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望江四中屆高三上學(xué)期第一次月考
數(shù) 學(xué)（理）
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分。答題時(shí)120分鐘，滿(mǎn)分150分。
第Ⅰ卷（選擇題共10小題，每小題5分，共50分）
一、選擇題（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．）
1.若集合 , ,則 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：集合A＝{ }，A＝{ }，所以，
2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ �。�
A． B． C． D．
答案：A
解析：原式＝ ＝ ，所以，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（0，－1），選A＞
3．已知 為等差數(shù)列，若 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因?yàn)?為等差數(shù)列，若 ，所以， ，
4. 已知函數(shù) 有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn) ， ，則（ ）
A．當(dāng) 時(shí)， ， B．當(dāng) 時(shí)， ，
C．當(dāng) 時(shí)， ， D．當(dāng) 時(shí)， ，
答案：B
解析：函數(shù)求導(dǎo)，得： ，得兩個(gè)極值點(diǎn)：
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）過(guò)定點(diǎn)（0，－2），有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，可畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖：
因此，可知， ，只有B符合。
5. 設(shè)集合 是 的子集，如果點(diǎn) 滿(mǎn)足： ，稱(chēng) 為集合 的聚點(diǎn).則下列集合中以 為聚點(diǎn)的有：① ； ② ； ③ ； ④ （ �。�
A．①④B．②③C．①②D．①②④
答案：A
【解析】①中，集合 中的元素是極限為1的數(shù)列，
∴在 的時(shí)候，存在滿(mǎn)足0＜x－1＜a的x，
∴1是集合 的聚點(diǎn)
②集合 中的元素是極限為0的數(shù)列，最大值為2，即｜x－1｜≥1
對(duì)于某個(gè)a＞1，不存在0＜x－1 ，∴1不是集合 的聚點(diǎn)
③對(duì)于某個(gè)a＜1，比如a=0.5，此時(shí)對(duì)任意的x∈Z，都有x?1=0或者x?1≥1，也就是說(shuō)不可能0＜x?1＜0.5，從而1不是整數(shù)集Z的聚點(diǎn)
④ ＞0，存在0＜x－1＜0.5的數(shù)x，從而1是整數(shù)集Z的聚點(diǎn)
故選A
6. 在下列命題中, ①“ ”是“ ”的充要條件;② 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 ;③設(shè)隨機(jī)變量 ~ ,若 ,則 .其中所有正確命題的序號(hào)是（ �。�
A．② B．②③ C．③D．①③
答案：B
解析：①是充分不必要條件，故錯(cuò)誤；② ，令12－4k＝0，得，k＝3，所以，常數(shù)項(xiàng)為2，正確；③正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x＝0， ，所以， 正確；
7．已知偶函數(shù) ,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ( ).關(guān)于偶函數(shù) 的圖象G和直線(xiàn) : ( )的3個(gè)命題如下:
①當(dāng)a=4時(shí),存在直線(xiàn) 與圖象G恰有5個(gè)公共點(diǎn);
②若對(duì)于 ,直線(xiàn) 與圖象G的公共點(diǎn)不超過(guò)4個(gè),則a≤2;
③ ,使得直線(xiàn) 與圖象G交于4個(gè)點(diǎn),且相鄰點(diǎn)之間的距離相等.其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案：D
解析：因?yàn)楹瘮?shù) 和 的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，所以?xún)珊瘮?shù)的周期相同，所以 ，所以 ，當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，因此選A。
8. 已知函數(shù) ,定義函數(shù) 給出下列命題:
① ; ②函數(shù) 是奇函數(shù);③當(dāng) 時(shí),若 , ,總有 成立,其中所有正確命題的序號(hào)是（ �。�
A．②B．①②C．③D．②③
答案：D
解析：① ，所以，錯(cuò)誤；②當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，F(xiàn)（－x）＝－f（－x）＝－（ ）＝－f（x）＝F（x），為奇函數(shù)，同理可證當(dāng)x＜0時(shí)也是奇函數(shù)，正確；
③因?yàn)閚＜0，不妨設(shè)＞0，n＜0，又＋n＞0，所以，｜｜＞｜n｜，
＝ －（ ）＝ ，因?yàn)?，所以，有 ＜0，正確。
9. 一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是3的取法有（ �。�
A．12種B．15種C．17種D．19種
答案：D
解析：分三類(lèi)：第一類(lèi)，有一次取到3號(hào)球，共有 取法；第二類(lèi)，有兩次取到3號(hào)球，共有 取法；第三類(lèi)，三次都取到3號(hào)球，共有1種取法；共有19種取法。
10．若函數(shù) 滿(mǎn)足 ，且 時(shí)， ，函數(shù) ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A．6B．7C．8D．9
答案：C
解析：因?yàn)楹瘮?shù) 滿(mǎn)足 ，所以函數(shù) 是周期為2 的周期函數(shù)，又因?yàn)?時(shí)， ，所以作出函數(shù) 的圖像：
由圖知：函數(shù) －g(x)在區(qū)間 內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8個(gè)。
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）
11.設(shè)方程 的根為 ，設(shè)方程 的根為 ，則 。
答案：4
解析：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù) 與 的圖象。它們與直線(xiàn) 的交點(diǎn)為 、 ，則 。因?yàn)楹瘮?shù) 與 互為反函數(shù)，由反函數(shù)性質(zhì)知 ，所以 。
12. 數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則 ．
答案：1006
解析：
所以 ，于是 。
13．若正整數(shù) 滿(mǎn)足 ，則數(shù)組 可能是 .
