高二期末數(shù)學(xué)試題[1]

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

高二數(shù)學(xué)試題(理科)

(考試時(shí)間:120分鐘 總分:160分)

命題人:朱占奎 張圣官 展國(guó)培 張敏

審題人:丁鳳桂 石志群

注意事項(xiàng):所有試題的答案均填寫(xiě)在答題紙上,答案寫(xiě)在試卷上的無(wú)效. 參考公式:數(shù)學(xué)期望:E(x)?

方差:V(x)??[x?E(x)]?xp,

ii

i

i?1

i?1

n

n

2

pi??xi2pi?[E(x)]2

i?1

n

一、填空題:(本大題共14小題,每小題5分,共70分.請(qǐng)將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上.)

1.復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z?1?i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 2.命題“?x?R,使得2sinx?1成立”的否定是.

23.已知?1?2x??a0?a1x?a2x?

10

?a10x10,則a0?a1?a2?a3??a01?


4.寫(xiě)出命題“若abc?0,則b?0”的逆否命題:.

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,則甲、乙相鄰的不同排法種數(shù)是.(用數(shù)字作答)

6.若復(fù)數(shù)z滿足z?1?i?1,則復(fù)數(shù)z的模的最大值是.

7.命題:若x12?y12?1,則過(guò)點(diǎn)?x1,y1?的直線與圓x?y?1有兩個(gè)公共點(diǎn).將此命題

2

2

類比到橢圓x?2y?1中,得到一個(gè)正確命題是 ▲ .

8.某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8,現(xiàn)連續(xù)射擊10次,設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X, 則E?X?= ▲ .

9.已知:1?1;1?2??1;1?2?3?2;1?2?3?4??2;1?2?3?4?5?3;請(qǐng)寫(xiě)出第100個(gè)等式: ▲ .

,按此規(guī)律

22

2?i201810.已知復(fù)數(shù)z1??1?i??2i?1?和復(fù)數(shù)z2?m?,當(dāng)m為 ▲ 時(shí),z1?z2.

1?i

x?13

11.已知4C17,則x?. ?17C16

11111n?1

12.在用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切大于2的正整數(shù)n,?????n?”

246824

的過(guò)程中,從n?k到n?k?1時(shí),左邊增加的項(xiàng)數(shù)為 ▲ .

13.學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手,

其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手,女生乙不適合擔(dān)任四辯手.現(xiàn)要求:如果男生甲入選,

則女生乙必須入選.那么不同的組隊(duì)形式有 ▲ 種.(用數(shù)字作答)

nn?1n?2

14.已知?x?a??m1x?m2x?m3x?

n

?mnx?mn?1,其中n?N*,a為常數(shù).則

下列所有正確命題的序號(hào)是 ▲ . ⑴“m1,m2,m3,

; ,mn?1中存在負(fù)數(shù)”的一個(gè)充分條件是“a??1”

⑵若n?5,則“1?a?2”是“m4為m1,m2,m3,條件;

,m6中最大的一個(gè)”的必要不充分

⑶若n?5,則“不等式m1?m2,m2?m3,m3?m4,m4?m5,m5?m6中恰有3個(gè)成立”的充要條件是“1?a?2”;

⑷若a?0,則“n是4的倍數(shù)”是“m1?m2?m3

mn?1?0”的充分不必要條件.

二、解答題:(本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.)

15.(本題滿分14分) 已知圓C:x?y?1在矩陣M??⑴求曲線C1的方程;

⑵求逆矩陣M;

⑶求矩陣M的特征值和特征向量. 16.(本題滿分14分) 已知直線l過(guò)點(diǎn)P?4,0?,且傾斜角為⑴求直線l的極坐標(biāo)方程;

?1

22

?20?

?所對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)榍C1. 01??

. 4

12?x?t??8

⑵求直線l被曲線C:?(t為參數(shù))截得的弦長(zhǎng).

?y?1t??2

17.(本題滿分14分)

一個(gè)盒子內(nèi)裝有形狀和大小完全相同的3個(gè)紅球和n個(gè)白球,事件“從中取出兩個(gè)球,恰好有一個(gè)紅球”發(fā)生的概率為p. ⑴若p?

4, 7

①求從盒子內(nèi)取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率;

②設(shè)X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望E?X?和方差V?X?. ⑵求證:p?

3; 5

P>18.(本題滿分16分)

a2

和g?x??x?2ax?2. x

⑴命題p:?x??2,???,f?x??2恒成立;命題q:函數(shù)g?x?在?2,???上單調(diào)遞增.若p和q都是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

已知函數(shù)f?x??x?⑵設(shè)F?x???

??f?x?,x?2

,若對(duì)?x1??2,???,總存在x2????,2?,使得

??g?x?,x?2

F?xF?2?x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 1??


