【例1】 設(shè) 、 、 、 都為實數(shù)， ，滿足 ，求證： ．
思路點撥 可以從展開已知等式、按比例性質(zhì)變形 已知等式等角度嘗試．仔細觀察已知等式特點， 、 可看作方程 的兩根，則 ，通過構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻．
注：一般說來，構(gòu)造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué) 模型；利用具 體問題的特殊性，給所解決的問題設(shè)計一個框架，強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等．
【例2】 求代數(shù)式 的最小值．
思路點撥 用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值．
，于是問題轉(zhuǎn)化為： 在 軸上求一點C(1，0)，使它到兩點A(一1，1)和B(2，3)的距離和(CA+CB)最小，利用對稱性可求出C點坐標(biāo)．這樣，通過構(gòu)造圖形而使問題獲解．
【例3】 已知 、 為整數(shù)，方程 的兩根都大于 且小于0，求 和 的值．
思路點撥 利用求根公式，解不等式組求出 、 的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難．由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，令 ，從討論拋物線與 軸交點在 與0之間所滿足的約束條件入手．
【例4】 如圖，在矩形ABCD中，AD= ，AB= ，問：能否在Ab邊上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成三個彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點有幾個?若不能找到，請說明理由．
思路點撥 假設(shè)在AB邊上存在點E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又設(shè)AE= ，則 ，即 ，于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的一元二次方程是否有實根，在一定條件下有幾個實根的研究，通過構(gòu)造方程解決問題．
【例5】 試證：世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識．
思路點撥 構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點”，把2個人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段．比如2個人彼此認識就把連接2個人的對應(yīng)點的線段染成紅色；2個人彼此不認識，就把相應(yīng)的線段染成藍色，這樣，有3個人彼此認識就是存在一個3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個3邊都是藍色的三角形，這樣本題就化作：
已知有6個點，任何3點不共線，每2點之間用線段連結(jié)起來，并染上紅色或藍色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形．
注：“數(shù)缺形時少直觀，形缺少時難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在：
(1)幾何問題代數(shù)化；
(2)利用圖形圖表解代數(shù)問題；
(3)構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解．
利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進行計算或證明．
特別地，證明幾何存在性的問題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達定理，討論幾何圖形位置的可能性．
有些問題可通過改變形式或換個說法，構(gòu)造等價命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握．
對于存在性問題，可根據(jù)問題要求構(gòu)造出一個滿足條件的結(jié)論對象，即所謂的存在性問題的“構(gòu)造性證明”．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．若關(guān)于 的方程 的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
2．已知 、 、 、 是四個不同的有理數(shù)，且 ， ，那么 的值是 ．
3．代數(shù)式 的最小值為 ．
4．A、B、C、 D、E、F六個 足球隊單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個隊已經(jīng)分別比賽 了5、4、3、2、1場，則還未與B隊比賽的球隊是 ．
5．若實數(shù) 、 滿足 ，且 ，則 的取值范圍是 ．
6．設(shè)實數(shù)分別 、 分別滿足 ， ，并且 ，求 的值．
7．已知實數(shù) 、 、 滿足 ，求證： ．
8．寫出10個不同的自然數(shù)，使得它們中的每個是這10個數(shù)和的一個約數(shù)，并說明寫出的10個自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由．
9．求所有的實數(shù) ，使得 ．
10．若是不全為零且絕對值都小于106的整數(shù)．求證： ．
11．已知關(guān)于 的方程 有四個不同的實根，求 的取值范圍．
12．設(shè) 0，求證 ．
13．從自然數(shù)l，2，3，…354中任取178個數(shù)，試證：其中必有兩個數(shù)，它們的差為 177．
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