函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動(dòng)態(tài)和它們的相互制約性．
函數(shù)的基本知識(shí)有：與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫法．
在坐標(biāo)平面內(nèi)，由點(diǎn)的坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式．點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ)，函數(shù)解析式是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵，所以，求點(diǎn)的坐標(biāo)、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題．
【例題求解】
【例1】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B(2，-3)，點(diǎn)P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 ． (河南省競賽題)
思路點(diǎn)撥 先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AB，因題設(shè)中未指明△APB的哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分別就∠A、∠B、∠C為直角來討論，設(shè)點(diǎn)P (0，x)，運(yùn)用幾何知識(shí)建立x的方程．
注： 點(diǎn)的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本方法有：
(1)利用幾何計(jì)算求；
(2)通過解析式求；
(3)解由解析式聯(lián)立的方程組求．
【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽．水槽中水面上升高度 與注水時(shí)間 之間的函數(shù)關(guān)系，大致是下列圖象中的( )
思路點(diǎn)撥 向燒杯注水需要時(shí)間，并且水槽中水面上升高 ．
注： 實(shí)際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來，如心電圖、，股市行情走勢 圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化 趨勢等有關(guān)信息中獲得啟示．
【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷售，共有飛機(jī)、火車、汽車三種運(yùn)輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運(yùn)輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示：
運(yùn)輸工具途中速度(千米／時(shí)) 途中費(fèi)用(元／千米)裝卸費(fèi)用(元)裝卸時(shí)間(小時(shí))
飛機(jī)2001610002
火車100420004
汽車50810002
若這批水果在運(yùn)輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時(shí)，記A、B兩市間的距離為x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機(jī)、火車、汽車運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用(包括損 耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式，才使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最小?
(湖北省黃岡市中考題)
思路點(diǎn)撥 每種運(yùn)輸工具總支出費(fèi)用＝途中所需費(fèi)用(含裝卸費(fèi)用)+損耗費(fèi)用；總支出費(fèi)用隨距離變化而變化，由Wl?W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過討論選擇最佳運(yùn)輸方式．
【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2 ，8)．
(1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系；
(2)寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)菱形ABCD的對角線交點(diǎn)為P．問：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． (江蘇省常州市中考題)
思路點(diǎn)撥 (1)關(guān)鍵是探求點(diǎn)A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點(diǎn)，只須判斷∠COy與∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)軸上存在點(diǎn)F(0，y)，則P與F只可能關(guān)于直線DC對稱．
注：建立函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上都是根據(jù)具體的實(shí)際問題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型．
【例5】 如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的右側(cè)作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．
(1)當(dāng)AP＝3cm時(shí)，求的值；
(2)設(shè)AP=cm時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)y=2cm2，試確定點(diǎn)P的位置．(2001年天津市中考題)
思路點(diǎn)撥 對于(2)，由于點(diǎn)P的位置不同，y與x 之間存在不同的函數(shù)關(guān)系，故需分類討論；對于(3)，由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值．
注：確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式，首先是借助幾何知識(shí)與方法把相應(yīng)線段用自變量表示，再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式，需要注意的是：
(1)當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論；
(2)確定自變量的幾何意義，常用到運(yùn)動(dòng)變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請寫出這些直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo) ．
(貴州省中考題)
2．在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo))． (廣西桂林市中考題)
3．根據(jù)指令(S≥0，0°
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸的夾角為60°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2，0)，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)AB＝ ，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為( )
A． B． C． D．
(年南昌市中考題)
5．一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸爸才開始出發(fā)．圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時(shí)間(分鐘的關(guān)系)(從爸爸開始登山時(shí)計(jì)時(shí))，根據(jù)圖象，下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．爸爸登山時(shí)，小軍已走了50米
B．爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面
C．小軍比爸爸晚到山頂
D．爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快
(江蘇省淮安市中考題)
6．若函數(shù) 的自變量 的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，則 的取值范圍是( )
A．m
7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、點(diǎn)B(0，3)，若有一個(gè)直角三角形與Rt△ABO全等，且它們有一條公共邊，請寫出這個(gè)直角三角形 未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)(不必寫出計(jì)算過程)．
(常州市中考題)
8．如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題：
（1）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為 ，請寫出 與 ( 表示第 個(gè)圖形)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí) 的值；
(3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(2)中，共需花多少元錢購買瓷磚?
(4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請通過計(jì)算說明為什么?
(吉林省中考題)
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD，它的4個(gè)頂點(diǎn)為A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個(gè)整點(diǎn)(即縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))． (上海市初中數(shù)學(xué)競賽題)
10．如圖，已知邊長為l的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)在第一象限內(nèi)，OA與 軸的夾角為30°，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
11．如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(1，0)，而后它接著按圖所示在與 軸、 軸平行的方向上來回運(yùn)動(dòng)，且每分鐘移動(dòng)1個(gè)單位長度，那么在1989分鐘后這個(gè)粒子所處位置為 ．
(美國高中數(shù)學(xué)考試題)
12．在直角坐標(biāo)系中，已知A(1，1)，在 軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C． 3個(gè) D．4個(gè) (2001年湖北賽區(qū)選拔賽題)
13．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是( l， )，這里 、 是有理數(shù)，PA、PB分別是點(diǎn)P到 軸和 軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為 ，則P點(diǎn)可能出現(xiàn)的象限有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) (江蘇省競賽題)
14．甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競賽試題)
15．依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)．《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月工資、薪金收入不超過800元，不需交稅；超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)交稅，且根據(jù)超過部分的多少按不 同的稅率交稅，詳細(xì)的稅率如下表：
級別全月應(yīng)納稅所得額稅率(％)
1不超過500元部分5
2超過500元至2000元部分10
3超過2000元至5000元部分15
……
(1)某公民2002年10月的總收人為1350元，問他應(yīng)交稅款多少元?
(2)設(shè)表示每月收入(單位：元)， 表示應(yīng)交稅款(單位：元)，當(dāng)1300
(四川省競賽題)
16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB上任意一點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，過D作AB垂線與△ABC的直角邊相交于E，設(shè)AD= ，△ADE的面積為 ，當(dāng)點(diǎn)D在AB上移動(dòng)時(shí)，求 關(guān)于 之間的函數(shù)關(guān)系式．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/72483.html
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