第二章小結(jié)與復習
(一)目標
1.知識與技能
掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念和性質(zhì).對復合函數(shù)、抽象函數(shù)有一個新的認識.
2.過程與方法
歸納、總結(jié)、提高.
3.情感、態(tài)度、價值觀
培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和交流的能力及分類討論、抽象理解能力.
(二)重點、難點
重點:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用.
難點:分類討論的標準、抽象函數(shù)的理解.
(三)教學方法
講授法、討論法.
(四)教學過程
教學
環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖
復習
引入(多媒體投影)
1.本章知識結(jié)構(gòu)
2.方法總結(jié)
學生總結(jié),老師完善.
師:請同學們總結(jié)本章知識結(jié)構(gòu).
生:(1)指數(shù)式和對數(shù)式:①整數(shù)指數(shù)冪;②方根和根式的概念;③分數(shù)指數(shù)冪;④有理指數(shù)冪的運算性質(zhì);⑤無理數(shù)指數(shù)冪;⑥對數(shù)概念;⑦對數(shù)的運算性質(zhì);⑧指數(shù)式與對數(shù)式的互化關系.
(2)指數(shù)函數(shù):①指數(shù)函數(shù)的概念;②指數(shù)函數(shù)的定義域、值域;③指數(shù)函數(shù)的圖象(恒過定點(0,1),分a>1,0<a<1兩種情況);④不同底的指數(shù)函數(shù)圖象的比較;⑤指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(分a>1,0<a<1兩種情況);⑥圖象和性質(zhì)的應用.
(3)對數(shù)函數(shù):①對數(shù)函數(shù)的概念;②對數(shù)函數(shù)的定義域、值域;③對數(shù)函數(shù)的圖象(恒過定點(0,1),分a>1和0<a<1兩種情況);④不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的比較;
⑤對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(分a>1,0<a<1兩種情況);⑥圖象和性質(zhì)的應用;⑦反函數(shù)的有關知識.
(4)冪函數(shù):①冪函數(shù)的概念;②冪函數(shù)的定義域、值域(要結(jié)合指數(shù)來講);③冪函數(shù)的圖象(過定點情況,圖象要結(jié)合指數(shù)來講);④冪函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性等,同樣要結(jié)合指數(shù));⑥圖象和性質(zhì)的應用.
師:請同學們歸納本章解題方法.
生:(1)函數(shù)的定義域的求法:列出使函數(shù)有意義的自變量的不等關系式,求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為:①分母不為0;②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義等.
(2)函數(shù)值域的求法:①配方法(二次或四次);②判別式法;③反函數(shù)法;④換元法;⑤函數(shù)的單調(diào)性法.
(3)單調(diào)性的判定法:①設x1、x2是所研究區(qū)間內(nèi)的任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較.
(注:做有關選擇、填空題時,可采用復合函數(shù)單調(diào)性判定法,做解答題時必須用單調(diào)性定義和基本函數(shù)的單調(diào)性)
(4)圖象的作法與平移:①據(jù)函數(shù)表達式,列表、描點、連光滑曲線;②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn);③利用函數(shù)圖象的對稱性或互為反函數(shù)圖象的對稱描繪函數(shù)圖象.
(5)常用函數(shù)的研究、總結(jié)與推廣:
①研究函數(shù)y= (ax±a-x)(a>0,且a≠1)的定義域、值域、單調(diào)性、反函數(shù);
②研究函數(shù)y=loga( ±x)(a>0,且a≠1)的定義域、單調(diào)性、反函數(shù).
(6)抽象函數(shù)〔即不給出f(x)的解析式,只知道f(x)具備的條件〕的研究.
①若f(a+x)=f(a-x),則f(x)關于直線x=a對稱.
②若對任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)可與指數(shù)函數(shù)類比.
③若對任意的x、y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),則f(x)可與對數(shù)函數(shù)類比.
對本章知識、方法形成體系.
應用
舉例例1 設a>0,x= (a -a ),
求(x+ )n的值.
例2 已知函數(shù)f(x)= (m>0,且m≠1).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
【例3】 己知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),求函數(shù)g(x)=f 2(x)+f(x2)的最大值和最小值.