19.(本題滿分16分) 設(shè)集合A,An,1,A2,A3,

中元素的個(gè)數(shù)分別為1,2,3,,n,

.現(xiàn)從集合

An,An?1,An?2,An?3中各取一個(gè)元素,記不同取法種數(shù)為f(n). ⑴求f(1);

⑵是否存在常數(shù)a,b,使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)對(duì)任

*

意n?N總成立?若存在,請(qǐng)求出a,b的值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理

由. 20.(本題滿分16分)

已知等差數(shù)列{an}的公差為d,且(a1x?d)5的展開(kāi)式中x與x的系數(shù)之比為2. a3?5,⑴求(a1x?a2)6的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng); ⑵設(shè)[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?

2

3

?b2n(x?2)2n,n?N*,求

a1b1?a2b2??a2nb2n;

an?1

⑶當(dāng)n?2時(shí),求證:(an?1)

?11?16n?8n4.

2018~2018學(xué)年度第二學(xué)期期末聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案

1.四 2.?x?R,2sinx?1總成立 3.1 4.若b?0,則abc?0

1

2222

7.若x1?2y1?1,則過(guò)點(diǎn)?x1,y1?的直線與橢圓x?2y?1有兩個(gè)公共點(diǎn) 8.8 9.1?2?3?4??99?100??50

k?1

10.?4 11.5或14 12.2 13.930 14.⑴⑶⑷

?,y0?),則 15.解:⑴設(shè)P(x0,y0)為圓C上的任意一點(diǎn),在伸壓變換下變?yōu)榱硪稽c(diǎn)P?(x0

5.12 6.


???20??x0??x0

?y????01??y?,

??0??0??x????2x0?x0?x0?0

即?,所以,?2

??y0?y0???y0?y0

?2x0

?2?1. ?y0又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線x?y?1上,所以x?y?1,故有4x222

?y2?1.…………4分 即圓C:x?y?1在矩陣M對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)闄E圓:4

?xy??20??xy??10?

⑵設(shè)矩陣M的逆矩陣為??,則?01??zw???01?,

zw????????

1?x??2

?2x2y??10??y?0即? ???01?,故?zw?????z?0

?

?w?1?1?

0?1

?. …………8分 從而所求的逆矩陣M??2?01???

??20

⑶矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(?)??(??2)(??1),

0??1

令f(?)?0,解得矩陣M的特征值?1?2,?2?1. …………10分

?(??2)x?0?y?0

將?1?2代入二元一次方程組?

?0?x?(??1)y?0

解得y?0,x可以為任何非零實(shí)數(shù),不妨記x?k,k?R,且k?0.

?1?

于是,矩陣M的屬于特征值2的一個(gè)特征向量為??. …………12分

?0?

?(??2)x?0?y?0

將?2?1代入二元一次方程組?

?0?x?(??1)y?0

解得x?0,y可以為任何非零實(shí)數(shù),不妨記y?m,m?R,且m?0.

?0?

于是,矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為??.

?1?

?1??20?

??2??1因此,矩陣M??的特征值為,,分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量是,12???

?0??01?

2

2

2

020

P>

?0?

?1?. …………14分 ??

16.解:⑴設(shè)直線l上任意一點(diǎn)為Q(?,?), 如圖,在?POQ中,由正弦定理得

OQOP

?

sin?OPQsin?OQP

3?4??)?22.,即?sin(34sin??;3???)?22.…………7分所以,直線的極坐標(biāo);12⑵應(yīng)用代入消元法,得x?(2y),8;因此所求的普通方程是y2?2x,它表示的曲線是拋;直線l的普通標(biāo)方程是x?y?4;設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)記作A(x1,y1),B(x;?x?y?4?y1?2?y2??4;AB?(8?2)2?(?4?2)2?62;所以,直

--------------------------------------------------------------------------------

3?4??)?22. ,即?sin(34sin??)44

3???)?22. …………7分 所以,直線的極坐標(biāo)方程是?sin(4

12⑵應(yīng)用代入消元法,得x?(2y), 8

因此所求的普通方程是y2?2x,它表示的曲線是拋物線.

直線l的普通標(biāo)方程是x?y?4

設(shè)直線l與曲線的交點(diǎn)記作A(x1,y1),B(x2,y2), 于是???y2?2x?x1?2?x2?8聯(lián)立成方程組,得?,?或?,

?x?y?4?y1?2?y2??4

AB?(8?2)2?(?4?2)2?62

所以,直線l被曲線截得的弦長(zhǎng)為62. …………14分

17.解⑴記“從中取出兩個(gè)球,恰好有一個(gè)紅球”為事件A

113C3C6n4P(A)?2n?2?,(n?4)(2n?3)?0,解得n?4或n?(舍) 2Cn?3n?5n?67

故n?4. …………2分

①事件“從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”是事件“從盒子中取出3個(gè)球都是白球”的對(duì)立事件,記“從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”為事件B,則記“從盒子中取出3個(gè)球都是白球”為B.

