高二數(shù)學復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算綜合測試題(含答案)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學習網(wǎng)
選修2-2 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算
一、
1.(2010?安徽理,1)i是虛數(shù)單位,i3+3i=(  )
A.14-312i       
B.14+312i
C.12+36i
D.12-36i
[答案] B
[解析] i3+3i=i(3-3i)(3+3i)(3-3i)
=3+3i12=14+312i,故選B.
2.在復平面內(nèi),復數(shù)z=i(1+2i)對應的點位于(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[答案] B
[解析] 考查復數(shù)的運算.
z=-2+i,對應點位于第二象限,
∴選B.
3.已知z是純虛數(shù),z+21-i是實數(shù),那么z等于(  )
A.2i
B.i
C.-i
D.-2i
[答案] D
[解析] 本小題主要考查復數(shù)的運算.
設(shè)z=bi(b∈R),則z+21-i=2+bi1-i=2-b2+b+22i,
∴b+22=0,∴b=-2,
∴z=-2i,故選D.
4.i是虛數(shù)單位,若1+7i2-i=a+bi(a,b∈R),則乘積ab的值是(  )
A.-15
B.-3
C.3
D.15
[答案] B
[解析] 本題考查復數(shù)的概念及其簡單運算.
1+7i2-i=(1+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=-5+15i5=-1+3i=a+bi,
∴a=-1,b=3,∴ab=-3.
5.設(shè)z是復數(shù),a(z)表示滿足zn=1的最小正整數(shù)n,則對虛數(shù)單位i,a(i)=(  )
A.8
B.6
C.4
D.2
[答案] C
[解析] 考查理解能力和復數(shù)的概念與運算.
∵a(z)表示使zn=1的最小正整數(shù)n.
又使in=1成立的最小正整數(shù)n=4,∴a(i)=4.
6.已知復數(shù)z的實部為-1,虛部為2,則5iz=(  )
A.2-i
B.2+i
C.-2-i
D.-2+i
[答案] A
[解析] 考查復數(shù)的運算.
z=-1+2i,則5i-1+2i=5i(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)
=10-5i5=2-i.
7.設(shè)a,b∈R且b≠0,若復數(shù)(a+bi)3是實數(shù),則(  )
A.b2=3a2
B.a(chǎn)2=3b2
C.b2=9a2
D.a(chǎn)2=9b2
[答案] A
[解析] 本小題主要考查復數(shù)的運算.
(a+bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i
=a3-3ab2+(3a2b-b3)i,
∴3a2b-b3=0,∴3a2=b2,故選A.
8.設(shè)z的共軛復數(shù)是z,若z+z=4,z?z=8,則zz等于(  )
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
[答案] D
[解析] 本題主要考查復數(shù)的運算.
設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,
由z+z=4,z z=8得2a=4a2+b2=8∴a=2b=±2
∴z=2+2i,z=2-2i或z=2-2i,z=2+2i,zz=2-2i2+2i=-i或zz=2+2i2-2i=i.∴zz=±i,故選D.
9.(2010?新課標全國理,2)已知復數(shù)z=3+i(1-3i)2,z-是z的共軛復數(shù),則z?z-=(  )
A.14    
B.12    
C.1    
D.2
[答案] A
[解析] ∵z=3+i(1-3i)2=3+i1-23i-3=3+i-2-23i
=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2×(1+3)
=3-3i+i+3-8=23-2i-8=3-i-4,∴z-=3+i-4,
∴z?z-=z2=14,故選A.
10.定義運算a bc d=ad-bc,則符合條件1。1z  zi=4+2i的復數(shù)z為(  )
A.3-i
B.1+3i
C.3+i
D.1-3i
[答案] A
[解析] 由定義得1 -1z  zi=zi+z=z(1+i)=4+2i
∴z=4+2i1+i=3-i.
故應選A.
二、題
11.1+i1-i表示為a+bi(a,b∈R),則a+b=________.
[答案] 1
[解析] 本小題考查復數(shù)的除法運算.
∵1+i1-i=(1+i)22=i,∴a=0,b=1.
因此a+b=1.
12.若復數(shù)z滿足z=i(2-z)(i是虛數(shù)單位),則z=________.
[答案] 1+i
[解析] 本題主要考查復數(shù)的運算.
∵z=i(2-z),∴z=2i1+i=1+i.
13.關(guān)于x的不等式mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集為(-1,2),則復數(shù)m+pi所對應的點位于原復平面內(nèi)的第________象限.
[答案] 二
[解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集為(-1,2),∴m<0(-1)+2=nm(-1)×2=pm,即m<0,p>0.
故復數(shù)m+pi所對應的點位于復平面內(nèi)的第二象限.
14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1z2為純虛數(shù),則實數(shù)a的值為________.
[答案] 83
[解析] 設(shè)z1z2=bi(b∈R且b≠0),∴z1=bi(z2),即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.∴a=4b2=3b?a=83.
三、解答題
15.計算:
(1)-23+i1+23i+21+i2000+1+i3-i;
(2)1+in+i2n+…+i2000n(n∈N).
[解析] (1)原式=-23+i-i(-23+i)+(-i)100+1+i3-i
=i+1+15+25i=65+75i.
(2)當n=4k(k∈N)時,原式=1+1+…+1 2001=2001.
當n≠4k(k∈N)時,
原式=1-i2001n1-in=1-i2000n?in1-in=1-in1-in=1.
16.已知復數(shù)z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i,ω=z+ai(a∈R),當ωz≤2時,求a的取值范圍.
[解析] z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i
=(2+4i)-(1+3i)i=1+ii=-i(1+i)1=1-i
∵ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i
∴ωz=1+(a-1)i1-i=[1+(a-1)i](1+i)2=2-a+ai2
∴ωz=(2-a)2+a22≤2
∴a2-2a-2≤0,∴1-3≤a≤1+3
故a的取值范圍是[1-3,1+3].
17.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一個根(b,c∈R).
(1)求b,c的值;
(2)試證明1-i也是方程的根.
[解析] (1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0
即b+c+(2+b)i=0
∴b+c=02+b=0解得b=-2c=2.
(2)由(1)知方程為x2-2x+2=0
把1-i代入方程左邊得
左邊=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右邊,即方程成立
∴1-i也是方程的根.
18.已知ω=z+i(z∈C),z-2z+2是純虛數(shù),又ω+12+ω-12=16,求ω.
[解析] 設(shè)z=a+bi(a,b∈R)
∴z-2z+2=(a-2)+bi(a+2)+bi=(a2+b2-4)+4bi(a+2)2+b2
由z-2z+2是純虛數(shù)得a2+b2=4b≠0 ①
∴ω+12+ω-12=z+i+12+z+i-12
=a+bi+i+12+a+bi+i-12
=(a+1)+(b+1)i2+(a-1)2+(b+1)i2
=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2
=2(a2+b2)+4+4b=8+4+4b=12+4b=16,
∴b=1,
將b=1代入①得a=±3.


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