方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高一 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


§3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù),從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系;
2. 掌握零點(diǎn)存在的判定定理.
舊知提示(預(yù)習(xí)教材P86~ P88,找出疑惑之處)
復(fù)習(xí)1:一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.
判別式 = .
當(dāng) 0,方程有兩根,為 ;當(dāng) 0,方程有一根,為 ;當(dāng) 0,方程無實(shí)根.
復(fù)習(xí)2:方程 +bx+c=0 (a 0)的根與二次函數(shù)y=ax +bx+c (a 0)的圖象之間有什么關(guān)系?
判別式一元二次方程二次函數(shù)圖象


合作探究
探究1:① 方程 的解為 ,函數(shù) 的圖象與x軸有 個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)為 .
② 方程 的解為 ,函數(shù) 的圖象與x軸有 個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)為 .
③ 方程 的解為 ,函數(shù) 的圖象與x軸有 個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)為 .
根據(jù)以上結(jié)論,可以得到:
一元二次方程 的根就是相應(yīng)二次函數(shù) 的圖象與x軸交點(diǎn)的 . 你能將結(jié)論進(jìn)一步推廣到 嗎?
新知:函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系

反思:函數(shù) 的零點(diǎn)、方程 的實(shí)數(shù)根、函數(shù) 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),三者有什么關(guān)系?

試試:(1)函數(shù) 的零點(diǎn)為 ;(2)函數(shù) 的零點(diǎn)為 .
小結(jié):方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn).
探究2:① 作出 的圖象,求 的值,觀察 和 的符號(hào)

② 觀察下面函數(shù) 的圖象,
在區(qū)間 上 零點(diǎn); 0;
在區(qū)間 上 零點(diǎn); 0;
在區(qū)間 上 零點(diǎn); 0.
新知:零點(diǎn)存在性定理

討論:零點(diǎn)個(gè)數(shù)一定是一個(gè)嗎? 逆定理成立嗎?試結(jié)合圖形分析.

典型例題
例1求函數(shù) 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

小結(jié):函數(shù)零點(diǎn)的求法.
① 代數(shù)法:求方程 的實(shí)數(shù)根;
② 幾何法:對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).
堂小結(jié)
①零點(diǎn)概念;②零點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)、方程的根的關(guān)系;③零點(diǎn)存在性定理
知識(shí)拓展
圖象連續(xù)的函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì):
(1)函數(shù)的圖象是連續(xù)的,當(dāng)它通過零點(diǎn)時(shí)(非偶次零點(diǎn)),函數(shù)值變號(hào).
推論:函數(shù)在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)的,且 ,那么函數(shù) 在區(qū)間 上至少有一個(gè)零點(diǎn).
(2)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值保持同號(hào).
學(xué)習(xí)評價(jià)
1. 函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函數(shù) 在 上連續(xù),且有 .則函數(shù) 在 上( ).
A. 一定沒有零點(diǎn) B. 至少有一個(gè)零點(diǎn)
C. 只有一個(gè)零點(diǎn) D. 零點(diǎn)情況不確定
3. 函數(shù) 的零點(diǎn)所在區(qū)間為( ).
A. B. C. D.
4. 函數(shù) 的零點(diǎn)為 , 的零點(diǎn)為 , 的零點(diǎn)為 .
5. 若函數(shù) 為定義域是R的奇函數(shù),且 在 上有一個(gè)零點(diǎn).則 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
6. 已知二次方程 的兩個(gè)根分別屬于(-1,0)和(0,2),求 的取值范圍.

外作業(yè)
1.下列函數(shù)中在區(qū)間 [1,2]上有零點(diǎn)的是(  )
A.f(x)=3x2-4x+5   B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6
2.函數(shù)f(x)=lgx-9x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(  )
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
3.若函數(shù)f(x)=ax+b的零點(diǎn)是2,則函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點(diǎn)是(  )
A.0,2 B.0,12 C.0,-12 D.2,-12
4.函數(shù)f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.二次函數(shù) 中, ,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.無法確定
6.有下列四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的定義域是(1,+∞)
②若冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則該函數(shù)為偶函數(shù)
③函數(shù)y=5x的值域是(0,+∞)
④函數(shù)f(x)=x+2x在(-1,0)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知關(guān)于x的不等式ax-1x+1<0的解集是(-∞,-1)∪-12,+∞.則a=________.
8. 二次函數(shù) 有一個(gè)零點(diǎn)大于1,一個(gè)零點(diǎn)小于1,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
9. 已知函數(shù) .
(1) 為何值時(shí),函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)若函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè),求 值.

10.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點(diǎn)是-2和3,當(dāng)x∈(-2,3)時(shí),f(x)<0,且f(-6)=36,求二次函數(shù)的解析式.




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