2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期
高二級數(shù)學(xué)科期中考試試卷
本試卷分和非兩部分，共4頁，滿分為150分.考試用時120分鐘.
注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號填寫在答題卡和答卷密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號填涂在答題卡上.
2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.
3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4、考生必須保持答題卡的整潔和平整.
第一部分選擇題(共 50 分)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合 ，
則圖中陰影部分表示的集合是
A． B．
C． D．

2. “ ”是“ ”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分且必要條件 D． 既不充分也不必要條件

3. 下列對一組數(shù)據(jù)的分析，不正確的說法是
A數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定.
B.數(shù)據(jù)平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
C. 數(shù)據(jù)極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
D.數(shù)據(jù)方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

4. 已知向量 滿足 ，則實(shí)數(shù) 值是
A． 或1 B. 　 C. 　 D. 或

5.命題 在 上是增函數(shù);
命題 若 ,則有:
A. B. C. D.
6.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖
(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為3的等腰三角形，
側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為4、高為3的等腰
三角形．則該兒何體的側(cè)面積為
A. B. C. 36 D.
7. 執(zhí)行右邊的程序框圖，若 ，則輸出的
A. B. C. D.

8. 當(dāng) ，則 的大小關(guān)系是
A． B．
C. D．

9. 已知點(diǎn) ，直線 ： ，
點(diǎn) 是直線 上的一點(diǎn)，若 ，則
點(diǎn) 的軌跡方程為
A． B．
C． D．

10.若對任意實(shí)數(shù) , 恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.


第二部分非選擇題 (共 100 分)
二．題：本大題共4小題, 每小題5分, 共20分. 把答案填在答卷的相應(yīng)位置．
11．已知橢圓 ，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ＊
12.數(shù)列 是等差數(shù)列， ，則前13項和 _*____
13.設(shè) 滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)
的最大值為1,則正數(shù) 滿足的關(guān)系是___*_____, 的最小值是__*___

14.定義在 上的偶函數(shù) 滿足： ，且在 上
是增函數(shù)，下面是關(guān)于 的判斷：
（1） 是周期函數(shù)； （2） 在 上是增函數(shù)；
（3） 在 上是減函數(shù)； （4） 的圖象關(guān)于直線 對稱.
則正確的命題序號是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分12分）
的面積是 角 的對邊分別是 ,
(1) 求 的值；
(2) 分別求 的值.

16．（本題滿分12分）
甲、乙、丙、丁四名廣交會志愿者分在同一組.廣交會期間，該組每天提供上午或下午共兩個時間段的服務(wù)，每個時間段需且僅需一名志愿者.
（1）如果每位志愿者每天僅提供一個時間段的服務(wù)，求甲、乙兩人在同一天服務(wù)的概率；
（2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服務(wù)，求甲、乙兩人在同一天服務(wù)的概率.

17.（本題滿分14分）
如圖所示,四棱錐 中，側(cè)面 是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面 是菱形， ， 為 的中點(diǎn)，
（1）求證： ∥平面 ；
（2）求證： ；　　　　　　　
（3）(科)求三棱錐 的體積.
(3)(理科) 求直線 與平面 所成角的正切值.

18. （本題滿分14分）
已知數(shù)列 的前 項和 和通項 滿足 .
(1)求數(shù)列 的通項公式；
(2)設(shè) ,求數(shù)列 的前 項和 ,并證明 .

19． （本題滿分14分）
已知圓
（1）若直線 : 與圓 有公共點(diǎn)，求直線 的斜率 的取值范圍；
（2）（科）若過 的直線 被圓C截得的弦長為 ，求直線 的方程；
（2）（理科）若斜率為1的直線 被圓 截得的弦 滿足 （ 是坐標(biāo)
原點(diǎn)），求直線 的方程.

