選修2-2 3.1.2 復數的幾何意義
一、
1．如果復數a＋bi(a，b∈R)在復平面內的對應點在第二象限，則(　　)
A．a>0，b<0　　　　　　
B．a>0，b>0
C．a<0，b<0
D．a<0，b>0
[答案]　D
[解析]　復數z＝a＋bi在復平面內的對應點坐標為(a，b)，該點在第二象限，需a<0且b>0，故應選D.
2．(2010?北京文，2)在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是(　　)
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案]　C
[解析]　由題意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中點C(x，y)，則x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，
∴點C對應的復數為2＋4i，故選C.
3．當23A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　D
[解析]　∵23＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴點(3m－2，m－1)在第四象限．
4．復數z＝－2(sin100°－icos100°)在復平面內所對應的點Z位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　C
[解析]　z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0,2cos100°<0，
∴Z點在第三象限．故應選C.
5．若a、b∈R，則復數(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i對應的點在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　D
[解析]　a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5
＝－(b－2)2－1<0.所以對應點在第四象限，故應選D.
6．設z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結論中正確的是(　　)
A．z對應的點在第一象限
B．z一定不是純虛數
C．z對應的點在實軸上方
D．z一定是實數
[答案]　C
[解析]　∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，選C.
7．下列命題中假命題是(　　)
A．復數的模是非負實數
B．復數等于零的充要條件是它的模等于零
C．兩個復數模相等是這兩個復數相等的必要條件
D．復數z1>z2的充要條件是z1＞z2
[答案]　D
[解析]�、偃我鈴蛿祕＝a＋bi(a、b∈R)的模z＝a2＋b2≥0總成立．∴A正確；
②由復數相等的條件z＝0?a＝0b＝0.?z＝0，故B正確；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，∴z1＝z2
反之由z1＝z2，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時z1＝z2，故C正確；
④不全為零的兩個復數不能比較大小，但任意兩個復數的�？偰鼙容^大小，∴D錯．
8．已知復數z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，則實數x的取值范圍是(　　)
A．－45B．x<2
C．x>－45
D．x＝－45或x＝2
[答案]　A
[解析]　由題意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，
解之得－459．已知復數z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若z1A．b<－1或b>1
B．－1C．b>1
D．b>0
[答案]　B
[解析]　由z1∴b2<1，則－110．復平面內向量OA→表示的復數為1＋i，將OA→向右平移一個單位后得到向量O′A′→，則向量O′A′→與點A′對應的復數分別為(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案]　C
[解析]　由題意O′A′→＝OA→，對應復數為1＋i，點A′對應復數為1＋(1＋i)＝2＋i.
二、題
11．如果復數z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)對應的點在第一象限，則實數m的取值范圍為________________．
[答案]　－∞，－1－52∪32，＋∞
[解析]　復數z對應的點在第一象限
需m2＋m－1>04m2－8m＋3>0解得：m<－1－52或m>32.
12．設復數z的模為17，虛部為－8，則復數z＝________.
[答案]　±15－8i
[解析]　設復數z＝a－8i，由a2＋82＝17，
∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若復數z對應點位于復平面上的第二象限，則m的取值范圍是________．
[答案]　3[解析]　將復數z變形為z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵復數z對應點位于復平面上的第二象限
∴m2－8m＋15<0m2－m－6>0解得314．若t∈R，t≠－1，t≠0，復數z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范圍是________．
[答案]　[2，＋∞)
[解析]　z2＝t1＋t2＋1＋tt2≥2t1＋t?1＋tt＝2.
∴z≥2.
三、解答題
15．實數m取什么值時，復平面內表示復數z＝2m＋(4－m2)i的點
(1)位于虛軸上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上．
[解析]　(1)若復平面內對應點位于虛軸上，則2m＝0，即m＝0.
(2)若復平面內對應點位于一、三象限，則2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若對應點位于以原點為圓心，4為半徑的圓上，
則4m2＋(4－m2)2＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，對于任意的x∈R，均有z1>z2成立，試求實數a的取值范圍．
[解析]　z1＝x4＋x2＋1，z2＝x2＋a
因為z1>z2，所以x4＋x2＋1>x2＋a
?x4＋x2＋1>(x2＋a)2?(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．
不等式等價于1－2a＝0或1－2a>0Δ＝－4(1－2a)(1－a2)<0
解得－1所以a的取值范圍為－1，12.
17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，當θ為何值時
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2對應點關于x軸對稱；
(3)z2<2.
[解析]　(1)z1＝z2?cosθ＝3sinθsin2θ＝cosθ
?tanθ＝332sinθcosθ＝cosθ?θ＝2kπ＋π6(k∈Z)．
(2)z1與z2對應點關于x軸對稱
?cosθ＝3sinθsin2θ＝－cosθ?θ＝kπ＋π6(k∈Z)2sinθcosθ＝－cosθ
?θ＝2kπ＋76π(k∈Z)．
(3)z2<2?(3sinθ)2＋cos2θ<2
?3sin2θ＋cos2θ<2?sin2θ<12
?kπ－π4<θ18．已知復數z1＝3－i及z2＝－12＋32i.
(1)求z1及z2的值并比較大小；
(2)設z∈C，滿足條件z2≤z≤z1的點Z的軌跡是什么圖形？
[解析]　(1)z1＝3＋i＝(3)2＋12＝2
z2＝－12－32i＝1.∴z1＞z2.
(2)由z2≤z≤z1，得1≤z≤2.
因為z≥1表示圓z＝1外部所有點組成的集合．
z≤2表示圓z＝2內部所有點組成的集合，


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