答案：（3，2，2，2）
解析：不妨設(shè) ，由題易得 ，通過(guò)驗(yàn)算可得 。
14. 已知a,b均為正數(shù)且 的最大值為 ．
答案：
解析：由柯西不等式可得：
15． 函數(shù) 的定義域?yàn)?,若 且 時(shí)總有 ,則稱(chēng) 為單函數(shù).例如,函數(shù) 是單函數(shù).下列命題:①函數(shù) 是單函數(shù);②函數(shù) 是單函數(shù);③若 為單函數(shù), 且 ,則 ;④函數(shù) 在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間 上具有單調(diào)性,則 一定是單函數(shù).其中的真命題是_________(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)).
答案：③
解析：①若 ,則由 得 ,即 ,解得 ,所以①不是單函數(shù).②若 則由函數(shù)圖象可知當(dāng) ,時(shí), ,所以②不是單函數(shù).③根據(jù)單函數(shù)的定義可知,③正確.④在在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間 上具有單調(diào)性,單在整個(gè)定義域上不一定單調(diào),所以④不一定正確,比如②函數(shù).所以真命題為③.
三、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程）
16．（本小題共12分）已知函數(shù) ，其中
（1）對(duì)于函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， ，求實(shí)數(shù) 的取值集合；
（2）當(dāng) 時(shí)， 的值為負(fù)，求 的取值范圍。
17．（本小題共12分）如圖,四棱錐 的底面 是正方形,棱 底面 , ＝１, 是 的中點(diǎn)．
(1)證明平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值。
18．（本小題共12分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù) . ① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出常數(shù) ；
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
19．（本小題共12分）已知函數(shù)
(1)若 求 在 處的切線(xiàn)方程;
(2)若 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求 的取值范圍.
20．（本小題13分）如圖，過(guò)拋物線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn) 作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 、 兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。
（1）設(shè) ，證明： ；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程是 ，過(guò) 、 兩點(diǎn)的圓C與拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處有共同的切線(xiàn)，求圓C的方程。
21．（本小題14分）已知函數(shù) ( ).
(1)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng) 時(shí), 取得極值.
① 若 ,求函數(shù) 在 上的最小值;
② 求證:對(duì)任意 ,都有 .
理科數(shù)學(xué)解答題參考答案
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程）
16．解:（1）容易知道函數(shù) 是奇函數(shù)、增函數(shù)。
（2）由（1）可知：當(dāng) 時(shí)， 的值為負(fù)
且
17．證明:(1) ∵ , 是 的中點(diǎn), ∴ .
∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,
故 底面 ,
所以有 .又由題意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面
(2)取CD的中點(diǎn)F，連接AC與BD，交點(diǎn)為Ｍ，�。模偷闹悬c(diǎn)N，連接ＥＮ，ＦＮ，易知 為二面角 的平面角，又 ， ，由勾股定理得 ，在 中，
所以二面角 的余弦值為
（用空間向量做，答案正確也給６分）
18.解： (1)選擇②式計(jì)算
.
(2)猜想的三角恒等式為
.
證明：
19．解: (1)
在 處的切線(xiàn)方程為
(2)由
由 及定義域?yàn)?,令
①若 在 上, , 在 上單調(diào)遞增,
因此, 在區(qū)間 的最小值為 .
②若 在 上, , 單調(diào)遞減;在 上, , 單調(diào)遞增,因此 在區(qū)間 上的最小值為
③若 在 上, , 在 上單調(diào)遞減,
因此, 在區(qū)間 上的最小值為 .
綜上,當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), ;
當(dāng) 時(shí),
可知當(dāng) 或 時(shí), 在 上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù),不可能存在兩個(gè)零點(diǎn).
當(dāng) 時(shí),要使 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)零點(diǎn),則
∴ 即 ,此時(shí), .
所以, 的取值范圍為
20．解: (1) 由題意，可設(shè)直線(xiàn) 的方程為 ，代入拋物線(xiàn)方程 得
①
設(shè) 、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ，則 是方程①的兩根，所以
由 得 ，又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ，從而
所以
(2) 由 得 的坐標(biāo)分別為
拋物線(xiàn) 在點(diǎn)A處切線(xiàn)的斜率為3.
設(shè)圓C的方程是 ，則
解之得
故，圓C的方程是
21．解：(1)
當(dāng) 時(shí),
解 得 或 , 解 得
所以 單調(diào)增區(qū)間為 和 ,單調(diào)減區(qū)間為
(2)①當(dāng) 時(shí), 取得極值, 所以
解得 (經(jīng)檢驗(yàn) 符合題意)
+0-0+
???
所以函數(shù) 在 , 遞增,在 遞減
當(dāng) 時(shí), 在 單調(diào)遞減,
當(dāng) 時(shí)
在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增,
當(dāng) 時(shí), 在 單調(diào)遞增,
綜上, 在 上的最小值
②令 得 (舍)
因?yàn)?所以
所以,對(duì)任意 ,都有
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