數(shù)學(xué)試卷
說(shuō)明：
1．考試時(shí)間120分鐘，滿分150分。
2．將卷Ⅰ答案用2B鉛筆涂在答題卡上,卷Ⅱ用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆答在試卷上.
3．Ⅱ卷卷頭和答題卡均填涂本次考試的考號(hào)，不要誤填學(xué)號(hào)，答題卡占后５位。
卷Ⅰ( 共60分)
一、.（共12小題，每小題5分，計(jì)60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5，0)和F2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件PF1－PF2＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 （ ）
（A） － ＝1 (x≤－4) （B） － ＝1(x≤－3)
（C） － ＝1 (x>≥4) （D） － ＝1 (x≥3)
2. 圓x2＋y2＝2的經(jīng)過(guò)點(diǎn)P( ,2－ )的切線方程是 （ ）
（A）x＋y＝2 （B）x＋y＝ （C）x＝ 或x＋y＝2 （D）x= 或x＋y＝
3.已知圓(x－2)2+(y+1)2=16的一條直徑通過(guò)直線x－2y+3=0被圓所截弦的中點(diǎn)，則該直徑所在的直線方程為： （ ）
（A）2x+y－5=0 （B）x－2y=0 （C）2x+y－3=0 （D）x－2y+4=0
4.已知橢圓長(zhǎng)半軸與短半軸之比是5：3，焦距是8，焦點(diǎn)在x軸上，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ ）
（A） ＋ ＝1 （B） ＋ ＝1 （C） ＋ ＝1 （D） ＋ ＝1
5.以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6.橢圓 的離心率是 ，則它的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)是 （ ）
（A）1 （B）1或2 （C）2 （D） 或1
7. P(x, y)是橢圓 ＋ =1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作橢圓長(zhǎng)軸的垂線PD，D是垂足，M是PD的中點(diǎn)，則M的軌跡方程是 （ ）
（A） ＋ =1 （B） ＋ =1 （C） ＋ =1 （D） ＋ =1
8.設(shè)雙曲線 (b>a>0)的半焦距為 ，直線 過(guò)(a, 0)、(0, b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線 的距離是 ,則雙曲線的離心率是 （ ）
（A）2 （B） （C） （D）
9.曲線y＝1＋ 與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
（A）( ,＋∞) （B） ( , ] （C）(0， ) （D）( , )
10. 給出方程 和三個(gè)結(jié)論：①方程的曲線是雙曲線；②方程的曲線是橢圓或圓；③方程無(wú)軌跡．下面的說(shuō)法一定正確的是 （ ）
（A）只有①正確 �。˙）只有②正確
（C）③不正確 （D）①②③都有正確的可能
11. 直線y＝x＋3與曲線 =1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 （ ）
（A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)
12. 已知橢圓 （a＞b＞0）與雙曲線 有公共的焦點(diǎn)， 的一條漸近線與以 的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于 兩點(diǎn).若 恰好將線段 三等分，
則 ( )
（A） （B） （C） (D)
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上）
13. 雙曲線 － ＝1的漸近線方程是 ______。
14. 已知方程 + =1表示雙曲線，則k的取值范圍是 。
15. 與兩條平行直線x＋3y－5=0, x＋3y－3=0相切，且圓心在直線2x＋y＋3=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。
16. 已知橢圓 的兩焦點(diǎn)為F1, F2,上頂點(diǎn)為B，那么△F1B F2的外接圓方程為 。
三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17、（本小題滿分10分） 在橢圓 ＋ =1內(nèi)有一點(diǎn)M(4, －1),使過(guò)點(diǎn)M的弦AB的中點(diǎn)正好為點(diǎn)M，求弦AB所在的直線的方程。
18、（本小題滿分10分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成的兩段的比例中項(xiàng)等于橢圓的焦距，又已知直線2x－y－4=0被此橢圓所截得的弦長(zhǎng)為 ，求此橢圓的方程。
19、（本小題滿分12分） 已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（4，a），且與x軸相切的圓只有一個(gè)，求此時(shí)a的值及相應(yīng)的圓的方程。
20、（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C: 過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為 ，
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為 的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
21、（本小題滿分12分）
已知點(diǎn)M(－2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件PM－PN= .記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同兩點(diǎn), 是坐標(biāo)原點(diǎn),求 的最小值.22、（本小題滿分14分） 如圖，已知橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為 。一等軸雙曲線的頂 點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè) 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線 和 與橢圓的交點(diǎn)分別為 和 .
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線 、 的斜率分別為 、 ，證明 ；
參考答案
1D；2C；3C；4B；5B；6B；7C;8A;9B;10C;11A;12;C
13 . ± ＝0 14. k<－3或k>2
15.(x＋ )2＋(y－ )2= ； 16.x2＋y2=1
17.答案：x－y－5=0
提示：設(shè)直線的斜率為k，則y＋1=k(x－4), 與橢圓 ＋ =1聯(lián)立，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2＋8k)－40＝0，∴ x1＋x2= =8, 解得k=1,
∴AB的方程是x－y－5=0
18.4x2＋5y2=24；提示：∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成的兩段的比例中項(xiàng)等于橢圓的焦距, ∴4c2=(a＋c)(a－c),解得a2=5c2, ∴b2=4c2, 將4 x2＋5y2=m與2x－y－4=0聯(lián)立，代入消去y得24x2－80x＋80－m=0, 由弦長(zhǎng)公式 = x1－x2得 = × ,解得m=24,∴橢圓的方程是4x2＋5y2=24
19.a=1時(shí)，圓的方程是(x－2)2＋(y－ )2= ,
a=0時(shí)，圓的方程是(x－4)2＋(y－ )2=
提示：設(shè)圓心坐標(biāo)是(m, n)，半徑為n, 則圓的方程為(x?m)2＋(y?n)2=n2, 將A、B坐標(biāo)代入，消去n得 (1－a)m2－8m＋(a2－a＋16)=0, 當(dāng)a=1時(shí), m有唯一解，m=2, n= , 圓的方程為(x－2)2＋(y－ )2= ，當(dāng)a≠1時(shí), △=0解得a(a2－2a＋17)=a[(a－1)2＋16]=0,解得a=0,m=4, n= , 此時(shí)圓的方程為(x－4)2＋(y－ )2=
20. 解：（Ⅰ）將（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又 得 即 ， ∴ ∴C的方程為
（ Ⅱ）過(guò)點(diǎn) 且斜率為 的直線方程為 ，
設(shè)直線與Ｃ的交點(diǎn)為Ａ ，Ｂ ，將直線方程 代入Ｃ的方程，
得 ，即 ， AB的中點(diǎn)坐標(biāo) ， ，即中點(diǎn)為 。
21.（Ⅰ）由PM－PN= 知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的軌跡是以 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng) ，又半焦距 c=2，故虛半軸長(zhǎng)
所以 W 的方程為 ,
（Ⅱ）設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為 ,
當(dāng) AB⊥x軸時(shí), 從而 從而
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為 ,與W的方程聯(lián)立,消去y得
故
所以
.
又因?yàn)?,所以 ,從而
綜上,當(dāng)AB⊥ 軸時(shí), 取得最小值2.
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