多邊形的邊角與對角線

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
j.Co M
第十四講 多邊形的邊角與對角線
邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念,求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問題,常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識.
多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性:(n-2)×180°隨n的變化而變化;而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律;360°是一個常數(shù),把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題,以靜制動是解多邊形有關(guān)問題的常用技巧.
將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略,連對角線或向外補形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法,從凸 邊形的一個頂點引出的對角線把 凸 邊形分成 個多角形,凸n邊形一共可引出 對角線.
例題求解
【例1】在一個多邊形中,除了兩個內(nèi)角外,其余內(nèi)角之和為2002°,則這個多邊形的邊數(shù)是 .
(江蘇省競賽題)
思路點撥 設(shè)除去的角為°,y°,多邊形的邊數(shù) 為 ,可建立關(guān)于x、y的不定方程;又0°鏈接 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程,點是幾何學(xué)最原始的概念,點生線、線生面、面生體,幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形,另一方面,不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形,發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì),多邊形可分成三角形,三角形可以合成其他
一些幾何圖形.
【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中,銳角的個數(shù)最多是( )
A.0 B.1 C.3 D.5
(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
思路點撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的,而外角和卻總是不變的,因此,可把內(nèi)角為銳角的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個數(shù)的探討.
【例3】 如圖,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,且AD=BC=4,若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形,在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形,你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角),并分別寫出所拼四邊形的對角線的長.
(烏魯木齊市中考題)
思路點撥 把動手操作與合情想象相結(jié)合 ,解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形.
注 教學(xué)建模是當今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個話題,簡單地說,“數(shù)學(xué)建!本褪峭ㄟ^數(shù)學(xué)化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數(shù)學(xué)問題,再運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識方法(模型)解決問題.
本例通過設(shè)元,把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式,通過不定方程求解.
【例4】 在日常生活中,觀察各種建筑物的地板,就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案.也就是說,使用給定的某些正多邊形,能夠拼成一個平面圖形,既不留下一絲空白,又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌),這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān),當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角(360°)時,就拼成了一個平面圖形.
(1)請根據(jù)下列圖形,填寫表中空格:
(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌,哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?
(3)從正三角形、正四邊形,正六邊形中選一種,再在其他正多邊形中選一種,請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖);并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由.
(陜西省中考題)

思路點撥 本例主要研究兩個問題:①如果限用一種正多邊形鑲嵌,可選哪些正多邊形;②選用兩種正多邊形鑲嵌,既具有開放性,又具有探索性.假定正n邊形滿足鋪砌要求,那么在它的頂點接合的地方,n個內(nèi)角的和為360°,這樣,將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.
【例5】 如圖,五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位,得到新的五邊形A'B'C'D'E'.
(1)圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由.
(2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位.
(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件:,A'GB'; B'PC'; C'ND';D'LE';E'IA'三點分別共線;∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°;(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I,用圓的周長逼近估算.

1.如圖,用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形,再沿對角線把它分成兩個三角形,用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來,其中周長最大的是 ?,周長最小的是 cm.
(選6《莢國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準》)

2.如圖,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .

3.如圖,ABCD是凸四邊形,AB=2,BC=4,CD=7,則線段AD的取值范圍是 .
4.用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律,拼成若干個圖案:
(1)第4個圖案中有白色地面磚 塊;
(2)第n個圖案中有白色地面磚 塊.
(江西省中考題)

5.凸n邊形中有且僅有兩個內(nèi)角為鈍角,則n的最大值是( )
A.4 B.5 C. 6 D.7
( “希望杯”邀請賽試題)
6.一個凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°,那么,從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )
A.9條 B.8條 C.7條 D. 6條
7.有一個邊長為4m的正六邊形客廳,用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿,則需要這種瓷磚( )
A.216塊 B.288塊 C.384塊 D.512塊
( “希望杯”邀請賽試題)
8.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,△ACD是一個含有30°角的直角三角形,現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD.
(1))畫出四邊形ABCD;
(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長.
(上海市閔行區(qū)中考題)
9.如圖,四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度數(shù).
(北京市競賽題)
10.如圖,在五邊形A1A2A3A4A5中,Bl是A1的對邊A3A4的中點,連結(jié)A1B1,我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線,如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分,求證:五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行.
(安徽省中考題)

11.如圖,凸四邊形有 個;∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= .
(重慶市競賽題)
12.如圖,延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角,∠B1,∠B2,∠B3,∠B4,∠B5,它們的和等于 ;若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交,則得到的n個角的和等于 .
( “希望杯”邀請賽試題)
13.設(shè)有一個邊長為1的正三角形,記作A1(圖a),將每條邊三等分,在中間的線段上向外作正三角形,去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b),再將每條邊三等分,并重復(fù)上述過程,所得到的圖形記作A3(圖c);再將每條邊三 等分,并重復(fù)上述過程,所得到的圖形記作A4,那么,A4的周長是 ;A4這個多邊形的面積是原三角形面積的 倍.
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
14.如圖,六邊形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11,F(xiàn)A—CD=3,則BC+DC= . (北京市競賽題)

15.在一個n邊形中,除了一個內(nèi)角外,其余(n一1)個內(nèi)角的和為2750°,則這個內(nèi)角的度數(shù)為( )
A.130° D.140° C .105° D.120°
16.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=90°,AB=BC=2 ,AC=6,AD=3,則CD的長為( )
A.4 B.4 C.3 D. 3 (江蘇省競賽題)
注 按題中的方法'不斷地做下去,就會成為下圖那樣的圖形,它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家),這類圖形稱為“分形”,大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形,分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支.

17.如圖,設(shè)∠CGE=α,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )
A.360°一α B.270°一αC.180°+α D.2α
(山東省競賽題)
18.平面上有A、B,C、D四點,其中任何三點都不在一直線上,求證:在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內(nèi)角不超過45°.
19.一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋,如果用較小的相同正方形地磚,那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地,已知n及地磚的邊長都是整數(shù),求n. (上海市競賽題)
20.如圖,凸八邊形ABCDEFGH的8 個內(nèi)角都相等,邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7,4,2,5,6,2,求該八邊形的周長.
21.如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖,這是展開后支撐起來放在地面上的情況,如果折疊起來,床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的),活動床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計而成的,其折疊過程可由圖2的變換反映出來.
如果已知四邊形ABCD中,AB=6,CD=15,那么BC、AD取多長時,才能實現(xiàn)上述的折疊變化?
(淄博市中考題)

22.一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成,求此凸n邊形各個內(nèi)角的大小,并畫出這樣的 凸n邊形的草圖.

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