平面 , 平面 ∴ ∥平面 ………
(2)證明
∵ ,
∴ 平面
又 平面 ,∴ ,又 ∥ ,
∴ …………
(3)解:∵ ,∴ ⊥平面 ,即 ⊥平面 ,且
,
,
∴ ,即
= = ……
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