湖南省岳陽市重點中學2015級高二期末考試試卷理科數(shù)學時量：120分鐘 總分：150分命題：岳陽縣一中 命題人：周軍才一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.為虛數(shù)單位，則（ ）A.B.C. D.答案：C解析： 2. 若，則＝(　　)A．0　　　　　　　B．C． D．解析：選C　f′(x)＝ex＋xex，f′(1)＝2e. 已知雙曲線的一個焦點,則雙曲線的漸近線方（ �。� B. C. D. 答案：B解析：知雙曲線的焦點軸，且，又一個焦點，∴雙曲線的漸近線方程為(　　) 下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是(　　)設(shè)數(shù)列的前項和為.由，求出，…，推斷：由滿足對∈R都成立，推斷：為奇函數(shù)由圓的面積，推斷：橢圓的面積由…，推斷：對一切N*，A解析：選項A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和等于Sn＝＝n2，選項D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確．因此選A. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則的取值范圍為(　　)A．(－24,8) B．(－24,1]C．[1,8] D．[1,8)[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)?(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.當x[－2，－1)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(－1,3)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)＝－24，極大值為f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函數(shù)圖象大致如圖所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x[－2,5]上有3個零點，只需函數(shù)f(x)在[－2,5]內(nèi)的函數(shù)圖象與直線y＝m有3個交點．故即m[1,8)．[答案]　D的焦點為，已知點為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B. C. D. 答案：A解析：試題分析：設(shè)，則填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．9. 答案：4解析：10.已知，復數(shù)的實部為，虛部為1,則復數(shù)對應(yīng)的點到原點距離的取值范圍是 答案：解析：∵，∴11. 曲線C：在點(1，0)處的切線解析：設(shè)f(x)＝，則f′(x)＝所以f′(1)＝1.所以方程為y＝x－1. 棱長均為三棱錐，若空間一點滿足，則的最小值為解析：∵，四點共面，的最小值到底面的高.13. 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中有5架“殲－15”飛機準備著艦如果甲、乙兩機必須相鄰著艦而丙、丁兩機不能相鄰著艦那么不同的著艦方法數(shù)是分三步：把甲、乙捆綁為一個元素A有種方法；A與戊機形成三個“空”把丙、丁兩機插入空中有種方法；考慮A與戊機的排法有種方法．可知共有AA＝24種不同的著艦方法． 橢圓的左、右頂點分別為，點在上直線的斜率，直線的斜率，則 ?= .答案：－橢圓的左、右頂點分別為(－2，0)，(2，0)，設(shè)P(x，y)，則k＝＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以k＝－有兩個不同的極值點，且，則實數(shù)的范圍是 答案：解析：定義域為，令，則在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，結(jié)合圖象知三、解答題：本大題共6個小題，共75分，解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）設(shè):實數(shù)滿足, 實數(shù)滿足(1)若且為真，求實數(shù)的取值范圍(2)若其中是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍. 由得當時，,即為真時實數(shù)的取值范圍是.由 得 得即為真時實數(shù)的取值范圍是若為真，則真且真，所以實數(shù)的取值范圍是. (2) 由得 是的充分不必要條件，即,且, 設(shè)A=,B=,則,又A==, B==}，則,且所以實數(shù)的取值范圍是如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,，.（）求證:；（）求二面角的大小.（1）∵∴，又∴ ∴∴（2）取的中點為，在平面內(nèi)過作于點，連接則，∴，而∴∴是二面角的∴∴二面角18. （本小題滿分12分）時下，網(wǎng)校教學越越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量單位：千套）與銷售價格（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.（保留1位小數(shù)）1）因為時，， 代入關(guān)系式，得，解得.……………………4分（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，……………5分 所以每日銷售套題所獲得的利潤……………………8分從而. 令，得,且在上,，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減， ……………………10分所以是函數(shù)在內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當時，函數(shù)取得最大值. 故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大. …………………12分19. （本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為)，且方程有一根為－1，＝1,2,3…….(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項公式，并給出嚴格的證明．解：(1)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.……………3分當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.……………5分(2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3….下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論．()n＝1時已知結(jié)論成立．(?)假設(shè)n＝k(k≥1，kN*)時結(jié)論成立，即Sk＝，當n＝k＋1時，由得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時結(jié)論也成立．綜上，由()(?)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．20. （本小題滿分13分）已知橢圓：離心率為，且. （1）求橢圓的方程；過點(，)的動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：設(shè)橢圓的焦距為，則由題設(shè)可知，解此方程組得，. 所以橢圓C的方程是. ……………………5分解法一：假設(shè)存在點T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將它代入橢圓方程，并整理，得．設(shè)點A、B的坐標分別為，則 因為及所以 …………………9分當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，所以解得此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）. …………………11分當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點T（0，1）.綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件. …………………13分解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是 若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 ……………7分由解得.由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事實上點T（0，1）就是所求的點. 證明如下：當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，過點T（0，1）； 當直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點A、B的坐標為，則 …………………10分因為，所以，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）. 綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件. …………………13分已知 （1）若，時，求證：對于恒成立；（2）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（3）利用（1）的結(jié)論證明：若，則．解：（1）設(shè) 則………………….2分（-1，0）0（0，+）+0-?最大值?當時，有最大值0恒成立。即對于恒成立�！�……………………….分（2）時，有單調(diào)遞減區(qū)間，有解，即有解，有解， ……………….分①時合題意②時，，即，的取值范圍是 ………………………….分 （3）證明： 當時，，由（）知等號在即時成立。而， 所以成立。…………………….13分本卷第1頁（共9頁）湖南省岳陽市重點中學2015-2016學年高二上學期期末考試數(shù)學（理）試題
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