§2.4.2 拋物線及其幾何性質(zhì)(2)

一、知識(shí)要點(diǎn)
1.了解拋物線過焦點(diǎn)弦的簡(jiǎn)單性質(zhì)；
2.在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化。
二、典型例題
例1.⑴設(shè) 是拋物線 上一點(diǎn)， 為焦點(diǎn)，求 的長(zhǎng)；
⑵已知 是過拋物線 的焦點(diǎn) 的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證： 。

例2.已知定點(diǎn) ，拋物線 上的動(dòng)點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 ，求 的最小值，并確定取最小值時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3.設(shè)過拋物線 的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，求證： 。

例4.已知直線 為拋物線 相交于點(diǎn) ，求證： 。

三、鞏固練習(xí)
1.已知?jiǎng)訄A 的圓心在拋物線 上，且與拋物線的準(zhǔn)線相切，求證：圓 必經(jīng)過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)。

2.若直線 過拋物線 的焦點(diǎn)，與拋物線交于 兩點(diǎn)，且線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，求線段 的長(zhǎng)。

3.已知拋物線的焦點(diǎn)在 軸上，點(diǎn) 是拋物線上的一點(diǎn)， 到焦點(diǎn)的距離是5，求 的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程。

四、小結(jié)

五、后作業(yè)
1.焦點(diǎn)為 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ；
2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的拋物線上有一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為5，則 = ；
3.已知拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是 ；
4.已知拋物線 的弦 垂直于 軸，若 ，則焦點(diǎn)到直線 的距離為 ；
5.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)，與拋物線相交于 ，求線段 的長(zhǎng)。

6.已知 是拋物線 上三點(diǎn)，且它們到焦點(diǎn) 的距離 成等差數(shù)列，求證： 。

7.直角三角形 的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 上，其中直角頂點(diǎn) 為原點(diǎn)， 所在直線的方程為 ， 的面積為 ，求該拋物線的方程。

8. 是拋物線 上兩點(diǎn)，且滿足 ，其中 為拋物線頂點(diǎn)，
求證：⑴ 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值；⑵直線 恒過一定點(diǎn)。

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