湖南省岳陽市重點(diǎn)中學(xué)2015級(jí)高二期末考試試卷理科數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘 總分：150分命題：岳陽縣一中 命題人：周軍才一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.為虛數(shù)單位，則（ ）A.B.C. D.答案：C解析： 2. 若，則＝(　　)A．0　　　　　　　B．C． D．解析：選C　f′(x)＝ex＋xex，f′(1)＝2e. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),則雙曲線的漸近線方（ �。� B. C. D. 答案：B解析：知雙曲線的焦點(diǎn)軸，且，又一個(gè)焦點(diǎn)，∴雙曲線的漸近線方程為(　　) 下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是(　　)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.由，求出，…，推斷：由滿足對(duì)∈R都成立，推斷：為奇函數(shù)由圓的面積，推斷：橢圓的面積由…，推斷：對(duì)一切N*，A解析：選項(xiàng)A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和等于Sn＝＝n2，選項(xiàng)D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確．因此選A. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為(　　)A．(－24,8) B．(－24,1]C．[1,8] D．[1,8)[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)?(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.當(dāng)x[－2，－1)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(－1,3)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)＝－24，極大值為f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函數(shù)圖象大致如圖所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x[－2,5]上有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)f(x)在[－2,5]內(nèi)的函數(shù)圖象與直線y＝m有3個(gè)交點(diǎn)．故即m[1,8)．[答案]　D的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B. C. D. 答案：A解析：試題分析：設(shè)，則填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分．9. 答案：4解析：10.已知，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為1,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍是 答案：解析：∵，∴11. 曲線C：在點(diǎn)(1，0)處的切線解析：設(shè)f(x)＝，則f′(x)＝所以f′(1)＝1.所以方程為y＝x－1. 棱長均為三棱錐，若空間一點(diǎn)滿足，則的最小值為解析：∵，四點(diǎn)共面，的最小值到底面的高.13. 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中有5架“殲－15”飛機(jī)準(zhǔn)備著艦如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦?zāi)敲床煌�的著艦方法�?shù)是分三步：把甲、乙捆綁為一個(gè)元素A有種方法；A與戊機(jī)形成三個(gè)“空”把丙、丁兩機(jī)插入空中有種方法；考慮A與戊機(jī)的排法有種方法．可知共有AA＝24種不同的著艦方法． 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上直線的斜率，直線的斜率，則 ?= .答案：－橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為(－2，0)，(2，0)，設(shè)P(x，y)，則k＝＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以k＝－有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的范圍是 答案：解析：定義域?yàn)�，令，則在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象知三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分，解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）設(shè):實(shí)數(shù)滿足, 實(shí)數(shù)滿足(1)若且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若其中是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 由得當(dāng)時(shí)，,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.由 得 得即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是若為真，則真且真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. (2) 由得 是的充分不必要條件，即,且, 設(shè)A=,B=,則,又A==, B==}，則,且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,，.（）求證:；（）求二面角的大小.（1）∵∴，又∴ ∴∴（2）取的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過作于點(diǎn)，連接則，∴，而∴∴是二面角的∴∴二面角18. （本小題滿分12分）時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量單位：千套）與銷售價(jià)格（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.（保留1位小數(shù)）1）因?yàn)闀r(shí)，， 代入關(guān)系式，得，解得.……………………4分（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，……………5分 所以每日銷售套題所獲得的利潤……………………8分從而. 令，得,且在上,，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減， ……………………10分所以是函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值. 故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大. …………………12分19. （本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為)，且方程有一根為－1，＝1,2,3…….(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.……………3分當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.……………5分(2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3….下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．()n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．(?)假設(shè)n＝k(k≥1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．綜上，由()(?)可知Sn＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立．20. （本小題滿分13分）已知橢圓：離心率為，且. （1）求橢圓的方程；過點(diǎn)(，)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：設(shè)橢圓的焦距為，則由題設(shè)可知，解此方程組得，. 所以橢圓C的方程是. ……………………5分解法一：假設(shè)存在點(diǎn)T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將它代入橢圓方程，并整理，得．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，則 因?yàn)榧八��?…………………9分當(dāng)且僅當(dāng)恒成立時(shí)，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，所以解得此時(shí)以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）. …………………11分當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點(diǎn)T（0，1）.綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1），滿足條件. …………………13分解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是 若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 ……………7分由解得.由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）. ………………8分事實(shí)上點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn). 證明如下：當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓為，過點(diǎn)T（0，1）； 當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為，則 …………………10分因?yàn)�，所以，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）. 綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件. …………………13分已知 （1）若，時(shí)，求證：對(duì)于恒成立；（2）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（3）利用（1）的結(jié)論證明：若，則．解：（1）設(shè) 則………………….2分（-1，0）0（0，+）+0-?最大值?當(dāng)時(shí)，有最大值0恒成立。即對(duì)于恒成立�！�……………………….分（2）時(shí)，有單調(diào)遞減區(qū)間，有解，即有解，有解， ……………….分①時(shí)合題意②時(shí)，，即，的取值范圍是 ………………………….分 （3）證明： 當(dāng)時(shí)，，由（）知等號(hào)在即時(shí)成立。而， 所以成立�！�………………….13分本卷第1頁（共9頁）湖南省岳陽市重點(diǎn)中學(xué)2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題
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