【例4】 求函數(shù)y=loga(x-x2)(a>0,a≠1)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.
【例5】 設x≥0,y≥0,且x+2y=1,求函數(shù)y=log (8xy+4y2+1)的值域.
例6 函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].
(1)若f(x)的定義域為(-∞,+∞),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)的值域為(-∞,+∞),求實數(shù)a的取值范圍.
例1解:1+x2=1+ (a -2+a )
= (a )+2+a )
=[ (a +a )]2.
∵a>0,∴a >0,a >0.
∴a +a >0.
∴x+ =x+ (a +a )= (a -a )+ (a +a )=a .
∴(x+ )n=a.
小結(jié):本題考查了分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),技巧是把根號大的式子化成完全平方的形式.
例2解:(1)∵mx>0,mx+1≠0恒成立,
∴函數(shù)的定義域為R.
∵y= ,∴mx= >0.
∴-1<y<1.
∴函數(shù)f(x)的值域為(-1,1).
(2)∵函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱,
又∵f(-x)= =
=-f(x),
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
(3)任取x1<x2,
則f(x1)-f(x2)= - = .
∵m +1>0,m +1>0,
∴當m>1時,m -m <0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);
當0<m<1時,m -m >0,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
綜上,當m>1時,函數(shù)f(x)為增函數(shù);
當0<m<1時,函數(shù)f(x)為減函數(shù).
小結(jié):求值域用了反表示法,函數(shù)表達式中有指數(shù)式mx,它具有大于0的范圍,注意反表示法求值域這類題型的特征.函數(shù)的單調(diào)性要注意分類討論.
例3解:∵f(x)的定義域為
[1,4],
∴g(x)的定義域為[1,2].
∵g(x)=f 2(x)+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=(log2x+2)2-2,
又1≤x≤2,∴0≤log2x≤1,
∴當x=1時,g(x)min=2;
當x=2時,g(x)max=7.
小結(jié):這是一道易錯題,首先要考慮定義域是本題防錯的關鍵.其實研究函數(shù)問題考慮定義域應該成為一種習慣.
例4解:(1)定義域:由x-x2>0,得0<x<1,
∴定義域為(0,1).
(2)∵0<x-x2=-(x- )2+ ≤ ,
∴當0<a<1時,
loga(x-x2)≥loga ,
函數(shù)的值域為[loga ,+∞);
當a>1時,loga(x-x2)≤loga ,函數(shù)的值域為(-∞,loga ].
(3)令u=x-x2,在區(qū)間(0,1)內(nèi),u=x-x2在(0, ]上遞增,在[ ,1)上遞減.
∴當0<a<1時,函數(shù)在(0, ]上是減函數(shù),在[ ,1)上是增函數(shù);
當a>1時,函數(shù)在(0, ]上是增函數(shù),在[ ,1)上是減函數(shù).
小結(jié):復合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性的研究通常由里向外,本題討論的分界線是對數(shù)的底.
例5解:∵x+2y=1,
∴x=1-2y≥0.
又y≥0,∴0≤y≤ .
∴8xy+4y2+1=8(1-2y)y+4y2+1=-12y2+8y+1.
∵0≤y≤ ,∴1≤-12y2+8y+1=-12(y- )2+ ≤ .
∴l(xiāng)og ≤log (8xy+4y2+1)≤log 1=0.
∴函數(shù)的值域為[log ,0].
小結(jié):本題的易錯點是代換時沒有注意到通過x求出y的范圍.所以我們在代換時要注意等價代換,即考慮到字母的取值范圍.
例6解:(1)∵f(x)的定義域為(-∞,+∞),
∴(a2-1)x2+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立.
當a2-1≠0時,
即
∴a<-1或a> .
當a2-1=0時,若a=-1,則f(x)=0,定義域也是(-∞,+∞);
若a=1,則f(x)=lg(2x+1),定義域不是(-∞,+∞).
故所求a的取值范圍是(-∞,-1]∪( ,+∞).
