證明:(1) ,左 右
(2)假設n=k時成立
即:
當 時,左=
右即 時成立
綜上所述由(1)(2)對一切 , 命題成立
[例2] 對于 ,求證: ,可被 整除。
證明:(1) ,左 成立
(2)假設n=k時成立即:
當 時,
∴ 時成立
綜上所述由(1)(2)對一切
[例3] 求證: , 可被17整除。
證明:(1)n=0,左=15+2=17成立
(2)假設n=k成立即 ,M∈N
當 時,
[例4]數(shù)列 滿足 , ,求 。
解: ,
∴ 推測
證明:(1)n=1成立
(2)假設n=k成立即
當 時,
∴ 成立綜上所述對一切 , 成立
[例5] ( 為常數(shù)),試判斷 是否為數(shù)列 中的一項。
證明: 推測
(1) 成立
(2)假設n=k成立即 , 時,
成立綜上所述對一切 , 成立
∴ p不是 中的一項
[例6] 數(shù)列 滿足 (1)求證: 對一切 成立;(2)令 , ,試比較 與 大小關系。
(1)① 成立
② 假設n=k時成立,即
當n=k+1時,
∴ ∴ 時成立綜上所述由①②對一切 ,
(2) ∴ ,
7. 函數(shù) 的最大值不大于 ,又 時, (1)求
(2)設 , ,求證:
8. 為常數(shù), 證明對任意
7. 證明: (1)n=1 成立
(2)假設 時成立即 ,當n=k+1時,
∴ 成立綜上所述對一切 ,
8. 證明:(1)n=1, 成立
(2)假設n=k時成立即
當 時,
∴ 成立
綜上所述對一切 命題成立
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