2012年象賢中學高二數(shù)學（理科）第12周周練

一、（本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．）
1．設隨機變量 等可能的取值1，2，3，…，n，如果 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
2. 的展開式中 的系數(shù)相等，則n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3. 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為 （ ）
（A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40
4． 展開式中， 的系數(shù)是（ ）．
A． B． C． D．
5．在10個球中有個6紅球和4個白球（各不相同），不放回地依次摸出2個球，在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率是（ ）
A B C D

6．從1，2，3，4，5中任取2各不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P（B?A）=（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．箱中有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率為（ ）
A.C35 •C14C45 B.(59)3×(49) C. 35 ×14 D.C14(59)3×(49)
8．已知在6個電子元件中，有2個次品，4個合格品，每次任取一個測試，測試完后不再放回，直到兩個次品都找到為止，則經(jīng)過4次測試恰好將2個次品全部找出的概率（ ）
A. B. C. D.
二、題：本題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9．甲、乙兩個袋中均有紅、白兩種顏色的小球,這些小球除顏色外完全相同,其中甲袋裝有4個紅球、2個白球, 乙袋裝有1個紅球、5個白球.現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機取出一個球,則取出的兩球都是紅球的概率為 ．(答案用分數(shù)表示)
10．某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9 .她連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結論：①他第3次擊中目標的概率是0.9；②他恰好擊中目標3次的概率是 ；③他至少擊中目標1次的概率是 .其中正確結論的序號是 （寫出所有正確結論的序號）.

11．( － )8的展開式中 的系數(shù)為 ，則實數(shù) 的值為 ____；
12．若 ,則 =
13．由直線 ， ，曲線 及 軸所圍圖形的面積是 ．
14．若函數(shù) 在 上為增函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是

班級 姓名 學號 成績

題號12345678
選項
一、：

三、解答題：本題共6小題，滿分80分．解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟．
15．（12分）（2009廣東六校一）在某次乒乓球比賽中，甲、乙、丙三名選手進行單循環(huán)賽（即每兩個比賽一場），共比賽三場.若這三人在以往的相互比賽中，甲勝乙的概率為 ，甲勝丙的概率為 ，乙勝丙的概率為 .（Ⅰ）求甲獲第一、丙獲第二、乙獲第三的概率；
（Ⅱ）若每場比賽勝者得 分，負者得 分，設在此次比賽中甲得分數(shù)為 ，求出X的分布列

16．（12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核。
（I）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （II）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）記 表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求 的分布列。

17．（14分）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戲中，
（i）摸出3個白球的概率；
（ii）獲獎的概率；
（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數(shù) 的分布列

18．（14分）如圖5，在圓錐PO中，已知PO ，⊙O的直徑 ,C是弧AB的中點，D為AC的中點．
（Ⅰ）證明：平面POD 平面PAC;
（Ⅱ）求二面角B—PA—C的余弦值。

19．（14分）已知橢圓 的左，右兩個頂點分別為 、 ．曲線 是以 、 兩點為頂點，離心率為 的雙曲線．設點 在第一象限且在曲線 上，直線 與橢圓相交于另一點 ．
（1）求曲線 的方程；
（2）設 、 兩點的橫坐標分別為 、 ，證明： ；

20．（本小題滿分14分）
設函數(shù) ( 為自然對數(shù)的底數(shù))， （ ）．
（1）證明： ；（2）當 時，比較 與 的大小，并說明理由；

2012年高二數(shù)學（理科）第12周周練答案
1-8DB D CD B B A 9. 10.①③ 11.1或-1 12.-1 13. 14.
15．解：（Ⅰ）設甲獲第一、丙獲第二、乙獲第三為事件 ，
則 4分 （Ⅱ） 可能的取值為 6分
， ， ，

012

16．分析：（I）甲、乙組分別抽取2、1（II） 從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率 （III） 的可能取值為0，1，2，3
， ，
， 分布列略。
17．解：（I）（i）解：設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件 則 （ii）解：設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則 ，又
且A2，A3互斥，所以
（II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.
所以X的分布列是（略）
18．（I）如圖所示，以O為坐標原點，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標系，則 ， 設 是平面POD的一個法向量，則由 ，得 所以
設 是平面PAC的一個法向量，則由 ，得 所以 得 。因為 所以 從而平面 平面PAC。（II）因為y軸 平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為
由（I）知，平面PAC的一個法向量為 設向量 的夾角為 ，則
由圖可知，二面角B—PA—C的平面角與 相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值為
（1）解：依題意可得 ， ．設雙曲線 的方程為 ，
因為雙曲線的離心率為 ，所以 ，即 ．所以雙曲線 的方程為 ．
（2）證法1：設點 、 （ ， ， ），直線 的斜率為 （ ），則直線 的方程為 ，聯(lián)立方程組 整理，得 ，解得 或 ．所以 ．同理可得， ．所以 ．
20．（1）證明：設 ，所以 ．當 時， ，當 時， ，當 時， ．即函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，在 處取得唯一極小值，因為 ，所以對任意實數(shù) 均有 ．即 ，所以 ．（2）解：當 時， 用數(shù)學歸納法證明如下：①當 時，由（1）知 ．②假設當 （ ）時，對任意 均有 ，
令 ， ，因為對任意的正實數(shù) ， ， 由歸納假設知， ．
即 在 上為增函數(shù)，亦即 ，
因為 ，所以 ．從而對任意 ，有 ．
即對任意 ，有 ．這就是說，當 時，對任意 ，也有 ．由①、②知，當 時，都有 ．

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