3C44P(B)?3?, C735

31. 35

31答:從盒子中取出3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率為. …………6分 35

②用隨機(jī)變量X為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),則X服從超幾何分布H(4,3,7). 隨機(jī)變量X的可能值有4種,它的取值集合是?0,1,2,3?. 根據(jù)對(duì)立事件的概率公式P(B)?1?P(B),得P(B)?

4C41 P(X?0)?4?C735

13C3C412P(X?1)?? 435C7

2C32C418 P(X?2)??435C7

6

31C3C44 P(X?3)??435C7

隨機(jī)變量X

1?1??2??3???. 從而E(X)?0?35353535357

n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1

2414424???. 49749

1224答:隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為,方差為 …………10分 749

11C3Cn3n6n6???⑵證法一:P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n

63?記f(n)?n?,n?N當(dāng)n=2或3時(shí)取最小值為5,P?. …………14分 n5

證法二:反證法. 36n3?,即n2?5n?6?0,解得2?n?3 ,即25n?5n?65

33*因?yàn)閚?N,所以不存在正整數(shù)n,滿足P?.因此,P?. …………14分 55假設(shè)P?


18.⑴命題p:不等式x?

2a?2在?2,???上恒成立, x即a??x?2x在?2,???上恒成立,

即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立, 2

即a?0. …………2分 命題q:函數(shù)g?x??x?2ax?2在?2,???上單調(diào)遞增 2

即a?2.

若p和q都是真命題,則0?a?2.

所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍是?0,2?. …………4分

a在x??2,???上的值域記作集合M, x

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域記作集合N,

由題意可得,M?N. ⑵f(x)?x?

7

(?)當(dāng)a?0時(shí),滿足M?N, …………5分 (?)當(dāng)a?0或0?a?2時(shí),x??2,???f?

(x)?0, a在x??2,???上單調(diào)遞增, x

?a?集合M???2,???, ?2?

g?x??x2?2ax?2在???,a?上單調(diào)遞減,在?a,2?上單調(diào)遞增, 則f(x)?x?

集合N??a2?2,??, ??

a1?2,即a?0或a?? 22

1又a?0或0?a?2,所以a??或0?a?2. …………8分 2

(?)當(dāng)2?a?4時(shí),x??2,???時(shí)f?(x)?0, a?a?則f(x)?x?在x??2,???上單調(diào)遞增,集合M???2,???, x?2?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減,集合N??6?4a,???, 因?yàn)镸?N,所以?a?2?2

4??2?a?a因?yàn)镸?N,所以?即2?a?4. …………12分 6?4a??2?2?

(?)當(dāng)a

?4時(shí),x??時(shí)f

?(x)?0,x???時(shí)f?(x)?0 ??

則f

(x)的單調(diào)減區(qū)間是?,單調(diào)增區(qū)間是??,集合M????, ?

?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減,集合N??6?4a,???, ??

因?yàn)镸?N,所以?

綜上,a??a?4?即a?4. ?6?4a?2a1或a?0. …………16分 2


19.解:⑴從A1中取一個(gè)元素,有1種取法;從A2中取一個(gè)元素,有2種取法,依次類推,不同取法種數(shù)為4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)

1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

①當(dāng)n?1時(shí),左邊?f(1)?24,右邊?1534?3?3??3?24 55

8

左邊?右邊,所以當(dāng)n?1時(shí)命題成立; …………9分 ②假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)命題成立,即

14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2), 55

則當(dāng)n?k?1時(shí),f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)

14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55

1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5

1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5

1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555

1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

從而當(dāng)n?k?1時(shí),命題也成立. f(1)?f(2)?

綜上可知,原命題成立. …………16分

323220.解:(a1x?d)5的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C5a1dx?10a12d3x2,含x的項(xiàng)為23

10a12d3d??2,得d?2a1,又a1?2d?5, Cadx?10adx,所以3210a1da12351233123

解得a1?1,d?2,所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3,(a1x?a2)6?(x?3)6,

則(x?3)的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4?C6x(?3)??540x;…………6分 ⑵a1?1,a3?5,則[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n

01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?

01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n

n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333

?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?

∴b1?b3?b5?

∴a1b1?a2b2?

12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0,b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7C

n?11Cn?

0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 則S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?

9

nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?

012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1

n?Cn)?2

∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1

2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)

∵n?2

∴2n?4

∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22

5?42n?C2

52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4

2?11?16n?8n4


10 16分 …………


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