實數(shù)的概念及性質(zhì)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 八年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第六講 實數(shù)的概念及性質(zhì)
數(shù)是隨著客觀實際與社會實踐的需要而不斷擴充的.
從有理數(shù)到無理數(shù),經(jīng)歷過漫長曲折的過程,是一個巨大的飛躍,由于引入無理數(shù)后,數(shù)域就由有理數(shù)域擴充到實數(shù)域,這樣,實數(shù)與數(shù)軸上的點就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.
由于引入開方運算,完善了代數(shù)的運算.平方根、立方根的概念和性質(zhì),是學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程等知識的基礎(chǔ).平方根、立方根是最簡單的方根,建立概念的方法,以及它們的性質(zhì)是進一步學(xué)習(xí)偶次方根、奇次方根的基礎(chǔ).
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù),實數(shù)有下列重要性質(zhì):
1.有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式,都可以表示成分數(shù) 的形式;無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),不能寫成分數(shù) 的形式,這里 、 是互質(zhì)的整數(shù),且 .
2.有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的,即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù);無理數(shù)對四則運算不具有封閉性,即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).
例題求解
【例1】若a、b滿足 3=7,則S= 的取值范圍是 .
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點撥 運用 、 的非負性,建立關(guān)于S的不等式組.
注: 古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派認為,宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.但是該學(xué)派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù),也不是整數(shù)的比所能表示,這嚴重地沖擊了當時希臘人的傳統(tǒng)見解,這一事件在數(shù)學(xué)史上稱為第一次數(shù)學(xué)危機.希伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒有被畢達哥拉斯學(xué)派的信徒所接受,相傳畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死.
【例2】 設(shè) 是一個無理數(shù),且a、b滿足ab-a-b+1=0,則b是一個( )
A.小于0的 有理數(shù) B.大于0的有理數(shù) C.小于0的無理數(shù) D.大于0的無理數(shù)
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥 對等式進行恰當?shù)淖冃,建立a或b的關(guān)系式.
【例3】已知a 、b是有理數(shù),且 ,求a、b的值.
思路點拔 把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分,運 用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組.
【例4】(1) 已知a、b為有理數(shù),x,y分別表示 的整數(shù)部分和小數(shù)部分,且滿足axy+by2=1,求a+b的值. (南昌市競賽題)
(2)設(shè)x為一實數(shù),表示不大于x的最大整數(shù),求滿足=x+1的整數(shù)x的值.(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)運用估算的方法,先確 定x,y的值,再代入xy+by2=1中求出a、b的值;(2)運用的性質(zhì),簡化方程.
注: 設(shè)x為一實數(shù),則表示不大于x的最大整數(shù),]又叫做實數(shù)x的整數(shù)部分,有以下基本性質(zhì):
(1)x-1<≤x (2)若y< x,則≤ (3)若x為實數(shù),a為整數(shù),則= + a.

【例5】 已知在等式 中,a、b、c、d都是有理數(shù),x是無理數(shù),解答:
(1)當a、b、c、d滿足什么條件時,s是有理數(shù);
(2) 當a、b、c、d滿足什么條件時,s是無理數(shù).
( “希望杯” 邀請賽試題)
思路點撥 (1)把s用只含a、b、c、d的代數(shù)式表示;(2)從以下基本性質(zhì)思考:
設(shè)a 是有理數(shù),r是無理數(shù),那么①a+r是無理數(shù);②若a ≠0,則a r也是無理數(shù);③
r的倒數(shù) 也是無理數(shù),解本例的關(guān)鍵之一還需運用分式的性質(zhì),對a、b、c、d取值進 行詳細討論.
注:要證一個數(shù)是有理數(shù),常證這個數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和,差,積、商的形式;要證一個數(shù)是無理數(shù),常用反證法,即假設(shè)這個數(shù)是有理數(shù),設(shè)法推出矛盾.

學(xué)力訓(xùn)練
1.已知x、y是實數(shù), ,若 ,則a= .
(2002年個數(shù)的平方根是 和 ,那么這個數(shù)是 .
3.方程 的解是 .
4.請你觀察思考下列計算過 程:∵112=121,∴ ;同樣∵1112=12321,∴ ;…由此猜想 .
(濟南市中考題)
5.如圖,數(shù)軸上表示1、 的對應(yīng)點分別為A、B,點B關(guān)于點A的對稱點為C,則點C所表示的數(shù)是( )
A. B. C. D.
(江西省中考題)
6.已知x是實數(shù), 則 的值是( )
A. B. C. D.無法確定的
( “希望杯”邀請賽試題)
7.代數(shù)式 的最小值是( )
A.0 B. C.1 D.不存在的
( “希望杯”邀請賽試題)
8.若實數(shù)a、b滿足 ,求2b+a-1的值.
(山西省中考題)

9.細心觀察圖形,認真分析各式,然后解答問題.
, ; , ; , ;…
(1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;
(2)推算出OA10的長;
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值. (煙臺市中考題)
10.已知實數(shù) a、b、c滿足 ,則a(b+c)= .
11.設(shè)x、y都是有理數(shù),且滿足方程 ,那么x-y的值是 .
( “希望杯’邀請賽試題)
12.設(shè)a是一個無理數(shù),且a、b滿足ab+a-b=1,則b= .
(四川省競賽題)
13.已知正數(shù)a、b有下列命題:
①若a=1,b=1,則 ; ②若 ,則 ;
③若a=2,b=3,則 ; ④若a=1,b=5,則 .
根據(jù)以上幾個命題所提供的信息,請猜想,若a=6,b=7,則 .
(黃 岡市競賽題)
14.已知: ,那么代數(shù)式 的值為( )
A. B. C. D.
(重慶市競賽題)
15.設(shè)表示最接近x的整數(shù)(x≠n+0.5,n為整數(shù)) , 則+++…+的值為( )
A.5151 B.5150 C.5050 D.5049
( “五羊杯”邀請賽試題)
16.設(shè)a A. B. C. D.3
(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
17.若a、b、c為兩兩不等的有理數(shù),求證: 為有理數(shù).
18.某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質(zhì)量,當把鐵塊放在天平左盤中時,稱得它的質(zhì)量為300克,當把鐵塊放在天平的右盤中時,稱得它的質(zhì)量為900克,求這一鐵塊的實際質(zhì)量.
(安徽省中考題).
19.閱讀下面,并解答下列問題:
在形如ab=N的式于中,我們已經(jīng)研究過兩種情況:
①已知a和b,求N,這是乘方運算,②已知b和N,求a,這是開方運算.
現(xiàn)在我們研究第三種情況;已知a和N,求b,我們把這種運算叫做對數(shù)運算.
定義:如果ab=N (a>0,a≠1,N>0),則b叫做以a為底的N的對數(shù),記作b=logaN.
例如:因為23=8,所以log28=3;因為2-3= ,所以log2 =-3.
(1)根據(jù)定義計算:
①log3 81= ;②log33= ;③log3l= ;④如果logx 16=4,那么x= .
(2)設(shè)ax=M,ay=N,則logaM=x;logaN=y(tǒng)(a>0,a≠1,N>0,M,N均為正數(shù)).
用logAM,logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)oga ,并說明理由.
(泰州市中考題)
20.設(shè) ,a、b、c、d都是有理數(shù),x是無理數(shù).求證:
(1)當bc=ad時,y是有理數(shù);
(2)當bc≠ad時,y是無理數(shù).

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