(2)∵f(x)的值域為(-∞,+∞),
∴只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)內(nèi)的任何一個值.
∴
即
∴1<a≤ .
又當a2-1=0時,若a=1,則f(x)=lg(2x+1),其值域也是(-∞,+∞);
若a=-1,則f(x)=0,不合題意.
∴所求a的取值范圍是[1, ].
小結(jié):本題考查了換元轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,理解對數(shù)函數(shù)概念,特別是把握定義域、值域的含義是解題的關鍵.特別是(2)中,f(x)的值域是R的含義是真數(shù)部分即t=(a-1)x2+(a+1)x+1在x取值時需取滿足(0,+∞)的每一個值,否則f(x)的值域就不是R,這就要求t關于x的二次函數(shù)不能有比零大的最小值.因此Δ≥0,這時要注意f(x)的定義域不是R的集合了,而是(-∞,x1)∪(x2,+∞),其中x1、x2分別為相應二次方程的小根、大根.
進一步掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念和性質(zhì)等知識.
培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和交流的能力及分類討論、抽象理解能力.
歸納
總結(jié)1.我們從正整數(shù)指數(shù)冪出發(fā),經(jīng)過推廣得到了有理數(shù)指數(shù)冪,又由“有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想,認識了實數(shù)指數(shù)冪.這個過程體現(xiàn)了數(shù)學概念推廣的基本思想.有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是從正整數(shù)指數(shù)冪推廣得到的.從對數(shù)與指數(shù)的相互聯(lián)系出發(fā),根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),我們推出了對數(shù)運算性質(zhì).
2.函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型,不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型描述.本章學習的三種不同類型的函數(shù)模型,刻畫了客觀世界中三類具有不同變化規(guī)律,因而具有不同對應關系的變化現(xiàn)象.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是描述客觀世界中許多事物發(fā)展變化的三類重要的函數(shù)模型,這三類函數(shù)的圖象和性質(zhì)是我們解決相關問題的重要工具.
3.研究函數(shù)時,函數(shù)圖象的作用要充分重視.另外,計算器或計算機可以幫助我們方便地作出函數(shù)圖象,并可以動態(tài)地演示函數(shù)的變化過程,這對我們研究函數(shù)性質(zhì)很有幫助.
學生先自回顧反思,教師點評完善.形成知識體系.
課后
作業(yè)作業(yè):小結(jié)與復習 習案學生獨立完成鞏固新知
提升能力
備選例題
例1 已知f (x) = lgx,則y = f (1 ? x)的圖象是下圖中的( A )
【解析】方法一:y = f (1 ? x) = lg(1 ? x),顯然x≠1,故排除B、D;又因為當x = 0時,y = 0,故排除C.
方法二:從圖象變換得結(jié)果:
y = lg(?x)
y = lg[? (x?1)] y = lg(1 ? x).
【小結(jié)】(1)y = lgx變成y = lg (1 ? x)過程不會變換,不知道關于什么軸對稱導致誤解.
(2)解決有關圖象的選擇問題,方法比較靈活,可用特值排除法,也可直接求解,但一定要注意圖象的特點,對于圖象的對稱、平移問題一定要注意對稱軸是什么. 平移是左移還是右移,移動的單位是多少,這是移動的關鍵.
例2 設a>0,a≠1,t>0,比較 與 的大小,并證明你的結(jié)論.
【解析】∵t>0,∴可比較 與 的大小,
即比較 與 的大小.
∵當t = 1時, ,∴ .
當t≠1時,
∵ = >0,
∴t + 1> ,∴ > .
∴當0<a<1時, > ,
即 > .
當a>1時, < ,
即 < .
綜上知:當t = 1時, ;
當t>0且t≠1時,若0<a<1,
有 > ;
若a>1,則有 < .
【小結(jié)】解決此類比較大小的題目,要注意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,作差比較一定要判斷差值與0的大小,從而作出大小的比較,注意分類討論的思想應用,本題中的t +1和 的比較. 可由t + 1 ? 2 ≥0,所以t + 1≥ (t=1時取等號),從而得出0< ≤1和 ≥ .
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