20．（本題滿分14分）
已知函數(shù) ，
（1）若函數(shù) 滿足 ，求實(shí)數(shù) 的值；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上總是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（3）若函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期
高二級數(shù)學(xué)科期中試題答案
一、選擇題：CABA D AD C BB
二、題：11. ; 12. 26 13. ；8 14.（1），（4）
三、解答題
15．（本題滿分12分）
15.解：（1） ……3分
……………… 6分
（2） 中， ……… 8分
代入解得 …… 9分
由余弦定理得： ………11分
………12分
16．（本題滿分12分）
16.解（Ⅰ）從四個人中選出2個人去上午或下午服務(wù)（僅一段）是一個基本事件，……………1分，
基本事件總數(shù)有：（畫樹狀圖（或列舉法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，�。�，（乙、甲），（乙、丙），（乙，�。�，（丙，甲），（丙，乙），（丙，�。�，（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12種情況，每種情況的發(fā)生都是等可能的，符合古典概型的條件……………………3分，
其中甲乙在同一天服務(wù)有2種情況（乙、甲），（甲、乙），……………………4分，
所以甲.乙兩人在同一天服務(wù)的概率 ……………………6分.
（未畫樹狀圖或列舉的酌情扣1~2分，沒有任何過程僅有答案者只記2分）
（Ⅱ）從四個人中選出2個人(可以重復(fù)選同一個人)去上午或下午服務(wù)（一段或兩段）是一個基本事件,…………1分，畫樹狀圖（或列舉法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，�。�，（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，�。�，（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，�。�，（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），
（丁，丁）共16種情況每種情況的發(fā)生都是等可能的，符合古典概型的條件……………………9分.
“其中甲乙在同一天服務(wù)”有2種情況（甲、乙），（乙、甲），……………………10分.
所以甲.乙兩人在同一天服務(wù)的概率 ……………………12分.
（未畫樹狀圖或列舉的酌情扣1~2分，沒有任何過程僅有答案者只記2分）
17(本題滿分14分)
證明（1）連接AC交BD于為O，連接EO，∵　E為PC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，在△PAC中，PA∥EO ，
，PA∥平面BDE,　　……………5分
（2）則 為 的中點(diǎn), 連接 .
, . ……………6分
是菱形， , 是等邊三角形. ………7分
………8分 平面 ………9分
. 平面 , .……………10分　　　　　　　
（3）(科） , 　　　　　

是三棱錐 的體高,
……………14分
（3）（理科） , 　　　　　

……………………………14分
18．（本題滿分14分）
（1）當(dāng) 時， ．…………3分
當(dāng) 時， ，………5分
即 ,…………6分
又 所以數(shù)列 是首項為 公比為 的等比數(shù)列, …………8分
．…………9分

（2）由（1）可知 ，
所以 ． ①
① 3得
． ②………11分
②-①得： …………12分
…………13分
． …………14分
19.（本題滿分14分）
（1）直線 與圓C有公共點(diǎn)，所以圓心 到直線 的距離 （r=2），……2分
………………5分
兩邊平方，整理得 ………………7分
（2）（科）設(shè)直線 的斜率為k，則直線 方程為y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分
由 ， ………………9分
兩邊平方，整理得： ………………10分
解得 或 均在 上，………………12分
直線方程為： 或 即： 或 …………14分
(2)（理科）存在，
解法1：設(shè)直線 的方程： ，設(shè) ………………8分
則 ，因?yàn)?
①………………10分
把 代入 整理得
（*）
………………12分
將上式代入①得 即 得 滿足（*）
………………13分
所以存在直線，方程是， ………………14分
解法2：設(shè)直線 的方程： ，………………8分
設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則 又 ，………………9分
則CD的方程是 ，即 ，………………10分
聯(lián)立 與 得 ………………11分
圓心 到直線 的距離
………………12分
整理得 得 ，滿足 ………………13分
所以存在直線，方程是， ………………14分
20. （本題滿分14分）
(1) 知函數(shù) 關(guān)于直線 對稱……………1分
……………………2分
（2）① 在區(qū)間 上單調(diào)遞減……………………3分
② 即 時， 在區(qū)間 上單調(diào)遞增……………………4分
③ 即 時， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減……………………5分
④ 在區(qū)間 上單調(diào)遞減……………………6分
綜上所述， 或 ， 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)…………………7分
（3）解法1：
當(dāng) 時，函數(shù) 的零點(diǎn)是 ， 在區(qū)間 上沒有零點(diǎn)
當(dāng) 時，…………………8分
①若 在區(qū)間 上有兩個相等的實(shí)根，則 且 即
當(dāng) 則 ， ， ………9分
②若 在區(qū)間 上有一個實(shí)根，則 ，即
得 …………………10分
③若 在區(qū)間 上有兩個的不同實(shí)根，則有
或 解得 或空集…………12分
綜上 ，檢驗(yàn) 的零點(diǎn)是0，2，其中2 ，符合；
綜上所述 …………………14分
解法2
當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn) 在區(qū)間 上有解 在區(qū)間 上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 在區(qū)間 上的值域……8分
設(shè) ， ，則 ……9分
設(shè) ，可以證明當(dāng) 遞減， 遞增
事實(shí)上，設(shè) 則 ，
由 ，得 ， ，即 ． ……10分
所以 在 上單調(diào)遞減．同理得 在 上單調(diào)遞增，……11分
又 故
……12分
． 13分
故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．……14分

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